2022-2023学年河北省唐山市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2022-2023学年河北省唐山市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈N|−1A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. {x|−12.若f(x)=sinx.则t→0limf(2t)−f(0)t=( )
A. 0B. 12C. 1D. 2
3.已知a，b∈R，p：a>b>0，q：1a2<1b2，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x+2，则f(0)+f(3)等于( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
5.五一放假期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻且农场主站在中间，则不同的站法有( )
A. 240种B. 192种C. 144种D. 48种
6.甲、乙两个箱子里各装有6个大小形状都相同的球，其中甲箱中有4个红球和2个白球，乙箱中有3个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出1个球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为( )
A. 1021B. 1121C. 1421D. 12
7.已知函数f(x)=1x4+|x|，设a=f(lg30.2),b=f(lg30.3),c=f(0.20.3)，则( )
A. a8.已知等差数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTn=3n+81n+3，则使得anbn为整数的正整数n的个数为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知随机变量X∼N(3,σ2)，且P(1A. P(3C. P(−2P(310.已知函数f(x)的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得|f(x)|≤M成立，则称函数f(x)是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是( )
A. f(x)=3+x4−xB. f(x)= 1−x2
C. f(x)=5x2−2x+2D. f(x)=|x|+ 4−|x|
11.若2(1−x)5+(1−x)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋅⋅⋅+a9(x+1)9，则下列说法中正确的有( )
A. a0=576B. a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a9=3
C. a1=−2464D. a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+9a9=19
12.若0A. x1−x2>lnx1x2B. x1ex2C. x1x2>x2x1D. 1−ex1−x2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题“∀x≥2，x2≥2”的否定是______.
14.某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示：
根据表中数据得到y关于x的回归直线方程是y =3.2x+a ，当售价为11.5元时，预测销售量为______件.
15.若直线y=kx+b与曲线f(x)=ax3+x2−2相切于点P(1,1)，则b=______.
16.一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔个数为X，则E(X)=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
某工厂生产某产品的成本x(万元)与销售额y(万元)的几组对应数据如下表所示：
(1)根据以往经验可知，成本x(万元)与销售额y(万元)之间具有线性相关关系，求销售额y关于成本x的经验回归方程；
(2)根据(1)中经验回归方程，预测当销售额为200万元时，成本为多少万元？(结果保留一位小数)
参考公式：回归直线y =b x+a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2，a =y−−b x−其中x−,y−为样本的平均值.参考数据：i=15xiyi=17800,i=15xi2=5500.
18.(本小题12分)
设函数y=ax2+(b−2)x+3.
(1)若关于x的不等式y>0的解集为{x|−1(2)若x=1时，y=2，a>0，b>0，求1a+4b的最小值.
19.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=3n−1an，求数列{bn}的前n项和Tn.
20.(本小题12分)
随着互联网发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动.某学校从全体学生中随机抽取了400人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如表所示：
(1)根据所提供的数据，完成2×2列联表，并依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？
(2)对了解“网络安全宣传倡议”的人按性别用比例分配的分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
21.(本小题12分)
高二年级上学期共进行5次月考，每次月考成绩互不影响.记语文和英语为文科科目，记数学和物理为理科科目，其余科目暂不参与评估.每次月考中，文科科目与理科科目总数不少于3门成绩优秀，将获得“优学达人”称号，某学生在高二上学期的月考中，从文科科目和理科科目中各随机抽取5次成绩，其中4次文科科目和3次理科科目成绩优秀.
(1)从文理科各抽取的5次成绩中，分别随机抽取2次文科科目和2次理科科目成绩，求至少有3次成绩优秀的概率；
(2)经过该学生寒假期间的自主学习，每次月考文科科目和理科科目每门成绩优秀的概率分别为p1，p2，且p1+p2=32,p1≥45,p2≥35，高二下学期共进行5次月考，设该学生在这5次月考中获得“优学达人”称号的次数为X，求X的数学期望的取值范围.
22.(本小题12分)
设函数f(x)=xex−2aex，g(x)=−2−ax，a∈R.
(1)求f(x)在x∈[0,+∞)上的单调区间；
(2)若在y轴右侧，函数f(x)图象恒不在函数g(x)的图象下方，求实数a的取值范围；
(3)证明：当n∈N*时，1+12+13+…+1n答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={x∈N|−1所以A∩B={0,1,2,3}.
故选：A.
先得到A={0,1,2,3,4}，从而求出交集．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由题意，f′(x)=csx，
则t→0limf(2t)−f(0)t=22t→0limf(0+2t)−f(0)2t=2f′(0)=2，
故选：D.
利用导数的定义可得所求极限的值．
本题考查函数极限的理解，考查三角函数的导数，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了充分、必要、充要条件的判断，利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题．
利用充分、必要、充要条件的定义，即可判断出结论．
【解答】
解：由a>b>0⇒a2>b2>0，可得：1a2<1b2；
反之不成立，
例如取a=−2，b=1，满足1a2<1b2，但a>b>0不成立；
则p是q的充分不必要条件．
故选：A.
4.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)=0，
因为当x<0时，f(x)=x+2，
所以f(−3)=−1，f(3)=−f(−3)=1，
则f(0)+f(3)=0+1=1.
故选：C.
由已知结合奇函数的定义可求f(3)，然后结合奇函数性质可求f(0)，即可求解．
本题主要考查了奇函数定义及性质在函数值求解中的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：
第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；
第二步：相邻女生排在一起有A22种；
第三步：4名男生排在剩下的位置有A44种．
因此2名女生相邻且农场主站在中间共有4A22A44=192种站法．
故选：B.
农场主站在中间，先考虑女生所站位置，采用捆绑法，再考虑男生的位置，利用排列知识进行求解．
本题主要考查排列组合及简单的计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设事件A1表示从甲箱中随机取出一个红球，事件A2表示从甲箱中随机取出一个白球，事件B表示从乙箱中随机取出一个红球，
则P(A1)=23,P(B|A1)=47,P(A2)=13,P(B|A2)=37，
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=23×47+13×37=1121.
故选：B.
设出事件，利用条件概率和全概率公式进行求解．
本题考查古典概型以及条件概率相关知识，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(−x)=1(−x)4+|−x|=1x4+|x|=f(x)，
所以f(x)为偶函数，f(x)=f(|x|)，
又当x>0时，f(x)=1x4+x单调递减，
由lg30.2所以|lg30.2|>|lg30.3|>|0.20.3|,f(|lg30.2|)即a故选：D.
根据函数的奇偶性、单调性比较大小．
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为等差数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，所以S2n−1T2n−1=12(a1+a2n−1)⋅(2n−1)12(b1+b2n−1)⋅(2n−1)=anbn，
又SnTn=3n+81n+3，所以anbn=S2n−1T2n−1=3(2n−1)+81(2n−1)+3=3n+39n+1=3+36n+1，
因此要anbn为整数，当且仅当36n+1是正整数，又n∈N*，则n+1是36的大于1的约数，又36的非1的正约数有2，3，4，6，9，12，18，36，共8个，
则n的值有1，2，3，5，8，11，17，35，共8个，
所以使得anbn为整数的正整数n的个数为8.
故选：C.
利用等差数列的前n项和公式，计算S2n−1T2n−1得到anbn=3+36n+1，再根据条件即可得到答案．
本题考查等差数列及其性质，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：由X∼N(3,σ2)，则μ=3，由1+52=3，
所以P(3由μ=3，所以P(X<3)=0.5，P(X≤1)=P(X<3)−P(1所以P(10.23=P(X≤1)>P(−2由上可知，P(−2故选：AC.
根据正态分布的对称性逐一判断即可．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，f(x)=3+x4−x=−(4−x)+74−x=−1+74−x，
由于74−x≠0，所以f(x)≠−1，所以|f(x)|∈[0,+∞),
故不存在正数M，使得|f(x)|≤M成立，故A错误，
对于B，令u=1−x2，则u∈[0,1]，f(x)= u，所以f(x)∈[0,1]，故存在正数1，使得|f(x)|≤1成立，故B正确，
对于C，令u=x2−2x+2=(x−1)2+1，则f(x)=5u，易得u≥1.所以0对于D，令t= 4−|x|，则t∈[0,2]，|x|=4−t2，
则f(x)=−t2+t+4=−(t−12)2+174(t∈[0,2])，易得2≤f(x)≤174，
所以|f(x)|∈[2,174]，故存在正数174，使得|f(x)|≤174成立，故D正确．
故选：BCD.
“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断．
本题主要考查了求函数的值域，考查了二次函数的性质，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：令t=x+1，则x=t−1，代入2(1−x)5+(1−x)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋅⋅⋅+a9(x+1)9，
可得2(2−t)5+(2−t)9=a0+a1t+a2t2+...+a9t9，
令t=0，可得2(2−0)5+(2−0)9=a0，即a0=576，故A正确；
令t=1，可得a0+a1+⋯+a9=2(2−1)5+(2−1)9=3，故B正确；
由题可知a1=2C5124(−1)1+C9128(−1)1=−160−2304=−2464，故C正确；
由2(2−t)5+(2−t)9=a0+a1t+⋅⋅⋅+a9t9，
对等式两边同时求导可得：−10(2−t)4−9(2−t)8=a1+2a2t+⋯+9a9t8，
令t=1，可得a1+2a2+⋅⋅⋅+9a9=−10(2−1)4−9(2−1)8=−19，故D错误．
故选：ABC.
利用换元法令t=x+1，将方程转化为关于t的多项式，然后利用赋值法进行求解即可．
本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，考查化归与转化思想，是中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：令f(x)=x−lnx，0所以f(x)在(0,1)上单调递减，又0所以f(x1)>f(x2)，即x1−lnx1>x2−lnx2，
所以x1−x2>lnx1x2，故A正确；
设g(x)=exx,0所以g(x)在(0,1)上单调递减，又0所以g(x1)>g(x2)，即ex1x1>ex2x2，
所以x1ex2令h(x)=lnxx,00在x∈(0,1)上恒成立，
所以h(x)在(0,1)上单调递增，又0所以h(x1)所以x1x2令u(x)=e1−x+lnx，0令φ(x)=−xe1−x+1，
所以φ′(x)=(x−1)e1−x<0在x∈(0,1)上恒成立，
所以φ(x)在(0,1)上单调递减，
所以φ(x)>φ(1)=0，
所以u′(x)>0在x∈(0,1)上恒成立，
所以u(x)在(0,1)上单调递增，
又0所以u(x1)即e1−x1+lnx1所以1−ex1−x2故选：ABD.
分别构造函数f(x)=x−lnx，0构造函数u(x)=e1−x+lnx，0本题考查了导数的综合运用，难点是根据题意构造适当的函数，属于难题．
13.【答案】∃x≥2，x2<2
【解析】解：命题为全称命题，命题“∀x≥2，x2≥2”的否定是∃x≥2，x2<2.
故答案为：∃x≥2，x2<2.
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
14.【答案】5
【解析】解：x−=8+8.5+9+9.5+105=9，y−=16+15+13+11+105=13，
∴样本点的中心的坐标为(9,13)，可得a =13+3.2×9=41.8，
∴y关于x的线性回归方程为y =−3.2x+41.8，
当x=11.5时，y =−3.2×11.5+41.8=5.
∴当售价为11.5元时，预测销售量为5件．
故答案为：5.
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解a ，取x=11.5求解y 值，则答案可求．
本题考查线性回归方程的应用，是基础题．
15.【答案】−7
【解析】解：由f(x)=ax3+x2−2得f′(x)=3ax2+2x，∵直线y=kx+b与曲线f(x)=ax3+x2−2相切于点P(1,1)，
∴1=k+b1=a+1−2k=3a+2，解得a=2k=8b=−7.
故答案为：−7.
求出原函数的导函数，由已知可得关于k，a，b的方程组，求解得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】218
【解析】解：根据黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次可知，
X的可能取值是1，2，3，4，5，
P(X=1)=310，
P(X=2)=710×39=730，
P(X=3)=710×69×38=740，
P(X=4)=710×69×58×37=18，
P(X=5)=710×69×58×47=16，
所以E(X)=1×310+2×730+3×740+4×18+5×16=218.
故答案为：218.
根据题意可知，X的可能取值是1，2，3，4，5，计算对应概率，求出期望即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由表中数据可得，x−=15×(10+20+30+40+50)=30，y−=15×(40+70+110+130+150)=100，
所以b =17800−5×30×1005500−5×302=2.8,a =100−2.8×30=16，
故回归方程为y =2.8x+16；
(2)由(1)知y =2.8x+16，令y =2.8x+16=200，解得x≈65.7(万元)，
故预测当销售额为200万元时，成本大约为65.7万元．
【解析】(1)先求出样本中心点的坐标，利用公式求出b =2.8，再求出a 的值即可；
(2)y=2.8x+16=200，求得x的值即可．
本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)根据题意，不等式y=ax2+(b−2)x+3>0的解集为{x|−1则a+2−b+3=09a+3b−6+3=0，解得a=−1,b=4.，
故y=ax2+(b−2)x+3=−x2+2x+3≥4，
x2−2x+1≤0，解得x=1.
所求解集为{1}.
(2)x=1时，y=2，即a+b+1=2，所以有a+b=1，
那么1a+4b=(1a+4b)(a+b)
=1+4+ba+4ab≥5+2 4=9，
当且仅当ba=4aba+b=1，即a=13,b=23时，取等号．
故1a+4b的最小值为9.
【解析】(1)根据不等式的解集得到方程的根，代入求出a，b，从而解不等式求出解集；
(2)先得到a+b=1，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．
本题考查基本不等式的性质和应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
19.【答案】解：(1)在数列{an}中，Sn=2an−2，当n≥2时，Sn−1=2an−1−2，
两式相减得an=2an−2an−1，
即an=2an−1，而a1=S1=2a1−2，有a1=2，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，an=2⋅2n−1=2n，
所以{an}的通项公式是an=2n.
(2)由(1)知bn=3n−1an=3n−12n，
则Tn=22+522+823+⋅⋅⋅+3n−12n，
于是12Tn=222+523+824+⋅⋅⋅+3n−42n+3n−12n+1，
两式相减得12Tn=1+322+323+324+⋅⋅⋅+32n−3n−12n+1=1+34(1−12n−1)1−12−3n−12n+1=52−3n+52n+1，
所以Tn=5−3n+52n.
【解析】(1)根据给定的递推公式，结合“n≥2，an=Sn−Sn−1”求解作答．
(2)由(1)的结论，利用错位相减法求和作答．
本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据题意，得到2×2列联表为：
零假设为H0：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关联．
根据列联表中数据，可以求得：
χ2=400×(150×90−90×70)2220×180×160×240=15011≈13.636>7.879=x0.005，
根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关．
(2)从男生中抽取：8×150150+90=5(人)，
从女生中抽取：8×90150+90=3(人).
X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C53C83=528,P(X=1)=C52C31C83=1528，
P(X=2)=C51C32C83=1556,P(X=3)=C33C83=156，
X的分布列为：
所以E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98.
【解析】(1)完成列联表，利用公式求解χ2，即可得出结论．
(2)利用超几何分布求解对应概率，得出分布列，即可得出结果．
本题考查了独立性检验以及离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
21.【答案】解：(1)若从文理科各抽取的5次成绩中，分别随机抽取2次文科科目和2次理科科目成绩，
此时至少有3次成绩优秀的概率P=C11C41C32+C42C31C21+C42C32C52C52=3350；
(2)若每次月考文科科目和理科科目每门成绩优秀的概率分别为p1，p2，
则自主学习后该同学每次月考获得“优学达人”的概率为P=C21p1(1−p1)⋅C22p22+C22p12⋅C21p2(1−p2)+C22p12⋅C22p22
=2p1p2(p1+p2)−3(p1p2)2=3p1p2−3(p1p2)2，
因为p1+p2=32，且p1≥45,p2≥35，
所以32−p1≥35，
整理得p1≤910，
解得45≤p1≤910，
此时p1p2=p1(32−p1)=−(p1−34)2+916，
则p1p2∈[2750,1425].
不妨令p1p2=t，
可得P=−3t2+3t=−3(t−12)2+34在[2750,1425]上单调递减，
所以P∈[462625,18632500]，
因为该学生在这5次月考中获得“优学达人”称号的次数服从二项分布，
所以X∼B(5,P)，
则E(X)=5P∈[462125,1863500]，
故X的数学期望的取值范围是[462125,1863500].
【解析】(1)由题意，要使至少有3次成绩优秀，此时情况分为：1次文科科目和2次理科科目成绩优秀，2次文科科目和1次理科科目成绩优秀，2次文科科目和2次理科科目成绩优秀，代入概率公式中进行求解即可；
(2)先求出自主学习后该同学每次月考获得“优学达人”的概率，并求出其范围，根据条件知学生获得“优学达人”称号的次数X∼B(5,P)，再利用二项分布的均值公式即可求出结果．
本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：(1)函数f(x)=xex−2aex，x∈[0,+∞),
可得f′(x)=(x+1−2a)ex，
当1−2a≥0，即a≤−12时，f′(x)≥0，f(x)在[0,+∞)上当递增，
当1−2a<0，即a>12时，令f′(x)>0，解得x>2a−1，
令f′(x)<0，解得0≤x<2a−1，
所以函数f(x)在(2a−1,+∞)上单调递增，在[0,2a+1)上单调递减，
综上所述，当a≤12时，f(x)单调递增区间为[0,+∞),
当a>12时，f(x)单调递增区间为(2a−1,+∞)，单调递减区间为[0,2a−1).
(2)设函数h(x)=f(x)−g(x)=xex−2aex+ax+2，
则h′(x)=(x+1−2a)ex+a，
令φ(x)=(x+1−2a)ex+a，φ′(x)=(x+2−2a)ex，
当2−2a≥0，即a≤1时，φ′(x)≥0，
即φ(x)=(x+1−2a)ex+2a≥φ(0)=1−a≥0，
所以h′(x)=(x+1−2a)ex+a≥0，
所以h(x)=xex−2aex+ax+2≥h(0)=2−2a≥0成立，符合题意，
当2−2a<0时，即a<1时，令φ′(x)<0，解得x<2−2a，
所以φ(x)在区间[0,2−2a)上单调递减，
又由φ(0)=1−a<0，
此时h(x)在[0,2−2a)上单调递减，
所以h(x)综上所述，实数a的取值范围为(−∞,1].
(3)证明：取a=1时，由(2)知xex−2ex+x+2≥0，
因为x≥0，令x=lnt(t≥1)，代入得到tlnt−2t+lnt+2≥0，即lnt≥2t−21+t①，
又2t−21+t=2−4t+1∈[0,2),
令2t−21+t=1n，n∈N*，即t=2n+12n−1，
代入①可得1n所以1+12+13+...+1n<(ln3−ln1)+(ln5−ln3)+...+[ln(2n+1)−ln(2n−1)]=ln(2n+1)成立．
【解析】(1)函数f(x)=xex−2aex，x∈[0,+∞),求到得f′(x)=(x+1−2a)ex，分两种情况：当1−2a≥0，当1−2a<0，分析f′(x)的符号，f(x)的单调性．
(2)设函数h(x)=f(x)−g(x)=xex−2aex+ax+2，求导分析单调性，使得f(x)≥0，进而可得a的取值范围．
(3)取a=1时，由(2)知xex−2ex+x+2≥0，令x=lnt(t≥1)，代入得到tlnt−2t+lnt+2≥0，即lnt≥2t−21+t①，令2t−21+t=1n，n∈N*，可得1n本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．售价x
8
8.5
9
9.5
10
销售量y
16
15
13
11
10
成本x(万元)
10
20
30
40
50
销售额y(万元)
40
70
110
130
150
男
女
合计
了解
150
240
不了解
90
合计
α
0.10
0.05
0.010
0.005
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
男
女
合计
了解
150
90
240
不了解
70
90
160
合计
220
180
400
X
0
1
2
3
P
528
1528
1556
156