河北省唐山市迁安市2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份河北省唐山市迁安市2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（含解析），共14页。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将姓名､考号､科目填涂在答题卡上；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．已知幂函数的图像过点，则（ ）
A．B．C．D．0
3．已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．下列各组函数表示同一函数的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
5．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．下列结论中不正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件
C．若，则“”是“不全为”的充要条件
D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件
7．已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，则的最小值为（ ）
A．B．0C．1D．
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．若集合，且，则实数的取值为（ ）
A．0B．1
C．3D．
10．若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．下列说法正确的有（ ）
A．函数在其定义域内是减函数
B．
C．函数在上单调递增，其值域为
D．若为奇函数，则为偶函数
12．若定义域为R的函数满足为奇函数，且对任意，都有，则下列正确的是（ ）
A．的图像关于点对称
B．在 R上是增函数
C．
D．关于x的不等式的解集为
第II卷（非选择题，共90分）
注意事项：第II卷共2页，用黑色碳素笔答在答题卡上.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上.
13．命题：“”的否定是 .
14．函数f(x)=的定义域为
15．已知函数，且，则 ．
16．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17．化简求值：
(1)；
(2)若，求的值.
18．已知，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
19．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
20．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)在坐标系中画出函数的图象；
(3)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
21．佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.
（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.
22．已知是定义域为的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
(3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

含答案与解析
1．D
【分析】直接根据交集的定义计算即可得解.
【详解】因为，，所以.
故选：D.
2．C
【分析】依题意代入得到，根据幂的运算性质计算可得.
【详解】因为幂函数的图像过点，
所以，即，所以.
故选：C
3．B
【分析】根据指数函数的单调性,选取中间量,即可比较大小.
【详解】根据指数函数的性质可知,
函数为单调递减函数,所以,即
因为为单调递增函数,所以,即
综上可知,
故选B
【点睛】本题考查了指数函数图像与性质,指数幂形式的比较大小,属于基础题.
4．B
【分析】根据函数的定义域和对应法则逐项判断即可.
【详解】对于A，，所以不为同一函数，A错误；
对于B，定义域都为，且，
故为同一函数，B正确；
对于C，定义域为，而定义域为，
所以不为同一函数，C错误；
对于D，定义域为，而定义域为，
所以不为同一函数，D错误；
故选：B
5．D
【分析】首先根据根与系数的关系利用韦达定理求解系数，然后解不等式即可；
【详解】由不等式的解集为，
知是方程的两实数根，
由根与系数的关系，得，解得：，
所以不等式可化为，解得：或，
故不等式的解集为：.
故选：D.
6．B
【分析】利用集合的包含关系可判断A选项的正误；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项的正误；利用充分条件、必要条件的定义可判断B、C选项的正误.
【详解】对于A选项， ，
所以“”是“”的必要不充分条件，A选项正确；
对于B选项，充分性：若，则为直角，
所以为直角三角形，充分性成立；
必要性：若为直角三角形，
则“为直角”或“是直角”或“为直角”，
所以“”或“”或“”，
即必要性不成立.
因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，B选项错误.
对于C选项，充分性：因为，若，则，
所以不成立，所以、不全为，充分性成立；
必要性：若、不全为，则，必要性成立.
因此“”是“、不全为”的充要条件，C选项正确；
对于D选项，
充分性：取，则为无理数，但为有理数，即充分性不成立；
必要性：若为无理数，则是无理数，必要性成立.
所以“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，D选项正确；
故选：B.
7．D
【分析】由存在性命题为真，求出的范围，再否定结论即可作答.
【详解】命题，使为真命题，则，
解得或，
而命题“，使”是假命题，则，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
8．A
【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.
【详解】，，
，
，
，
，
当且仅当，即，时等号成立，
故选：A
9．ABD
【分析】解出集合,根据，讨论集合,解出实数的值即可.
【详解】，又，
当，则，
当，则，
当，则．
故选：
10．AC
【分析】由不等式的基本性质和指数函数的单调性判断A、C、D，利用特殊值判断B.
【详解】由,则,，所以,故A、C正确；
当时，，故B错误；
因为单调递减，则，故D错误.
故选：AC.
11．BD
【分析】对于A，结合反比例函数的性质判断即可；对于B，由方程的判别式即可判断；对于C，由指数函数的性质判断即可；对于D，由函数的奇偶性判断即可.
【详解】解：对于A，因为，，由反比例函数的性质可知，函数在和上单调递减，
但函数在其定义域内不是减函数，故错误；
对于B，因为令，则，所以恒成立，故正确；
对于C，由指数函数的性质可知，函数在上单调递增，其值域为，故错误；
对于D，因为为奇函数，所以定义域关于原点对称，
令， ，
则，
所以为偶函数，即为偶函数，故正确.
故选：BD.
12．BD
【分析】由已知结合函数的对称性及单调性分别检验各选项即可判断．
【详解】对A，因为定义域为R的函数满足为奇函数，所以函数关于对称，A错；
对B，因为对任意，都有，所以在上单调递增，根据函数的对称性可知在R上单调递增，B对；
对C，由关于对称可知，C错；
对D，因为为奇函数且定义域为R，所以，∵在R上单调递增，由可得，D正确．
故选：BD．
13．
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】“”的否定是“”.
故答案为：
14．(−3，0]
【解析】解不等式组可得．
【详解】要使函数式有意义，需，
则函数的定义域为(−3，0].
故答案为：(−3，0].
【点睛】本题考查求函数的定义域，掌握定义域的定义是解题关键．本题属于基础题．
15．##0.5
【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可.
【详解】令
.
故答案为：.
16．
【分析】要求分段函数每一段上均单调递增，且分段处，右端函数值大于等于左端函数值，从而得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】根据题意得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算性质逐步计算，即可解得答案；
（2）利用完全平方公式逐步计算，即可得到本题答案.
【详解】（1）
.
（2），
.
18．(1)；
(2)或.
【分析】（1）当时，得，根据集合的交集运算，直接得出结果.
（2）先由补集的运算得出或，由于，根据集合间的包含关系，分类讨论当和两种情况，可列出关于的不等式，从而可求出实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，得，则.
（2）解：由，得或，
由于，，
当时，则，解得：，满足；
当时，要使成立，
则或，
解得：，
综上，实数的取值范围是或.
19．（1）；（2）
【分析】（1）设出，根据题目条件得到方程组，求出，，得到函数解析式；
（2）换元法求出函数解析式，注意自变量取值范围.
【详解】（1）由题意，设函数为，
，
，
即，由恒等式性质，得，
，，
所求函数解析式为
（2）令，则，，
因为，所以，
所以.
20．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）用代入法求出当时的表达式，即可得到函数的解析式；
（2）直接作出二次函数的图象，即可得到的图像；
（3）由函数的单调递增区间列不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
当时，，，
函数为奇函数，，
函数的解析式为，
（2）的图象如图：
（3）由图象可知，函数的单调递增区间是.
要使在上单调递增，则，
解得，实数的取值范围是.
21．（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【解析】（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可；
（2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值.
【详解】（1）当时，；
当时，
∴
（2）当时，；
当时，取最大值万元；
当时， ，
当且仅当时，取等号
综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.
22．(1)1
(2)在R上单调递增，证明见详解
(3)
【分析】（1）利用奇函数的性质即可得出的值；
（2）根据函数单调性的定义判断即可；
（3）结合（2）的结论和奇函数的性质，不等式可转化为，利用换元法和二次函数的知识求出右式的最大值即可．
【详解】（1）是R上的奇函数，
，对任意，即，
即，对任意恒成立，
，即.
（2）为R上的增函数，证明如下：
任取，，且，
，
，，
，即，
所以函数为R上的增函数.
（3）不等式在R上恒成立，
，
又为R上的增函数，
在R上恒成立，
即，令，，
上式等价于对恒成立，
即，令，只需即可，
又，开口向下，对称轴为，，
，
.
所以实数的取值范围为.