2023-2024学年河北省张家口市高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省张家口市高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知角α终边经过点P(3,−4)，则sinα的值为( )
A. 35B. −35C. 45D. −45
2.已知向量a=(3m−1,m+1),b=(1,−2)，若a//b，则m=( )
A. −37B. 17C. 15D. 35
3.若z=a+i1−2i为实数，则实数a=( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
4.已知sin(α+π3)=13，则cs(α−π6)=( )
A. 79B. 13C. −13D. −79
5.已知函数f(x)=3sin(2x+π6)在[0,a4]上单调递增，则实数a的最大值为( )
A. π6B. 2π3C. 4π3D. 5π3
6.已知向量a,b满足向量b在向量a上的投影向量为34a，且|a|=2，则a⋅(a−2b)=( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(61π36)=( )
A. 32
B. − 32
C. 62
D. − 62
8.已知tan(θ−π4)=12，则sinθcs2θ 2sin(θ+π4)=( )
A. −310B. −35C. 310D. 35
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(2,2)，(−2,4)，(0,0)，则另一个顶点的坐标可以是( )
A. (0,−6)B. (0,6)C. (4,−2)D. (−4,2)
10.已知z为复数，则下列说法正确的是( )
A. 若z是纯虚数，则z2<0
B. |z|2=z2
C. 若复数z=(2−i)2，则z−在复平面内对应的点在第一象限
D. 若|z|=1，则|z−i|≤2
11.在△ABC，下列说法正确的是( )
A. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
B. 若a=40，b=20，B=25°，则△ABC必有两解
C. 若△ABC是锐角三角形，则sinA>csB
D. 若cs2A+cs2B−cs2C<1，则△ABC为锐角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若z=3+4i1− 3i，则|z|= ______．
13.已知单位向量a,b满足|a−3b|=|3a+b|，则|a+4b|= ______．
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积S= 34(a2+c2−b2)，则Sa2+3c2的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知四边形ABCD为平行四边形，AB=(2,4),AD=(1,3)．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)设点P满足3BP=BC，点Q为线段AP上一点，若AQ=λAB+115BC，求实数λ的值．
16.(本小题15分)
已知在复数范围内，关于x的一元二次方程x2−2x+k=0(k∈R)有两个虚数根z1和z2，若|z1−z2|=2，且z1的虚部为正数．
(1)求实数k的值；
(2)求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋯+(z1z2)2025的值．
17.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csC+ 3sinC=b+ca，且a=6．
(1)求角A；
(2)已知角A的内角平分线交BC于点M，若AM= 2，求△ABC的周长．
18.(本小题17分)
如图，某市城建部门计划在一块半径为400m，圆心角为π2的扇形空地AOB内设计一个五边形花境，具体方案设计如下：在圆弧AB上取点P(P与A，B不重合)，点M，N分别在半径OA，OB上，且PM⊥OA，PN⊥OB，连接PA，PB，MN，在由△PMN，△PNB，△PMA组成的五边形MNBPA内种植三种花境植物，设∠POA=θ．
(1)求PA2+PB2的取值范围；
(2)已知△PMN内花境植物种植费用为400元/m2，△PNB，△PMA内花境植物种植费用为500元/m2，试预测此五边形花境最低造价为多少万元？
19.(本小题17分)
设O为坐标原点，定义非零向量OM=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcsx(x∈R)，向量OM=(a,b)称为函数f(x)=asinx+bcsx(x∈R)的“相伴向量”．
(1)已知函数f(x)为向量OM=( 3,1)的“相伴函数”，若函数y=f(π2x)−t在x∈[0,83]上有两个零点，求实数t的取值范围；
(2)在△ABC中，AB= 2，向量OA=(1,1)的“相伴函数”为g(x)，且g(x)的最大值为2csC，若点T为△ABC的外心，求TC⋅AB+CA⋅CB的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：角α终边经过点P(3,−4)，则sinα=−4 32+(−4)2=−45，
故选：D．
利用任意角的三角函数的定义可得答案．
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：向量a=(3m−1,m+1),b=(1,−2)，a//b，
则(3m−1)⋅(−2)=(m+1)⋅1，解得m=17．
故选：B．
结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：z=a+i1−2i=(a+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=a−25+2a+15i，
∵z为实数，
∴2a+1=0．
解得a=−12．
故选：D．
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为sin(α+π3)=13，
所以cs(α−π6)=cs[−π2+(α+π3)]=cs[π2−(α+π3)]=sin(α+π3)=13．
故选：B．
由已知利用诱导公式即可求解．
本题考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：令−π2≤2x+π6≤π2，
则−π3≤x≤π6，
因为f(x)=3sin(2x+π6)在[0,a4]上单调递增，
所以0解得0故选：B．
由已知结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了正弦函数的单调性的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：∵向量b在向量a上的投影向量为34a，且|a|=2，
∴a⋅b|a|×a|a|=34a，可得a⋅b=3．
∴a⋅(a−2b)=a2−2a⋅b=4−2×3=−2．
故选：C．
由向量b在向量a上的投影向量为34a，且|a|=2，可以求得a⋅b=3，进而求解结论．
本题考查了投影向量的运算，考查计算能力，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：依题意T2=11π12−7π12=π3，所以T=2π3=2πω，解得ω=3，
又f(7π12)=Asin(3×7π12+φ)=0，且7π12在递增区间上，
所以3×7π12+φ=2kπ,k∈Z，解得φ=−7π4+2kπ，k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ=π4，
所以f(x)=Asin(3x+π4)，
又f(π2)=Asin(3×π2+π4)=−1，
所以−Acsπ4=−1，解得A= 2，
所以f(x)= 2sin(3x+π4)，
所以f(61π36)= 2sin(3×61π36+π4)= 2sin(5π+π3)=− 2sinπ3=− 62．
故选：D．
由周期求出ω，再由f(7π12)=0求出φ，最后由f(π2)=−1求出A，即可得到函数解析式，再代入由诱导公式计算可得结果．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为tan(θ−π4)=12=tanθ−11+tanθ，
所以tanθ=3，
则sinθcs2θ 2sin(θ+π4)=sinθ(cs2θ−sin2θ)sinθ+csθ=sinθ(csθ−sinθ)sin2θ+cs2θ=tanθ−tan2θ1+tan2θ=3−91+9=−35．
故选：B．
先利用两角差的正切公式求出tanθ，然后利用和差角公式进行二倍角公式对所求式子进行化简，再结合同角基本关系进行化简即可求解，
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：记点(2,2)，(−2,4)，(0,0)分别为A，B，O，第4个顶点为C，
当线段AB为平行四边形对角线时，BC=OA=(2,2)，则点C(0,6)，故B正确，
当线段OB为平行四边形对角线时，OC=AB=(−4,2)，则点C(−4,2)，故D正确，
当线段OA为平行四边形对角线时，OC=BA=(4,−2)，则点C(4,−2)，故C正确．
故选：BCD．
根据给定条件，按平行四边形的对角线情况分类，结合向量的坐标运算得解．
本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：设z=bi，b≠0，则z2=−b2<0，A正确；
设z=a+bi，则|z|2=a2+b2，z2=(a+bi)2=a2−b2+2abi，B错误；
若复数z=(2−i)2=4−4i+i2=3−4i，
则z−=3+4i，在复平面内对应的点在第一象限，C正确；
若|z|=1，则z所对应的点是以原点为圆心，以1为半径的圆，
则|z−i|的几何意义是单位圆上点到点(0,1)的距离，
则0≤|z−i|≤2，D正确．
故选：ACD．
由已知结合复数的四则运算，基本概念及几何意义检验各选项即可判断．
本题主要考查了复数的四则运算及复数基本概念的应用，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：若acsA=bcsB，由正弦定理可得sinAcsA=sinBcsB，
即有sin2A=sin2B，由0则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
若a=40，b=20，B=25°，则sinA=asinBb=40sin25°20=2sin25°<1，
又A>B，所以△ABC必有两解，故B正确；
若△ABC是锐角三角形，可得A+B>π2，即0<π2−B所以sin(π2−B)csB，故C正确；
取A=120°，B=30°，C=30°，可得cs2A+cs2B−cs2C=−12+12−12=−12<1，
不能推得△ABC为锐角三角形，故D错误．
故选：BC．
由正弦定理和二倍角的正弦公式、三角函数的诱导公式，可得三角形的形状，可判断A；由正弦定理和三角形的边角关系，可判断B；由锐角三角形的性质、正弦函数的单调性可判断C；取A=120°，B=30°，C=30°，计算判断D．
本题考查三角形的正弦定理和三角形的形状判断，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】52
【解析】解：z=3+4i1− 3i，
则|z|=|3+4i1− 3i|=|3+4i||1− 3i|=52．
故答案为：52．
结合复数模的公式，即可求解．
本题主要考查复数模的公式，属于基础题．
13.【答案】 17
【解析】解：∵单位向量a,b满足|a−3b|=|3a+b|，
∴(a−3b)2=(3a+b)2，
∴a2−6a⋅b+9b2=9a2+6a⋅b+b2，
∴8a2+12a⋅b−8b2=0，
∴8+12a⋅b−8=0，∴a⋅b=0，
∴(a+4b)2=a2+8a⋅b+16b2=1+0+16=17，
∴|a+4b|= 17．
故答案为： 17．
根据向量数量积的性质，即可求解．
本题考查向量数量积的性质，化归转化思想，属基础题．
14.【答案】18
【解析】解：因为S=12acsinB，
所以12acsinB= 34(a2+c2−b2)，
所以14sinB= 34(a2+c2−b22ac)，即sinB= 3csB，tanB= 3，
因为B∈(0,π )，
所以B=π3，S=12acsinB= 34ac，
则Sa2+3c2= 34×aca2+3c2，
因为a2+3c2≥2 3ac，当且仅当a= 3c时取到等号，
所以Sa2+3c2= 34×aca2+3c2≤ 34×ac2 3ac=18．
故答案为：18．
先利用面积公式和余弦定理求得B，结合基本不等式可得答案．
本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，还考查了不等式的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为AB=(2,4),AD=(1,3)，
所以cs=AB⋅AD|AB|⋅|AD|=2+12 20× 10=7 210，
因为∈(0,π)，
所以sin= 210，
所以△ABD的面积S=12|AB|⋅|AD|sin=12× 20× 10× 210=1，
所以平行四边形ABCD的面积为2．
(2)设AQ=kAP，
因为3BP=BC，
所以AQ=kAP=k(AB+BP)=kAB+k3BC，
又AQ=λAB+115BC，
所以k=λk3=115，解得λ=15．
【解析】(1)由平面向量数量积的坐标运算可得cs，从而知sin的值，再由三角形的面积公式，求解即可；
(2)设AQ=kAP，根据已知条件，可得AQ=kAB+k3BC，从而建立关于k和λ的方程组，解之即可．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)根据题意，x2−2x+k=0，即x2−2x+1=1−k，变形可得(x−1)2=1−k，
若一元二次方程x2−2x+k=0(k∈R)有两个虚数根z1和z2，必有1−k<0，
又由z1的虚部为正数，
则z1=1+ k−1i，z2=1− k−1i，
若|z1−z2|=2，则|1+ k−1i−1+ k−1i|=|2 k−1i|=2，则有 k−1=1，解可得k=2，
故k=2；
(2)根据题意，由(1)的结论，z1=1+i，z2=1−i，
则z1z2=1+i1−i=i，
故z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋯+(z1z2)2025=i+i2+……+i2025=(i+i2+i3+i4)×506+i2025=i．
【解析】(1)根据题意，用k表示z1和z2，由于|z1−z2|=2，计算可得k的值；
(2)根据题意，求出z1z2的值，进而计算可得答案．
本题考查复数的运算，涉及一元二次方程在复数范围内求根，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为在△ABC中，csC+ 3sinC=b+ca，
所以csC+ 3sinC=sinB+sinCsinA，可得sinAcsC+ 3sinCsinA=sinB+sinC，
又sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
所以 3sinCsinA=csAsinC+sinC，
又sinC>0，可得 3sinA−csA=1，即sin(A−π6)=12，
因为0所以A−π6=π6，可得A=π3；
(2)因为a=6，角A的内角平分线交BC于点M，AM= 2，S△ABC=12bcsinA= 34bc，
又S△ABC=S△ABM+S△ACM=12×c× 2×12+12×b× 2×12= 24(b+c)，
所以 34bc= 24(b+c)，可得bc= 2 3(b+c)，
由余弦定理得：csA=b2+c2−a22bc=(b+c)2−2bc−362bc=(b+c)2−2× 2 3(b+c)−362× 2 3(b+c)=12，
整理得(b+c)2− 6(b+c)−36=0，
解得b+c=3 6或b+c=−2 6(舍去)，
所以a+b+c=6+3 6，即△ABC的周长为6+3 6．
【解析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(A−π6)=12，可求范围−π6(2)由S△ABC=S△ABM+S△ACM，可得bc= 2 3(b+c)，再结合余弦定理可求出b+c，从而可求出△ABC的周长．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：(1)依题意，令扇形所在圆半径为R，即R=400m，ON=PM=Rsinθ，PN=OM=Rcsθ，
PA2+PB2=AM2+PM2+PN2+BN2=(R−Rcsθ)2+R2+(R−Rsinθ)2，
=4R2−2R2(sinθ+csθ)=4R2−2 2R2sin(θ+π4)，
而0<θ<π2，则π4<α+π4<3π4， 22因此(4−2 2)R2≤PA2+PB2<2R2，而R=400m，
所以PA2+PB2的取值范围320000(2− 2)m2≤PA2+PB2<320000m2．
(2)由(1)知，S△PMN=12PM⋅PN=12R2sinθcsθ，
S△PMA=12P⋅AM=12R2sinθ(1−csθ)，S△PNB=12PN⋅BN=12R2csθ(1−sinθ)，
因此五边形花境造价f(θ)=400×12R2sinθcsθ+500[12R2sinθ(1−csθ)+12R2csθ(1−sinθ)]
=250R2(sinθ+csθ)−300R2sinθcsθ=50R2[5(sinθ+csθ)−6sinθcsθ]，
令t=sinθ+csθ= 2sin(θ+π4)∈(1, 2]，则2sinθcsθ=(sinθ+csθ)2−1=t2−1，
因此5(sinθ+csθ)−6sinθcsθ=5t−3(t2−1)=−3(t−56)2+6112，
显然函数y=−3(t−56)2+6112在(1, 2]上单调递减，
当t= 2，即θ=π4时，ymin=5 2−3，
于是当θ=π4时，f(θ)min=50R2(5 2−3)=800(5 2−3)(万元)，
所以预测此五边形花境最低造价为800(5 2−3)万元．
【解析】(1)利用直角三角形边角关系求出PM，PN，AM，BN，结合勾股定理求出PA2+PB2的函数关系，再利用辅助角公式及正弦函数的性质求出范围；
(2)求出△PMN，△PMA，△PNB的面积，结合已知求出五边形花境造价的函数关系，再借助换元法求出最小值即得．
本题主要考查三角函数的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意f(x)= 3sinx+csx=2sin(x+π6)，
f(π2x)=2sin(π2x+π6)，令t=π2x+π6，
当x∈[0,83]时，t∈[π6,3π2]，作出y=2sint的简图如下，

函数y=f(π2x)−t在x∈[0,83]上有两个零点，所以t∈[1,2)；
(2)由题意g(x)=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
因为g(x)的最大值为2csC，所以csC= 22，
因为C∈(0,π)，所以C=π4，
因为AB= 2，所以ABsinC=ACsinB= 2 22=2R，
即外接圆的半径为|TC|=1，
由余弦定理可得a2+b2−22ab= 22，即a2+b2−2= 2ab，
TC⋅AB=−CT⋅(CB−CA)=CT⋅CA−CT⋅CB
=|CT||CA|cs−|CT||CB|cs，
因为T是外心，即T为各边中垂线的交点，

所以|CT|cs〈CT,CA〉=12|CA|,|CT|cs〈CT,CB〉=12|CB|，
TC⋅AB=12|CA|2−12|CB|2=12(b2−a2)，
CA⋅CB= 22|CA||CB|= 22ab，
TC⋅AB+CA⋅CB=12(b2−a2)+ 22ab
=12(b2−a2+ 2ab)=12(b2−a2+a2+b2−2)=b2−1，
由b=2sinB,B∈(0,3π4)，
所以TC⋅AB+CA⋅CB=b2−1=4sin2B−1≤3，
当且仅当B=π2时，取到最大值3．
【解析】(1)先求出f(π2x)，利用换元法，作出简图，结合零点个数可得答案；
(2)先根据g(x)的最值求出C，结合外心的性质表示出TC⋅AB+CA⋅CB，利用正弦定理可得答案．
本题考查了三角函数和平面向量的综合应用，属于中档题．