2023-2024学年河北省衡水市武强中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省衡水市武强中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是( )
A. B. C. D.
2.已知z=2−i，则z(z−+i)=( )
A. 6−2iB. 4−2iC. 6+2iD. 4+2i
3.如图，平行四边形ABCD中，E是BC的中点，若AB=a，AD=b，则DE=( )
A. 12a−bB. 12a+bC. a+12bD. a−12b
4.在△ABC中，若b=1，A=60°，△ABC的面积为 3，则a=( )
A. 13B. 13C. 2D. 2
5.已知|a|=2，向量a在向量b上的投影数量为 3，则a与b的夹角为
( )
A. π3B. π6C. 2π3D. π2
6.如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为
( )
A. 2 2B. 1C. 2D. 2(1+ 2)
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccsB+bcsC=asinA，△ABC的面积S= 34(b2+a2−c2)，则B=( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
8.已知ΔABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA⋅(PB+PC)的最小值是
( )
A. −2B. −32C. −43D. −1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=1+ 3i，z−为z的共轭复数，复数ω=z−z，则下列结论正确的是( )
A. ω对应的点在复平面的第二象限B. |ω|=1
C. ω的实部为−12D. ω的虚部为 3
10.如果平面向量a=(2,−4)，b=(−6,12)，那么下列结论中正确的是( )
A. |b|=3|a|B. a//b
C. a与b的夹角为30°D. a在b方向上的投影向量为(−2,4)
11.在△ABC中，下列命题正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC定为等腰三角形
C. 若acsB−bcsA=c，则△ABC定为直角三角形
D. 若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b= 6，c=3，则A= ．
13.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则AB边上的中线的实际长度为______．
14.如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1， 2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R)，则m+n= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=3，|b|=5，|a+b|=7．
(1)求向量a与b的夹角θ；
(2)当向量ka+b与a−2b垂直时，求实数k的值．
16.(本小题15分)
已知：复数z=(1+i)2+2i1−i，其中i为虚数单位．
(1)求z及|z|；
(2)若z2+az−+b=2+3i，求实数a，b的值．
17.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知csinB=bcsC．
(1)求C；
(2)若c= 13，b=2 2，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
已知复数z=1+mi(i是虚数单位，m∈R)，且z−⋅(3+i)为纯虚数(z−是z的共轭复数)
(1)求实数m及|z|；
(2)设复数z1=a−i2223z，且复数z1对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，现有下列四个条件：①a= 3；②b=2；③cs2A+csA=0；④a2+c2−b2=−2 33ac．
(1)③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
(2)已知△ABC同时满足上述四个条件中的三个，请选择使△ABC有解的三个条件，求△ABC的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．
故选：A．
对选项进行分析，即可得出结论．
本题考查用过球心的平面去截这个组合体的截面图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
把z=2−i代入z(z−+i)，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：∵z=2−i，
∴z(z−+i)=(2−i)(2+i+i)
=(2−i)(2+2i)=4+4i−2i−2i2=6+2i．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量的加法运算，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用向量的加法运算，即可得到结论．
【解答】
解：∵平行四边形ABCD中，E是BC的中点，
∴DE=DC+CE=DC+12CB
∵AB=a，AD=b，
∴DE=a−12b
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由已知利用三角形面积公式可求c的值，进而利用余弦定理即可解得a的值．
【解答】
解：∵b=1，A=60°，△ABC的面积为 3=12×1×c× 32，
∴解得：c=4，
∴由余弦定理可得：a= b2+c2−2bccsA
= 1+16−2×1×4×12= 13．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的投影、夹角，属于基础题．
利用平面向量投影的定义，列出方程求出a与b夹角的余弦值，即可得出夹角大小．
【解答】解：记向量a与向量b的夹角为θ，θ∈[0,π]，
而|a|=2，
∴a在b上的投影数量为|a|csθ=2csθ．
∴2csθ= 3，
∴csθ= 32，
∵θ∈[0,π]，
∴θ=π6．
故选B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法的应用，属于基础题．
将直观图还原成原来的图形，即平行四边形，由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形的高，即可求出原图形的面积．
【解答】
解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以原图形为平行四边形，且OA为其中一边，OB是其一条对角线
直观图中：计算得OB= 2，
所以由斜二测画法知，对应原图形，即平行四边形的高为2 2，
所以原图形的面积为：1×2 2=2 2．
故选A．
7.【答案】D
【解析】解：由正弦定理及ccsB+bcsC=asinA，
得sinCcsB+sinBcsC=sin2A，
所以sin(C+B)=sinA=sin2A，
因为0因为S= 34(b2+a2−c2)=12absinC，且c2=b2+a2−2abcsC，
所以 34⋅2abcsC=12absinC，化简得tanC=sinCcsC= 3，
又0所以B=30°．
故选：D．
利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式，推出sinA=1，从而知A=90°，然后结合三角形的面积和余弦定理，可得tanC=sinCcsC= 3，从而知C的大小，进而得解．
本题考查解三角形，涉及边化角的思想，熟练正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键，属于中档题．
根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【解答】
解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0, 3)，B(−1,0)，C(1,0)，
设P(x,y)，则PA=(−x, 3−y)，
PB=(−1−x,−y)，PC=(1−x,−y)，
则PA⋅(PB+PC)=2x2−2 3y+2y2
=2[x2+(y− 32)2−34]，
∴当x=0，y= 32时，PA⋅(PB+PC)取得最小值，
其最小值为2×(−34)=−32，
故选B．
9.【答案】BC
【解析】解：ω=z−z=1− 3i1+ 3i=(1− 3i)(1− 3i)(1+ 3i)(1− 3i)=−2−2 3i4=−12− 32i，
对应点为(−12,− 32)在第三象限，|ω|= 14+34=1，实部为−12，虚部为− 32，故B，C正确，选项AD错误．
故选：BC．
根据已知条件，结合复数的四则运算，先对ω，即可依次求解．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：∵a=(2,−4),b=(−6,12)，∴|a|=2 5,|b|=6 5，
∴|b|=3|a|，A正确；
∵b=−3a，∴a/​/b，B正确；
∵cs=a⋅b|a||b|=−602 5×6 5=−12，且∈[0,π]，
∴=120°，C错误；
a在b方向上的投影向量为：a⋅b|b|⋅b|b|=−60180(−6,12)=(2,−4)，D错误．
故选：AB．
根据向量a,b的坐标可求出|a|,|b|的值，从而可判断A的正误；根据向量a,b的坐标即可判断B的正误；根据向量夹角的余弦公式即可判断C的正误；根据投影向量的计算公式即可判断D的正误．
本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量平行的坐标关系，向量夹角的余弦公式，投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查解三角形及其三角恒等变换等知识，考查逻辑推理和数学运算的核心素养，属于中档题．
A，根据正弦定理结合大角对大边可得结论；B，根据诱导公式及三角函数图象与性质可得结论；C，根据正弦定理、诱导公式、正弦和角公式可得结论；D，设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角．
【解答】
解：对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得
A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，
故A选项正确；
对于B选项，由于sin2A=sin2B=sin(π−2B)，
由于A，B是三角形的内角，
所以2A=2B或2A=π−2B，即A=B或A+B=π2，
因此△ABC可能为等腰三角形或直角三角形，
故B选项不正确；
对于C选项，由acsB−bcsA=c以及正弦定理得
sinAcsB−sinBcsA=sinC，
即sinAcsB−sinBcsA=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB；
所以2sinBcsA=0，
由于sinB>0，所以csA=0，所以A=π2，
故△ABC定为直角三角形，
故C选项正确；
对于D选项，∵△ABC的三边之比为3：5：7，
∴设三边长依次为3t，5t，7t，其中t>0；
设最大角是C，由余弦定理知，
49t2=9t2+25t2−2×3t×5tcsC，
∴csC=−12，
∴C=120°．
故D选项正确．
故选：ACD．
12.【答案】75°
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题．
根据正弦定理和三角形的内角和计算即可．
【解答】
解：根据正弦定理可得bsinB=csinC，C=60°，b= 6，c=3，
∴sinB= 6× 323= 22，
∵b∴A=180°−B−C=180°−45°−60°=75°，
故答案为75°．
13.【答案】52
【解析】解：∵直观图中A′C′=3，B′C′=2，
∴Rt△ABC中，AC=3，BC=4
由勾股定理可得AB=5
则AB边上的中线的实际长度为52
故答案为：52
由已知中直观图中线段的长，可分析出△ABC实际为一个直角边长分别为3，4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
本题考查的知识点是斜二测画法直观图，其中掌握斜二测画法直观图与原图中的线段关系是解答的关键．
14.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的坐标运算、平面向量的基本定理、同角三角函数的关系，两角和差的三角函数公式，属于中档题．
建立适当平面直角坐标系，利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于m，n的方程组，求得m，n的值，即得．
【解答】
解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，
由OA与OC的夹角为α，且tanα=7，
∴csα=15 2，sinα=75 2，∴C(15,75)，
cs(α+45°)= 22(csα−sinα)=−35，
sin(α+45°)= 22(sinα+csα)=45，
∴B(−35,45)．
∵OC=mOA+nOB(m,n∈R)，
∴15=m−35n，75=0+45n，
解得n=74，m=54，
则m+n=3．
故答案为：3．
15.【答案】解：(1)∵|a|=3，|b|=5，|a+b|=7，
∴|a+b|2=(a)2+(b)2+2a⋅b
=|a|2+|b|2+2|a||b|csθ
=9+25+30csθ=49，
∴csθ=12，
∵0°≤θ≤180°，
∴θ=60°；
(2)∵向量ka+b与a−2b垂直，
∴(ka+b)·(a−2b)=0，
∴k|a|2−2|b|2+(1−2k)|a||b|csθ=0，
即9k−50+(1−2k)×3×5×12=0，
解得k=−8512．
【解析】本题考查向量的数量积的定义，向量数量积的运算，向量垂直的条件，属于基础题．
(1)对模两边平方，利用向量的数量积的定义解得csθ=12，即可求出θ的度数；
(2)根据向量垂直其数量积为0即可求出k的值．
16.【答案】解：(1)∵z=(1+i)2+2i1−i=2i+i(1+i)=−1+3i，
∴|z|= (−1)2+33= 10；
(2)由z2+az−+b=2+3i，
得：(−1+3i)2+a(−1−3i)+b=2+3i，
即(−8−a+b)+(−6−3a)i=2+3i，
∴−8−a+b=2−6−3a=3i，解得a=−3b=7．
【解析】(1)利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解；
(2)把z代入z2+az−+b=2+3i，整理后利用复数相等的条件列式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，考查复数相等的条件，是基础题．
17.【答案】解：(1)因为csinB=bcsC，根据正弦定理得sinCsinB=sinBcsC，
又sinB≠0，从而tanC=1，
由于0(2)根据余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，而c= 13，b=2 2，C=π4，
代入整理得a2−4a−5=0，解得a=5或a=−1(舍去)．
故△ABC的面积为12absinC=12×5×2 2× 22=5．
【解析】(1)利用已知条件，结合正弦定理转化求解即可．
(2)利用余弦定理求出a，然后通过三角形的面积公式求解即可．
本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．
18.【答案】解：(1)∵z=1+mi，∴z−=1−mi．
∵z−⋅(3+i)为纯虚数，z−(3+i)=(1−mi)(3+i)=(3+m)+(1−3m)i，
∴m=−3，∴z=1−3i，
则|z|= 12+(−3)2= 10；
(2)∵i2223=(i4)555⋅i3=i3=−i，
复数z1=a−i2223z=a+i1−3i=(a+i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=a−310+3a+110i，
∵复数z1所对应的点在第二象限，
∴a−310<03a+110>0，解得−13故实数a的取值范围为(−13,3)．
【解析】(1)根据已知条件，结合纯虚数和共轭复数的定义，求出m，再结合复数模公式，即可求解；
(2)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由条件③得2cs2A+csA−1=0，
解得csA=12或csA=−1(舍)，
因为A∈(0,π)，
所以A=π3；
由条件④得csB=a2+c2−b22ac=−2 33ac×12ac=− 33，
因为csB=− 33<−12=cs2π3，B∈(0,π)，
而y=csx在(0,π)上单调递减，
所以2π3于是A+B>π3+2π3=π，与A+B<π矛盾．
所以△ABC不能同时满足③④．
(2)因为△ABC同时满足上述四个条件中的三个，不能同时满是③④，
则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．
若选择组合①②③：
有asinA=bsinB，
即 3 32=2sinB，sinB=1，
因为B∈(0,π)，
所以B=π2，△ABC为直角三角形，
所以c= 22−( 3)2=1，
所以△ABC的面积S=12×1× 3= 32．
若选择组合①②④：
由b2=a2+c2−2accsB，
即c2+2c=1，解得c= 2−1，
因为B∈(0,π)，
所以sinB= 1−cs2B= 1−(− 33)2= 63，
所以△ABC的面积S=12acsinB=12× 3×( 2−1)× 63=2− 22．
【解析】本题考查正余弦定理解三角形，三角形的面积的求法，考查转化思想以及计算能力，中档题．
(1)由条件③求出A=π3；由条件④推出2π3(2)由(1)可知满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．
若选择组合①②③：利用正弦定理，结合三角形是直角三角形，求出三角形的面积．
若选择组合①②④：利用余弦定理求出c，然后转化求解三角形的面积．