2023-2024学年浙江省杭州市萧山区八校联考八年级上学期12月份数学试题(含解析)

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市萧山区八校联考八年级上学期12月份数学试题(含解析)，共23页。试卷主要包含了考试卷分试题卷和答题卷两部分，考试结束后，只需上交答题卷，对于命题“如果，那么等内容，欢迎下载使用。

请同学们注意：
1．考试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间为120分钟．
2．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．
3．考试结束后，只需上交答题卷．
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．
1．2023年第19届亚运会是一场规模盛大的体育盛事，下列体育图标是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．等腰三角形的两边长分别为8和14，则这个三角形的周长为（ ）
A．22B．30或22C．36D．30或36
5．如图，将两根等长钢条、的中点O连在一起，使、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于容器内径，那么判的理由是（ ）
A．边边边B．边角边C．角边角D．角角边
6．甲、乙两地相距，一货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是（ ）
A．B．C．D．
7．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A．B．，
C．，D．，
8．如图，的面积为，垂直于的平分线于，则的面积（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（ ）
A．3B．C．2D．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．已知一次函数，当自变量时，函数y的值是 ．
12．若点在x轴上，点在y轴上，则代数式的值是 ．
13．小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ．
14．不等式组的解集是，则a的取值范围是 ．
15．若二元一次方程组的解、的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为 ．
16．如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．当时，和的面积和是 ．连结，，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足的条件是 ．
三、全面答一答（本题有8个小题，共66分）
17．解不等式（组）：
(1)
(2)
18．如图，△ABC在正方形网格中，若A(0，3)，按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出B和C的坐标；
（3）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：∠DBC=∠DCB．
20．已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．
(1)求此函数表达式和自变量x的取值范围．
(2)当时，求自变量x的取值范围．
(3)若，，对应的函数值分别为，．比较与的大小．
21．如图，是等边三角形，D是边上一点，以为边作E等边，交于点F，连接，
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
22．已知点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限，点Q（x，y）位于第二象限且是由点P向上平移一定单位长度得到的．
（1）若点P的纵坐标为﹣3，试求出a的值；
（2）在（1）题的条件下，试求出符合条件的一个点Q的坐标；
（3）若点P的横、纵坐标都是整数，试求出a的值以及线段PQ长度的取值范围．
23．为建设美丽郑州，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有，两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表：
经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多2万元，购买2台型设备比购买3台型设备少6万元．
(1)求，的值；
(2)如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，求该治污公司有哪几种购买方案；
(3)在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案．
24．【证明体验】
(1)如图1，在中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：．
【迁移应用】
(2)如图2，在中，，，为的中点，．求面积．
【拓展延伸】
(3)如图3，在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，求的长．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，逐项判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选C．
2．B
【分析】根据直角坐标系中每个象限内点的坐标特征辨别即可．
【详解】解：∵，
∴点横坐标为负，纵坐标为正，在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，牢记相关的知识点并灵活应用是解题的关键．
3．D
【分析】把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：∵﹣1≤x＜3，
∴在数轴上表示为：
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解题的关键．
4．D
【分析】分类讨论当8为腰或底，计算求解即可．
【详解】解：当8为腰时，等腰三角形的周长为：8+8+14=30；
当8为底时，等腰三角形的周长为：8+14+14=36；
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是会分类讨论，避免漏解．
5．B
【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，由已知是、的中点，再加上对顶角相等即可证明，此题利用了证明全等，认真观察图形，选择合适的方法是解此题的关键．
【详解】解：将两根钢条、的中点连在一起，
，，
在和中，
，
，
即理由是边角边，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了列函数关系式；根据剩余路程等于总距离减去行驶距离列函数关系式即可．
【详解】解：由题意得：，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了反证法；
根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．
【详解】解：A.，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意；
B.，，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
C.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
D.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
故选：A．
8．C
【分析】垂直于的平分线于，可证，则，且，过点作与（点位置见详解），等底等高可知，由此可知，由此即可求解．
【详解】解：∵垂直于的平分线于，
∴，，
在，中，
∵，
∴，
∴，，
如图所示，过点作与，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形的角平分线的性质的计算，掌握角平分线的性质，三角形全等的证明是解题的关键．
9．C
【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判定①；根据得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点H，使，利用SAS证明可得，利用ASA可证明得，进而可判定②；作于H，于M，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判段③，即可得．
【详解】解：∵和的平分线，相交于点O，
∴，，
∴
=
=
=，
故①正确；
∵，
∴，
∵，分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，在上取一点H，使，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴（ASA），
∴，
∴，
故②正确；
如图所示，作于H，于M，
∵和的平分线相交于点O，
∴点O在的平分线上，
∴，
∵，
∴
=
=，
故③正确；
综上，①②③正确，正确的个数是3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线．
10．B
【分析】根据余角的性质得到∠FAC＝∠ABC，根据全等三角形的性质得到S△FAM＝S△ABN，推出S△ABC＝S四边形FNCM，根据勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2，解方程组得到3AB2＝57，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形ABGF是正方形，
∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，
∴∠FAC＋∠BAC＝∠FAC＋∠ABC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABC，
在△FAM与△ABN中，
，
∴△FAM≌△ABN（AAS），
∴S△FAM＝S△ABN，
∴S△ABC＝S四边形FNCM，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∵AC＋BC＝6，
∴（AC＋BC）2＝AC2＋BC2＋2AC•BC＝36，
∴AB2＋2AC•BC＝36，
∵AB2﹣2S△ABC＝10.5，
∴AB2﹣AC•BC＝10.5，
∴3AB2＝57，
解得AB＝或﹣（负值舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握割补法得出图形面积之间的关系是解题关键．
11．3
【分析】本题考查求一次函数的函数值，解决本题的关键是理解自变量x和因变量之间的关系，确定函数值．
将代入函数表达式即可求解．
【详解】解：当时，
，
故答案为：3．
12．0
【分析】根据题意得到，求出，代入即可求解．
【详解】解：∵点在x轴上，点在y轴上，
∴，
解得，
∴．
故答案为：0
【点睛】本题考查了坐标轴上的点的坐标的特点，一元一次方程的解法，求代数式的值等知识，如果一个点在x轴上，则这个点的纵坐标为0，如果一个点在y轴上，则这个点的横坐标为0，熟知坐标轴上的点的坐标的特点是解题关键．
13．（答案不唯一）
【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解．
【详解】解：添加，理由如下：
为等腰三角形，
，
为等边三角形，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握等边三角形的判定定理．
14．
【分析】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键．
根据口诀“同小取小”可知不等式组的解集，解这个不等式组得到关于a的不等式进行求解即可．
【详解】解：因为这个不等式组的解集为，
则，
解这个不等式得
故答案为：．
15．2
【分析】解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程，求得m，根据构成三角形的条件判断即可．
【详解】
①-②得：y=3-m
把y=3-m代入②，得x=3m-3
故方程组的解为
若x为腰，y为底，则2x+y=7
即2(3m-3)+3-m=7
解得：m=2
此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件
若y为腰，x为底，则2y+x=7
即2(3-m)+3m-3=7
解得：m=4
此时x=9，y=-1，不合题意
若x=y，即3m-3=3-m
解得：
此时腰为，底为
但+<4，不符合构成三角形的条件
故不合题意
所以满足条件的m为2
故答案为：2
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形的条件，涉及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构成三角形的条件．
16．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，整式的混合运算；
过点作于点，过点作于点，先根据等腰三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出，然后根据三角形面积公式计算和的面积和，同时表示出与的面积之差，然后根据“当的长度变化时，与的面积之差保持不变”建立等式，化简即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
是等腰直角三角形，且，
，
是等腰三角形，且，
，
，
，
∴和是面积和是：，
与的面积之差为：
，
当的长度变化时，与的面积之差保持不变，
，
，
故答案为：，．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：
移项，得：，
合并同类项，得：；
（2）解不等式，得：，
解不等式，得：；
则不等式组的解集为．
18．（1）见解析；（2）B(﹣3，﹣1)，C(1，1)；（3）见解析
【分析】（1）根据题意建立适当平面直角坐标系，即可求解；
（2）根据（1）中，建立平面直角坐标系，即可求解；
（3）根据题意可得：点 的对应点的坐标为 ，再顺次连接，即可求解．
【详解】解：（1）所建立的平面直角坐标系如图所示：
（2）点B和点C的坐标分别为：B(﹣3，﹣1)，C(1，1)；
（3）根据题意得：点 的对应点的坐标为 ，
如图所示，△A1B1C1即为所求．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标与图形，轴对称图形，熟练掌握平面直角坐标系内坐标的特征和轴对称图形的性质是解题的关键．
19．证明见解析．
【分析】由已知，根据SAS可证△BAD≌△CAD，从而根据全等三角形对应边相等的性质可得BD=CD，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠DBC=∠DCB．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△BAD≌△CAD（SAS）．
∴BD=CD．
∴∠DBC=∠DCB
20．(1)，x为全体实数
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，一次函数的性质；
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据得出不等式，解不等式可得答案；
（3）根据一次函数的增减性可得答案．
【详解】（1）解：设，
∵当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴，x为全体实数；
（2）当时，即，
解得：；
（3）∵中，，
∴y随x的增大而减小，
∵，，即，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）直接利用证明即可；
（2）如图，作于点G，利用全等三角形的性质得到，再由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，，进而得到，则由勾股定理可得．
【详解】（1）证明：∵与是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴．
（2）解：如图，作于点G，
∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．（1）4；（2）（﹣4，1）；（3）当a=2时，1﹣a=﹣1，所以PQ＞1；当a=3时，1﹣a=﹣2，所以PQ＞2；当a=4时，1﹣a=﹣3，所以PQ＞3；当a=5时，1﹣a=﹣4，所以PQ＞4．
【分析】（1）点P的纵坐标为﹣3，即1﹣a=﹣3；解可得a的值；
（2）根据题意：由a=4得：2a﹣12=﹣4；进而根据又点Q（x，y）位于第二象限，所以y＞0；取符合条件的值，可得Q的坐标；
（3）根据点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限，且横、纵坐标都是整数，可得；求其整数解可得a的值以及线段PQ长度的取值范围．
【详解】解：（1）1﹣a=﹣3，a=4．
（2）由a=4得：2a﹣12=2×4﹣12=﹣4，又点Q（x，y）位于第二象限，所以y＞0；
取y=1，得点Q的坐标为（﹣4，1）．
（3）因为点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限，所以，解得：1＜a＜6．
因为点P的横、纵坐标都是整数，所以a=2或3或4或5；
当a=2时，1﹣a=﹣1，所以PQ＞1；
当a=3时，1﹣a=﹣2，所以PQ＞2；
当a=4时，1﹣a=﹣3，所以PQ＞3；
当a=5时，1﹣a=﹣4，所以PQ＞4．
【点睛】本题考查了图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
23．(1)
(2)三种购买方案：型设备0台，型设备10台；型设备1台，型设备9台；型设备2台，型设备8台；
(3)购买型设备1台，型设备9台最省钱
【分析】（1）根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，然后解方程即可；
（2）设购买型设备a台，则购买型设备台，根据题意列出关于a的不等式，然后解不等式，根据a为整数可求解；
（3）根据题意和（2）中所求得到或2，然后分别求得购买费用，比较大小即可．
【详解】（1）解：由题意，，
∴；
（2）解：设购买型设备a台，则购买型设备台，
根据题意，得且，
解得，又a为整数，
∴该治污公司有三种购买方案：型设备0台，型设备10台；型设备1台，型设备9台；型设备2台，型设备8台；
（3）解：由题意得，解得，
∴或2，
当时，买设备的费用为（元），
当时，买设备的费用为（元），
∵，
∴购买型设备1台，型设备9台最省钱．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，理解题意，找到题中等量和不等量关系并正确求解是解答的关键．
24．(1)见解析
(2)
(3)的长为
【分析】（1）根据证明三角形全等；
（2）如图2中，延长到，使得，连接．由（1）可知，推出，，利用勾股定理求出，即可解决问题；
（3）如图3中，延长到，使得，连接．证明，设，则，，在中，根据，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
在和中，
，
；
（2）解：如图2中，延长到，使得，连接．
由（1）可知，
，，
，
，
；
（3）解：如图3中，延长到，使得，连接．
由（1）可知，，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
型
型
价格（万元/台）
处理污水量（吨/月）
240
200