初中数学21.1 一元二次方程单元测试习题

这是一份初中数学21.1 一元二次方程单元测试习题，共11页。试卷主要包含了一元二次方程的根的情况是，已知为实数，且满足，则的值是，用配方法解方程，配方正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．向阳村2020年人均收入为万元，2022年人均收入为万元，设人均收入的年平均增长率为x，可列方程为：（ ）
A．B．
C．D．
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．以上都不对
3．将一个正方形的一条边长减去3，与该边相邻的另一条边长加上4，得到的矩形的面积为72．为了求正方形的边长，设正方形的边长为，则可以列出方程（ ）
A．B．
C．D．
4．已知为实数，且满足，则的值是（ ）
A．6B．30C．36D．12
5．电脑病毒传播，如果一台电脑被传染，经过两轮传播后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台会感染x台电脑，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．电影《八角笼中》第一天票房收入约亿元，第三天票房收入达到了亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为，则可列方程( )
A．B．
C．D．
7．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
8．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A．B．2023C．D．2024
9．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．且
10．用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知是一元二次方程的一个根，则a的值为 ．
12．若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ．
13．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为 ．
14．已知关于的一元二次方程，若这个方程没有实数根，则的取值范围是 ．
15．若实数分别满足下列条件：（1）；（2）．试判断点所在的象限为 ．
16．方程的负整数解为 ．
17．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论实数取何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求的值．
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根，，且，求的值．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
评卷人
得分
四、证明题
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设人均收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设人均收入的年平均增长率为x，依题意得：
，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当，方程没有实数根，进行解答即可．
【详解】解：，
，，，
，
故该二次函数没有实数根，
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清等量关系是解题关键．设正方形的边长为，根据题意“将一个正方形的一条边长减去3，与该边相邻的另一条边长加上4”，则得到的矩形的长和宽分别为、，然后根据矩形面积为72，列出方程即可．
【详解】解：设正方形的边长为，根据题意，
可列出方程为．
故选：C．
4．B
【分析】此题考查换元法解一元二次方程，将所求式子看做一个整体是解题的关键．将看成一个整体，不妨设为，则原式可变形为，因式分解法解方程，由为非负值，即可确定答案．
【详解】解：令，
由，
得，
∴或，
又∵，
∴，
即．
∴，
故选B．
5．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可直接列出方程．
【详解】解：由题意可得方程为；
故选C．
6．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设平均每天票房的增长率为，根据第一天票房收入约亿元，第三天票房收入达到了亿元，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为，根据题意得，
，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】由方程可知：
二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，，
故选：．
8．B
【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，先将代入，求出的值，再代入即可．
【详解】解：将代入，得，
，
，
故选B．
9．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据二次项系数不等于0，且列式求解即可．
【详解】解：由题意得
，且，
解得且，
故选：B．
10．A
【分析】本题主要考查的是配方法解一元二次方程，先移常数项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果．
【详解】，
，
，
，
故选：A．
11．2
【分析】本题考查一元二次方程的根，将代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：将代入，
得：，
解得，
故答案为：2．
12．
【分析】根据题意得：根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论，本题考查了根的判别式，掌握一元二次函数方程根的判别式判定根的情况的知识，得出关于的一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根，
，
解得：，
故答案为：．
13．13
【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题根据配方法可直接进行求解．
【详解】解：
，
∴，
∴；
故答案为13．
14．
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程没有实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
，即，
，
故答案为：．
15．第一或第二象限
【分析】本题考查象限内点的符号特征，解一元二次方程．根据题意，求出的值，的取值范围，进而判断出的横纵坐标的符号，即可．
【详解】解：∵，
∴或，
∵，
∴，
当时：，，
∴点在第二象限；
当时，，，
∴点在第一象限；
综上：点在第一或第二象限；
故答案为：第一或第二象限．
16．
【分析】本题考查换元法在解一元二次方程中的应用，设，，则，则可得，可得，即可得到或，再解方程即可，仔细观察得到是解题的关键．
【详解】解：设，，则，
可得，
解得，
或，
解得，
故方程的负整数解为，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)的值为或．
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法．
（1）计算出根的判别式的值即可判断，
（2）首先求出方程的两个根，进而得出，再利用已知条件得到关于的方程，解方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵
，
∴方程总有实数根，
即不论为何值，该方程总有实数根；
（2）解：由，
可得，
，，
，
又是方程的两个实数根，且，
，
或，
的值为或．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握：当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；一元二次方程的根与系数的关系为，，是解题的关键．
（1）由题意知，，然后作答即可；
（2）由题意知，，，由，可得，计算求解即可．
【详解】（1）证明：由题意知，，
∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意知，，，
∵，
∴，即，
∴，
解得，，
∴．