人教A版高中数学必修第一册第1章1-5-2全称量词命题和存在量词命题的否定课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第1章1-5-2全称量词命题和存在量词命题的否定课时学案，共12页。

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．(数学抽象)2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(逻辑推理)“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词．《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思．知识点　含有一个量词的命题的否定对全称量词命题、存在量词命题进行否定时，注意八个字“改变量词，否定结论”．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)全称量词命题的否定形式是唯一的． (　　)(2)命题 ¬p的否定是p． (　　)(3)∃x∈M，p(x)与∀x∈M, ¬p(x)的真假性相反． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√2．已知命题p：∀x>0，总有x＋1>1，则 ¬p为________．[答案]　∃x>0，使得x＋1≤1 类型1　全称量词命题的否定【例1】　写出下列命题的否定．(1)所有分数都是有理数；(2)所有被5整除的整数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0．[解]　(1)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．(2)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数．(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0．　对全称量词命题否定的两个步骤[跟进训练]1．写出下列全称量词命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)任何一个圆都是轴对称图形；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．[解]　(1)命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)命题的否定：存在一个圆不是轴对称图形．(3)命题的否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在． 类型2　存在量词命题的否定【例2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有的素数是偶数；(2)∃a，b∈R，a2＋b2≤0．[解]　(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数．由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：∀a，b∈R，a2＋b2>0．∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0，∴命题的否定是假命题．　对存在量词命题否定的两个步骤[跟进训练]2．(源自人教B版教材)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)p：∀x∈R，x2≥－1；(2)q：∀x∈{1，2，3，4，5}，1xm恒成立．因为y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5≥－5，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．[母题探究]把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式-x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．[解]　令y＝－x2＋4x－1，因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3，又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解，所以只要m小于函数的最大值即可，所以所求m的取值范围是{m|m<3}．　求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞y最大值(或a＜y最小值)．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞y最小值(或a＜y最大值)．[跟进训练]3．若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________．{a|a≤4}　[∵命题∀x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题，∴∃x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题，∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4．]1．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　)A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝xD　[此全称量词命题的否定为∃x∈R，x2＝x．故选D．]2．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(　　)A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1C　[“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C．]3．若命题“∃x＜2 022，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．{a|a≥2 022}　[由于命题“∃x＜2 022，x＞a”是假命题，因此其否定“∀x＜2 022，x≤a”是真命题，所以a≥2 022．]4．命题p：∀x∈R，x2－2x－3≥0的否定 ¬p是____________，¬p是一个______命题(填“真”或“假”)．∃x∈R，x2－2x－3<0　真　[命题p是一个全称量词命题，其否定形式为“∃x∈R，x2－2x－3<0”．因为x2－2x－3<0有解，故为真命题．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．全称量词命题的否定是什么量词命题？存在量词命题呢？[提示]　全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对只含有一个量词的命题否定时只否定结论吗？[提示]　不是，需先改变量词，再否定结论，如全称量词命题：∀x∈M，p(x)的否定为存在量词命题：∃x∈M, ¬p(x)．3．当全称量词命题为真命题时，其命题的否定为真命题还是假命题？[提示]　假命题． 课时分层作业(九)　全称量词命题和存在量词命题的否定一、选择题1．(2022·广东深圳市月考)命题“∀x>0，x2＋2x－3>0”的否定是(　　)A．∃x>0，x2＋2x－3<0B．∃x>0，x2＋2x－3≤0C．∃x<0，x2＋2x－3<0D．∃x≤0，x2＋2x－3≤0B　[命题“∀x>0，x2＋2x－3>0”的否定是 “∃x>0，x2＋2x－3≤0”．故选B．]2．(2022·辽宁实验中学月考)已知命题p：有些无理数不是实数，则 ¬p为(　　)A．有些无理数是实数B．无理数都不是实数C．无理数不都是实数D．无理数都是实数D　[存在量词命题的否定为全称量词命题．因为命题p：有些无理数不是实数，所以 ¬p为：无理数都是实数．故选D．]3．下列存在量词命题的否定中真命题的个数是(　　)(1)∃x∈R，x≤0；(2)至少有一个整数，它既不是合数，又不是素数；(3)∃x∈Z，使3x＋4＝5．A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3B　[对于(1)，取x＝－1，显然－1<0，故为真命题，其否定为假命题；对于(2)，存在整数，如1既不是合数又不是素数，故为真命题，其否定为假命题；对于(3)，当3x＋4＝5成立时，x＝13∉Z，因而不存在x∈Z，使3x＋4＝5，故为假命题，其否定为真命题．故选B．]4．(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　)A．p的否定：∃x∈R，x2＋1＝0B．p的否定：∀x∈R，x2＋1＝0C．p是真命题，p的否定是假命题D．p是假命题，p的否定是真命题AC　[命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，p的否定是假命题．故选AC．]5．(多选)对下列命题的否定说法正确的是(　　)A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形D．p：∀n∈N，2n≤100；p的否定：∃n∈N，2n>100ABD　[“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．故选ABD．]二、填空题6．“有些三角形的外角至少有两个钝角”的否定是__________．任意三角形的外角最多有一个钝角　[可知存在量词命题的否定是全称量词命题，则该命题的否定是“任意三角形的外角最多有一个钝角”．]7．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．∃x∈R，|x|＋x2<0　[全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“∃x∈R，|x|＋x2<0”．]8．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题的否定为真命题的序号是________．③④　[写出命题的否定，易知③④的否定为真命题；或者根据命题①②是真命题，③④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题．]三、解答题9．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：∀x∈R，x-122≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0．[解]　(1)p的否定：∃x∈R，x-122＜0，假命题．因为∀x∈R，x-122≥0恒成立，所以p的否定是假命题．(2)q的否定：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)r的否定：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以r的否定是真命题．(4)s的否定：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以s的否定是假命题．10．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)A．a<1 B．a≤1C．a>1 D．a≥1D　[因为p为假命题，所以 ¬p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，故选D．]11．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　 )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2D　[由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．故选D．]12．(多选)若“∀x∈M，x2>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　)A．{x|x<3} B．{x|－33} D．{x|2≤x≤3}BD　[若“∀x∈M，x2>x”为真命题，则由x2－x>0，解得x<0或x>1；若“∃x∈M，x>3”为假命题，则“∀x∈M，x≤3”为真命题，综上，x<0或10”是真命题，求m的取值范围．两位同学题中m的取值范围是否一致，为什么？[解]　一致．因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m的取值范围是一致的．15．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，若命题p为真命题，¬q为假命题，求实数m的取值范围．[解]　由题意知命题p，q都是真命题．由∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3．由∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．p ¬p结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M,¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M,¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题