2023-2024学年人教版（2012）九年级下册第二十七章相似单元测试卷(含答案)

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2023-2024学年 人教版（2012）九年级下册 第二十七章 相似 单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在中，分别是的中点，那么与的面积比是（    ）  A． B． C． D．2．如图，，，，，则的长为（    ）A．3 B．2 C．2.5 D．1.53．下列比例式中(a、b、c、d都不等于0)，不能得到的是 （    ）A． B． C． D．4．如图，是的中位线，若，则等于（    ）  A．5 B．4 C．3 D．25．如图，矩形和矩形，，，，，矩形绕点A旋转，给出下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（  ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④6．如图，已知和均为等边三角形，点在边上，与相交于点，，则的长为（    ）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，已知．若的面积为8，则的面积为（   ）A．2 B．4 C．6 D．88．如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段在横格纸上，与作业本的横格交于点B．若，则的长是（    ）A．9 B．12 C．14 D．159．如图，中，，，的垂直平分等线交于点，则下列结论中成立的有（    ）①；②是的平分线；③是等腰三角形；④  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角，窗户的高在教室地面上的影长米，窗户的下檐到教室地面的距离米（点、、在同一直线上），则窗户的高为（   ）A．米 B．1米 C．米 D．2米11．如图，在矩形中，为中点，连接交于点F，连，下列结论：  ①；②；③；④．其中正确的是（填写序号） ．12．如图，在中，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若两点同时出发，则当以点为顶点的三角形与相似时，运动时间为 s．13．在中．，，如果点为重心，那么的长等于 ．14．如图，在矩形中，，点是上一点，，点是边上的一个动点，若使得以为顶点的三角形与相似，则这样的点有 个．15．如图，已知，若点、在射线上，且满足，，是射线上的动点，同时在右侧作，且满足，则的面积为 ．若点运动轨迹与射线交于点，当的最小值时，此时的值为 ．16．如图，正方形的边长为，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，以为斜边作等腰（点，，按逆时针排序），则长的最小值为 ．17．如图，抛物线交轴于点两点，交轴于点，与过点且平行于轴的直线交于另一点，点是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)过点作直线的垂线，垂足为，若将沿翻折，点的对应点为，是否存在点，使点恰好落在轴上？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由．18．如图所示，在矩形中，．点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么：(1)点运动多少秒时，的面积为；(2)当为何值时，与相似？评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题评卷人得分四、问答题参考答案：1．B【分析】本题主要考查三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解．【详解】解：∵分别是的中点，∴，，∴，∴；故选B．2．A【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据平行线的性质可得，，进而证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】解：∵，∴，，∴，∴，∴，解得，故选A．3．D【分析】本题考查了比例的性质，根据“比例前项和后项的乘积等于比例中项的乘积”，据此逐个判断即可．【详解】解：A、∵，∴，故A不符合题意；B、∵，∴，故B不符合题意；C、∵，∴，故C不符合题意；D、∵，∴，故D符合题意；故选：D．4．B【分析】本题考查三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据是的中位线，可得，可得，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出．【详解】解：是的中位线，，，，，又，．故选B．5．B【分析】根据，，证明，则，，可判断①的正误；如图1，记交点为，交点为，由，可得，进而可判断②的正误；如图1，连接，由勾股定理得，，，可判断③的正误；如图1，作于，的延长线于，则四边形是矩形，求，的长，然后求面积即可，可判断④的正误．【详解】解：∵矩形和矩形，∴，∴，即，∵，∴，∴，，∴，①正确，故符合要求；如图1，记交点为，交点为，∵，，∴，∴，②正确，故符合要求；如图1，连接，由勾股定理得，，∵，∴，∴，③错误，故不符合要求；如图1，作于，的延长线于，则四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴，由勾股定理得，∴，∴，④正确，故符合要求；故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质 ，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题的关键．6．B【分析】证明，则，再证明，则，得到，代入数值，即可得到答案．此题考查了全等三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵和均为等边三角形，∴，，∴，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故选：B．7．A【分析】此题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出面积比，进而得出答案．【详解】解：∵是经过位似变换得到的，点是位似中心，，∴，∵的面积为8，∴的面积为：．故选：A．8．D【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，先根据题意推出，再由平行线分线段成比例定理得到，据此求解即可．【详解】解：如图所示，过点A作横线的垂线，由题意得，，∴，∴，即，故选D．9．D【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定，数形结合是解题关键．【详解】解：中，，，垂直平分，，是等腰三角形，，，，是的平分线，，为公共角，．综上所述：①②③④均正确．故选：D．10．D【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，根据题意，，易证，再根据相似三角形的性质解答即可．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：，，，又，米，米，（米），，，，解得：米，米．故选：．11．①③④【分析】利用矩形的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质即可解答．【详解】解：①为中点，，，，，，，，，，故①正确；②过点作于点，如图，  设，则，，，，，，设，则，在中，，即，解得：，，在中，由勾股定理得，，即，，，，故，故②错误；③，，，，，，，，，故③正确；④如图，  在，由勾股定理得，，，在，由勾股定理得，，在，由勾股定理得，，故④正确；故答案为①③④【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，相似三角形的性质等知识，关键能运用这些知识表示出需要的边或角，即可解决．12．3或4.8【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答．【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则．①当D与B对应时，有，∴，∴，∴；②当D与C对应时，有．∴，∴，∴．故当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3s或4.8s，故答案为：3s或4.8s．13．/ 【分析】此题主要考查学生对三角形重心的理解和掌握，根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出的长，再利用重心的性质即可求出的长．【详解】解：根据题意可画图如下，，，点G为重心，，，，∵点G为重心，故答案为：．14．3【详解】设．在矩形中，，当时，．即．当时，，即．综上所述，使得以为顶点的三角形与相似，这样的点有3个．【易错点分析】两个三角形已经有一对角相等，夹这个角的两边对应关系应该考虑两种情况，有的同学可能只考虑了一种，还有的同学考虑两种情况之后，会认为既然是两种情况，就应该有两个点P，实际解出来却不一定．所以不求出最后结果是很难判断准确的．15． 【分析】过点H作，利用勾股定理与逆定理可判断是等腰三角形，过E作于，在右侧作，则可证明，得出，进而得出，然后利用三角形的面积公式即可解答第一空；过H作于K，利用含的直角三角形的性质得出，则，故当A、H、K三点共线，且时，取最小值，过H作于P，得出，，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点H作，∵，，，∴，，设，则，∵，∴，，∴，∴，∴，过E作于，在右侧作，∴，∴，，∴，∴，，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴，∴；如图，过H作于K，∵，，∴，∴，∴当A、H、K三点共线，且时，取最小值，如图，过H作于P， ∴，，，∴，又，∴，∴，即当取最小值时，的值为．故答案为：，【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解，判定点H在平行与的直线上运动，当A、H、k三点共线，且时，取最小值，是解题的关键．16．【分析】根据正方形的性质和题干给定的是以为斜边作等腰直角三角形，证明，得到进一步证明，得到，由正方形的性质得点H为的中点，有点F在的垂直平分线上运动，当点F与点H重合时，的值最小．【详解】解：连接交于点G，连接并延长交于点H，如图，∵四边形是正方形，∴，，，∵是以为斜边作等腰直角三角形，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，则，∵，∴，∴，∴，则，∴，∵点G为正方形对角线的交点，∴点H为的中点，∴点F在的垂直平分线上运动，∵，∴当点F与点H重合时，的值最小，此时．即长的最小值为1．故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质和垂线段最短，准确找到点的运动轨迹是解题的关键．17．(1)，(2)或【详解】解：（1）根据题意得解得则抛物线的解析式为．∵当时，，．当时，，∴点的坐标为．（2）存在满足条件的点，显然点在直线下方，设点的坐标为．第一种情况：如下页图1，过点作于点，过点作于点，则．．又．则．即．解得，，．即．∴点的坐标为．第二种情况：如下页图2，延长交于点，则．．又．则，即，解得．图1                              图2．即．∴点的坐标为．综上所述，点的坐标为或．【易错点分析】不容易画图，中只有一个点是定点，其余的角和边都是动的，的位置也就是不确定的，由翻折之后的图形在哪就更不好确定．构造相似图形求解的过程计算量偏大，但是很快就会柳暗花明，结果还是比较简单的．18．(1)当为1或5时，的面积等于(2)当或时，与相似【分析】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定和性质，动点问题．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．（1）由题意可知，，再根据三角形面积公式列方程求解，即可得到答案；（2）由题意可知，，，分两种情况进行讨论，根据相似三角形的判定和性质分别求解，即可得到答案．【详解】（1）解：当运动时间为时，，依题意得：，整理得：，解得：，答：当为1或5时，的面积等于；（2）解：，，，①当时，，，解得：；②当时，，，解得：，当或时，与相似．