2020-2021学年河北省唐山市高一（上）期末考试数学试卷 人教A版（2019）（Word含解析）

这是一份2020-2021学年河北省唐山市高一（上）期末考试数学试卷 人教A版（2019）（Word含解析），共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知全集U=1,2,3,4,5，集合A=2,4，B=3,4，则A∪∁UB=( )
A.2,3,4B.1,2,4,5C.2,5D.{2}

2. sin−1080∘=( )
A.−12B.1C.0D.−1

3. 命题” ∀x∈R，x2−x+1=0 ''的否定为( )
A.∀x∈R，x2−x+1≠0B.∃x∈R，x2−x+1=0
C.∃x∈R，x2−x+1≠0D.∃x∉R，x2−x+1≠0

4. 已知a=lge，b=ln0.8，c=20.1，则( )
A.a
5. 已知集合A={y|y=lg2x，x<2}，B={y|y=12x,x<2} ，则A∩B=( )
A.(0,14)B.(0,1)C.(−∞,14)D. (14,1)

6. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,22)，则下列关于f(x)说法正确的是( )
A.奇函数B.偶函数
C.定义域为[0, +∞)D.在(0, +∞)上单调递减

7. 已知函数fx=lg3x+3x，gx=3x+3x，ℎx=x3+3x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为( )
A.x2
8. “不等式mx2+x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A.m>12B.014D.m>1
二、多选题

下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞上单调递增的函数是( )
A.y=e|x|B.y=ex−e−xC.y=lnx2+1D.y=csx

已知a>0，b>0，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有( )
A.a+b2≥a2+b22B.a+b1a+1b≥4C.a2+b2ab≥a+bD.a+1a+1>1

函数fx=Asinωx+φ(A，ω，φ是常数， A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )

A.f0=1
B.在区间−π3,0上单调递增
C.将fx的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数
D.fx=−f2π3−x

已知函数 fx=12|x|+12,|x|≤1，x−22,x>1，函数gx=b−fx，且b>0，则gx零点的个数可能为( )
A.4B.3C.2D.1
三、填空题

已知sinα=−35，α是第四象限角，则tan(α−π4)=________.

当x>0时，函数fx=xx2+1的最大值为________.

将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为________.

某种候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究候鸟的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位： m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v=alg2Q10（其中a是实数）．据统计，该种鸟类在耗氧量为80个单位时，其飞行速度为 18m/s，则a=________；若这种候鸟飞行的速度不能低于60m/s，其耗氧量至少要________个单位．
四、解答题

计算下列各式的值.
(1)1412+38−8114；

(2)2lg32−lg336+lg25×lg54．

已知A=x|lg23−2x<0，B=x|x2−a+2x+2a<0．若A⊆B，求a的取值范围．

已知函数fx=2sin2x+sin2x+π6．
(1)求fx的最小正周期；

(2)若x∈−π2,π12，求fx的值域．

某工厂进行废气回收再利用，把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=14x2−50x+40000，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的月平均处理成本最低？

(2)该工厂每月进行废气回收再利用能否获利？如果获利，求出月最大利润；如果不获利，求出月最大亏损额．

已知定义域为R的函数fx=n−3x3+3x+1是奇函数．
(1)求y=fx的解析式；

(2)若flg4x⋅lg28x+f4−2a>0恒成立，求实数a的取值范围．

如图，在Rt△ACB中，斜边AB=2，BC=1，在以AB为直径的半圆上有一点D（不含端点）， ∠DAB=θ ，设△ABD的面积S1，△ACD的面积S2.

(1)若S1=S2，求θ；

(2)令S=S1−S2，求S的最大值及此时的θ.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省唐山市高一(上)期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
利用补集的思想解得CUB，再利用集合的并集得解.
【解答】
解：由题设∁UB=1,2,5，
所以A∪∁UB=1,2,4,5.
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
诱导公式
【解析】
利用诱导公式以及特殊角的三角函数值得解.
【解答】
解：sin−1080∘
=sin360∘×−3+0∘
=sin0∘=0.
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
全称命题与特称命题
【解析】
利用全称命题的否定为特称命题，进行“改量词，否结论”即可.
【解答】
解：命题∀x∈R，x2−x+1=0为全称命题，
其否定为特称命题，其否定为∃x∈R，x2−x+1≠0.
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用a=lge20=1，可得解.
【解答】
解：因为0b=ln0.8c=20.1>20=1，
所以b故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：已知A={y|y=lg2x，x<2}，B={y|y=12x，x<2} ，
则A={y|y<1}，B={y|y>14}，
∴A∩B=(14,1).
故选D.
6.
【答案】
D
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】
先利用已知点求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质解题即可．
【解答】
解：由题意，设幂函数f(x)=xα.
∵ 幂函数y=f(x)的图象过点(2,22)，
∴ 2α = 22，
解得α = − 12，
∴ f(x) =x−12=1x，
∴ y=f(x)的定义域为(0, +∞)，且在(0, +∞)上单调递减，
故选项C错误，选项D正确；
∵ 函数y=f(x)的定义域为(0, +∞)，不关于原点对称，
∴ 函数y=f(x)不具有奇偶性，故选项A错误，选项B错误.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
函数的零点
【解析】
利用代值验证函数的零点.
【解答】
解：令f(x)=lg3x+3x=0，
解得x1=13.
当x=0时，g(0)=1，
当x=−1时，g(−1)=−83<0，
所以x2∈−1,0.
令ℎx=x3+3x=0，
解得x3=0，
所以x2故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
不等式恒成立的问题
【解析】
先求出不等式mx2+x+m>0在R上恒成立的充要条件，再利用充分必要条件的判定即可得到结论.
【解答】
解：当m>0时，
要使不等式mx2+x+m>0在R上恒成立，
则Δ=12−4m2<0，
解得m>12，
故“不等式mx2+x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>14.
故选C.
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
函数奇偶性的判断
奇偶性与单调性的综合
【解析】
函数是偶函数，又在区间0,+∞上单调递增，故正确；
f(x)=ex-e−x,f(-x)=e−x-ex=-f(x)，函数为奇函数，故错误；
y=f(x)=lnx2+1，f(−x)=lnx2+1=f(x)，函数为偶函数，由复合函数的单调性得0,+∞单调递增，故正确；
y=csx是偶函数，但在0,+∞不具备单调性，故错误.
【解答】
解：对于A，y=f(x)=e|x|，f(−x)=e|−x|=f(x)，
函数是偶函数，且在区间0,+∞上单调递增，
故该选项正确；
对于B，y=f(x)=ex−e−x，f(−x)=e−x−ex=−f(x)，
函数为奇函数，故该选项错误；
对于C，y=f(x)=lnx2+1，f(−x)=lnx2+1=f(x)，
函数为偶函数.
由复合函数的单调性得，
函数在0,+∞上单调递增，故该选项正确；
对于D，y=csx是偶函数，但在0,+∞上不具备单调性，
故该选项错误.
故选AC.
【答案】
B,C,D
【考点】
基本不等式
不等式性质的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由a2+b2≥2ab，
得2a2+b2≥a+b2，
所以a2+b22≥a+b2，故A错误；
由a>0，b>0，
得a+b1a+1b=2+ab+ba
≥2+2ab⋅ba=4，
当且仅当ab=ba，即a=b时等号成立，故B正确；
由a>0，b>0，
得a2+b22−aba+b2=a−ba3−b3
=a−b2a2+ab+b2≥0，
即a2+b22≥aba+b2，
所以a2+b22ab≥a+b2，
即a2+b2ab≥a+b，故C正确；
由a>0，得a+1>1，
所以a+1a+1=a+1+1a+1−1
≥2(a+1)⋅1a+1−1=1，
当且仅当(a+1)=1a+1，与a>0矛盾，故等号不成立，
所以a+1a+1>1，故D正确.
故选BCD.
【答案】
B,D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的单调性
【解析】
由函数的图象得fx=2sin(2x+π3)，在逐项分析得解.
【解答】
解：由图象得A=2，34T=7π12−−π6，
则T=π=2πω，解得ω=2.
将−π6,0代入f(x)=2sin2x+φ，解得φ=π3，
所以fx=2sin(2x+π3)，
所以f0=2sinπ3=3，故A错误；
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，
当k=0时，单调递增区间为−5π12,π12，
−π3,0在−5π12,π12内，故B正确；
将f(x)的图象向左平移π6个单位，
得到的函数解析式为：
g(x)=2sin[2x+π6+π3]=2sin2x+2π3，
显然不是偶函数，故C错误；
f2π3−x=2sin22π3−x+π3
=2sin5π3−2x=2sin2π−2x+π3
=−2sin2x+π3，故D正确.
故选BD.
【答案】
B,C,D
【考点】
函数的零点
分段函数的应用
【解析】
函数零点的个数可转化为b=f(x)的解，其中b>0，
即y=b与y=f(x)的交点的个数，
由图象可得交点的个数可能为1个，2个，3个
【解答】
解：作出函数fx的图象，如图所示，
函数g(x)=b−f(x)零点的个数可转化为b=f(x)的解，其中b>0，
即y=b与y=f(x)的交点的个数，
由图象可得交点的个数可能为1个，2个，3个.
故选BCD.
三、填空题
【答案】
−7
【考点】
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正切公式
【解析】
由α为第四象限角，得到csα的值大于0，进而根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出csα的值，可得出tanα的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把tanα的值代入即可求出值．
【解答】
解：∵ sinα=−35，α是第四象限角，
∴ csα=1−sin2α=45，
∴ tanα=sinαcsα=−34，
则tan(α−π4)=tanα−11+tanα=−34−11−34=−7．
故答案为：−7.
【答案】
12
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用基本不等式进行求解即可.
【解答】
解：∵ x>0，
∴ fx=xx2+1=1x+1x≤12x⋅1x=12，
当且仅当x=1x，即x=1时等号成立，
∴ 函数fx的最大值为12.
故答案为：12.
【答案】
y=sin12x−π6
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
利用三角函数的平移变换及周期变换得到答案即可.
【解答】
解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度，
得y=sinx−π6.
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得y=sin12x−π6，
故所得图象的函数解析式为y=sin12x−π6.
故答案为：y=sin12x−π6.
【答案】
6,10240
【考点】
对数及其运算
函数模型的选择与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知，v=alg2Q10（其中a是实数），
当该种鸟类在耗氧量为80个单位时，其飞行速度为 18m/s，
故18=alg28010，
解得a=6，
∴ v=6lg2Q10.
若这种候鸟飞行的速度不能低于60m/s，
则v=6lg2Q10≥60，
则lg2Q10≥lg2210，
解得Q≥10240，
即耗氧量至少要10240个单位.
故答案为：6；10240.
四、解答题
【答案】
解：(1)原式=12+2−3=−12.
(2)原式=lg34−lg336+lg25×2lg52
=lg319+2
=−2+2
=0.
【考点】
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
对数及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)原式=12+2−3=−12.
(2)原式=lg34−lg336+lg25×2lg52
=lg319+2
=−2+2
=0.
【答案】
解：由lg23−2x<0，
得0<3−2x<1，
解得1即A=x|1由x2−a+2x+2a<0，
得x−ax−2<0.
当a≥2时，A⊈B，不符合题意，舍去；
当a<2时，则B=x|a因为A⊆B，
所以a的取值范围是a≤1．
【考点】
集合的包含关系判断及应用
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由lg23−2x<0，
得0<3−2x<1，
解得1即A=x|1由x2−a+2x+2a<0，
得x−ax−2<0.
当a≥2时，A⊈B，不符合题意，舍去；
当a<2时，则B=x|a因为A⊆B，
所以a的取值范围是a≤1．
【答案】
解：(1)由已知fx=2sin2x+sin2x+π6
=1−cs2x+32sin2x+12cs2x
=32sin2x−12cs2x+1
=sin2x−π6+1，
∴ 函数fx的最小正周期T=π.
(2)因为x∈−π2,π12 ，
所以2x−π6∈[−7π6,0]，
所以sin(2x−π6)∈−1,12．
所以fx∈0,32．
【考点】
三角函数的周期性及其求法
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知fx=2sin2x+sin2x+π6
=1−cs2x+32sin2x+12cs2x
=32sin2x−12cs2x+1
=sin2x−π6+1，
∴ 函数fx的最小正周期T=π.
(2)因为x∈−π2,π12 ，
所以2x−π6∈[−7π6,0]，
所以sin(2x−π6)∈−1,12．
所以fx∈0,32．
【答案】
解：(1)由题意可知，二氧化硫每吨的平均处理成本为：
yx=14x+40000x−50≥214x⋅40000x−50=150，
当且仅当14x=40000x，即x=400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为150元．
(2)不获利．
设该单位每月获利为W元，
则W=100x−y
=100x−(14x2−50x+40000)
=−14x2+150x−40000
=−14x−3002−17500．
因为x∈[200,500]，
所以W∈[−27500,−17500]，
故该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元．
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
根据实际问题选择函数类型
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意可知，二氧化硫每吨的平均处理成本为：
yx=14x+40000x−50≥214x⋅40000x−50=150，
当且仅当14x=40000x，即x=400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为150元．
(2)不获利．
设该单位每月获利为W元，
则W=100x−y
=100x−(14x2−50x+40000)
=−14x2+150x−40000
=−14x−3002−17500．
因为x∈[200,500]，
所以W∈[−27500,−17500]，
故该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元．
【答案】
解：(1)因为函数fx=n−3x3+3x+1是定义在R上的奇函数，
所以f(0)=n−13+3=0，
所以n−1=0，即n=1．
所以函数fx=1−3x3+3x+1．
(2)由(1)知fx=1−3x3+3x+1
=−13⋅[3x+1−23x+1]
=−13+23⋅(3x+1)，
所以fx在R上单调递减．
由flg4x⋅lg28x+f4−2a>0，
得flg4x⋅lg28x>−f4−2a.
因为函数fx是奇函数，
所以flg4x⋅lg28x>f2a−4，
所以lg4x3−lg2x<2a−4，
整理得12lg2x3−lg2x<2a−4.
设t=lg2x，t∈R，
则123t−t2<2a−4.
当t=32时，123t−t2有最大值，最大值为98，
所以2a−4>98，即 a>4116．
【考点】
函数奇偶性的性质
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为函数fx=n−3x3+3x+1是定义在R上的奇函数，
所以f(0)=n−13+3=0，
所以n−1=0，即n=1．
所以函数fx=1−3x3+3x+1．
(2)由(1)知fx=1−3x3+3x+1
=−13⋅[3x+1−23x+1]
=−13+23⋅(3x+1)，
所以fx在R上单调递减．
由flg4x⋅lg28x+f4−2a>0，
得flg4x⋅lg28x>−f4−2a.
因为函数fx是奇函数，
所以flg4x⋅lg28x>f2a−4，
所以lg4x3−lg2x<2a−4，
整理得12lg2x3−lg2x<2a−4.
设t=lg2x，t∈R，
则123t−t2<2a−4.
当t=32时，123t−t2有最大值，最大值为98，
所以2a−4>98，即 a>4116．
【答案】
解：(1)在Rt△ACB中，AB=2，BC=1，
所以AC=3，∠BAC=π6，∠ABC=π3．
又因为D为以AB为直径的半圆上的一点，
所以∠ADB=π2．
在Rt△ADB中，
AD=2csθ，BD=2sinθ，θ∈0,π2.
过点C作CF⊥AD于点F，
则CF=3sinθ+π6，
则S1=12AD⋅BD
=12×2csθ×2sinθ
=sin2θ，
S2=12AD⋅CF
=12×2csθ×3sin(θ+π6）
=3csθsin(θ+π6).
若S1=S2，
则sin2θ=3csθsin(θ+π6).
因为csθ≠0，
所以2sinθ=3sin(θ+π6)，
所以2sinθ=32sinθ+32csθ，
整理得12sinθ=32csθ，
所以tanθ=3，
所以θ=π3．
(2)由(1)得，S=sin2θ−3csθsinθ+π6
=sin2θ−3csθ32sinθ+12csθ
=sin2θ−34sin2θ−34(1+cs2θ)
=14sin2θ−34cs2θ−34
=12sin(2θ−π3)−34.
因为0<θ<π2，
所以−π3<2θ−π3<2π3，
当2θ−π3=π2，即θ=5π12时，S有最大值为12−34．
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
在实际问题中建立三角函数模型
函数最值的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)在Rt△ACB中，AB=2，BC=1，
所以AC=3，∠BAC=π6，∠ABC=π3．
又因为D为以AB为直径的半圆上的一点，
所以∠ADB=π2．
在Rt△ADB中，
AD=2csθ，BD=2sinθ，θ∈0,π2.
过点C作CF⊥AD于点F，
则CF=3sinθ+π6，
则S1=12AD⋅BD
=12×2csθ×2sinθ
=sin2θ，
S2=12AD⋅CF
=12×2csθ×3sin(θ+π6）
=3csθsin(θ+π6).
若S1=S2，
则sin2θ=3csθsin(θ+π6).
因为csθ≠0，
所以2sinθ=3sin(θ+π6)，
所以2sinθ=32sinθ+32csθ，
整理得12sinθ=32csθ，
所以tanθ=3，
所以θ=π3．
(2)由(1)得，S=sin2θ−3csθsinθ+π6
=sin2θ−3csθ32sinθ+12csθ
=sin2θ−34sin2θ−34(1+cs2θ)
=14sin2θ−34cs2θ−34
=12sin(2θ−π3)−34.
因为0<θ<π2，
所以−π3<2θ−π3<2π3，
当2θ−π3=π2，即θ=5π12时，S有最大值为12−34．