2023-2024学年河北省衡水市武强中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省衡水市武强中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是( )
A. B. C. D.
2.已知z=2−i，则z(z−+i)=( )
A. 6−2iB. 4−2iC. 6+2iD. 4+2i
3.如图，平行四边形ABCD中，E是BC的中点，若AB=a，AD=b，则DE=( )
A. 12a−bB. 12a+bC. a+12bD. a−12b
4.在△ABC中，若b=1，A=60°，△ABC的面积为 3，则a=( )
A. 13B. 13C. 2D. 2
5.已知|a|=2，向量a在向量b上的投影数量为 3，则a与b的夹角为
( )
A. π3B. π6C. 2π3D. π2
6.如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为
( )
A. 2 2B. 1C. 2D. 2(1+ 2)
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccsB+bcsC=asinA，△ABC的面积S= 34(b2+a2−c2)，则B=( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
8.已知ΔABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA⋅(PB+PC)的最小值是
( )
A. −2B. −32C. −43D. −1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=1+ 3i，z−为z的共轭复数，复数ω=z−z，则下列结论正确的是( )
A. ω对应的点在复平面的第二象限B. |ω|=1
C. ω的实部为−12D. ω的虚部为 3
10.如果平面向量a=(2,−4)，b=(−6,12)，那么下列结论中正确的是( )
A. |b|=3|a|B. a/​/b
C. a与b的夹角为30°D. a在b方向上的投影向量为(−2,4)
11.在△ABC中，下列命题正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC定为等腰三角形
C. 若acsB−bcsA=c，则△ABC定为直角三角形
D. 若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b= 6，c=3，则A= ．
13.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则AB边上的中线的实际长度为______．
14.如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1， 2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R)，则m+n= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=3，|b|=5，|a+b|=7．
(1)求向量a与b的夹角θ；
(2)当向量ka+b与a−2b垂直时，求实数k的值．
16.(本小题15分)
已知：复数z=(1+i)2+2i1−i，其中i为虚数单位．
(1)求z及|z|；
(2)若z2+az−+b=2+3i，求实数a，b的值．
17.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知csinB=bcsC．
(1)求C；
(2)若c= 13，b=2 2，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
已知复数z=1+mi(i是虚数单位，m∈R)，且z−⋅(3+i)为纯虚数(z−是z的共轭复数)
(1)求实数m及|z|；
(2)设复数z1=a−i2223z，且复数z1对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，现有下列四个条件：①a= 3；②b=2；③cs2A+csA=0；④a2+c2−b2=−2 33ac．
(1)③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
(2)已知△ABC同时满足上述四个条件中的三个，请选择使△ABC有解的三个条件，求△ABC的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．
故选：A．
对选项进行分析，即可得出结论．
本题考查用过球心的平面去截这个组合体的截面图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
把z=2−i代入z(z−+i)，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：∵z=2−i，
∴z(z−+i)=(2−i)(2+i+i)
=(2−i)(2+2i)=4+4i−2i−2i2=6+2i．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量的加法运算，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用向量的加法运算，即可得到结论．
【解答】
解：∵平行四边形ABCD中，E是BC的中点，
∴DE=DC+CE=DC+12CB
∵AB=a，AD=b，
∴DE=a−12b
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由已知利用三角形面积公式可求c的值，进而利用余弦定理即可解得a的值．
【解答】
解：∵b=1，A=60°，△ABC的面积为 3=12×1×c× 32，
∴解得：c=4，
∴由余弦定理可得：a= b2+c2−2bccsA
= 1+16−2×1×4×12= 13．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的投影、夹角，属于基础题．
利用平面向量投影的定义，列出方程求出a与b夹角的余弦值，即可得出夹角大小．
【解答】解：记向量a与向量b的夹角为θ，θ∈[0,π]，
而|a|=2，
∴a在b上的投影数量为|a|csθ=2csθ．
∴2csθ= 3，
∴csθ= 32，
∵θ∈[0,π]，
∴θ=π6．
故选B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法的应用，属于基础题．
将直观图还原成原来的图形，即平行四边形，由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形的高，即可求出原图形的面积．
【解答】
解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以原图形为平行四边形，且OA为其中一边，OB是其一条对角线
直观图中：计算得OB= 2，
所以由斜二测画法知，对应原图形，即平行四边形的高为2 2，
所以原图形的面积为：1×2 2=2 2．
故选A．
7.【答案】D
【解析】解：由正弦定理及ccsB+bcsC=asinA，
得sinCcsB+sinBcsC=sin2A，
所以sin(C+B)=sinA=sin2A，
因为00，所以csA=0，所以A=π2，
故△ABC定为直角三角形，
故C选项正确；
对于D选项，∵△ABC的三边之比为3：5：7，
∴设三边长依次为3t，5t，7t，其中t>0；
设最大角是C，由余弦定理知，
49t2=9t2+25t2−2×3t×5tcsC，
∴csC=−12，
∴C=120°．
故D选项正确．
故选：ACD．
12.【答案】75°
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题．
根据正弦定理和三角形的内角和计算即可．
【解答】
解：根据正弦定理可得bsinB=csinC，C=60°，b= 6，c=3，
∴sinB= 6× 323= 22，
∵b