人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题5.1 任意角和弧度制-重难点题型精讲（2份打包，原卷版+含解析）

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专题5.1 任意角和弧度制-重难点题型精讲1．任意角(1)角的概念角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)角的表示如图：①始边：射线的起始位置OA；②终边：射线的终止位置OB；③顶点：射线的端点O；④记法：图中的角可记为“角 SKIPIF 1 < 0 ”或“ SKIPIF 1 < 0 ”或“AOB”.(3)角的表示在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定：这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.(4)角的相等设角 SKIPIF 1 < 0 由射线OA绕端点O旋转而成，角 SKIPIF 1 < 0 由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .(5)角的加、减法①角的加法设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是任意两个角.我们规定，把角 SKIPIF 1 < 0 的终边旋转角 SKIPIF 1 < 0 ，这时终边所对应的角是 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 .②相反角的概念我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角 SKIPIF 1 < 0 的相反角记为- SKIPIF 1 < 0 .③角的减法像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +(- SKIPIF 1 < 0 ).这样，角的减法可以转化为角的加法.2．象限角与终边相同的角(1)终边相同的角若角 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 终边相同，则它们的关系为：将角 SKIPIF 1 < 0 的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角 SKIPIF 1 < 0 .一般地，我们有：所有与角 SKIPIF 1 < 0 终边相同的角，连同角 SKIPIF 1 < 0 在内，可构成一个集合 SKIPIF 1 < 0 ，即任一与角 SKIPIF 1 < 0 终边相同的角，都可以表示成角 SKIPIF 1 < 0 与整数个周角的和. (2)象限角、轴线角①象限角、轴线角的概念在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. ②象限角的集合表示 ③轴线角的集合表示 (3)区间角、区域角 区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如 SKIPIF 1 < 0 .终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角.(4)角的终边的对称问题与垂直问题 角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称关系或垂直关系时，对于的角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：3．角度制、弧度制的概念(1)角度制角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的 SKIPIF 1 < 0 .这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制的相关概念①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.(3)弧度数在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为 SKIPIF 1 < 0 rad，那么 SKIPIF 1 < 0 .其中， SKIPIF 1 < 0 的正负由角 SKIPIF 1 < 0 的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.4．角度与弧度的换算(1)弧度与角度的换算公式(2)特殊角的度数与弧度数的对应表(3)用弧度表示终边相同的角用弧度表示与角 SKIPIF 1 < 0 终边相同的角的一般形式为 SKIPIF 1 < 0 ，这些角所组成的集合为 SKIPIF 1 < 0 .5．弧长公式、扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .(1)弧长公式由公式 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .(2)扇形面积公式 SKIPIF 1 < 0 .(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示6．弧度制下角的终边的对称与垂直角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，若两个角的终边关于某条直线（或点）对称，则这两个角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：【题型1 终边相同的角的表示】【方法点拨】根据与角 SKIPIF 1 < 0 终边相同的角的集合为 SKIPIF 1 < 0 ，进行求解即可．【例1】（2022·山东·高二阶段练习）下列与角的终边一定相同的角是（    ）A． B． ) C． ) D． )【变式1-1】（2022·浙江高一期末）下列选项中与角终边相同的角是（    ）A． B． C． D．【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）终边落在直线上的角的集合为（    ）A． B．C． D．【变式1-3】（2022·全国·高一课时练习）如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（    ）A． B．C． D．【题型2 象限角的判定】【方法点拨】判断角 SKIPIF 1 < 0 是第几象限角的常用方法为将 SKIPIF 1 < 0 写成 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 范围内）的形式，观察角 SKIPIF 1 < 0 的终边所在的象限即可.【例2】（2021·福建省高三开学考试）已知点，则角的终边在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（    ）A．第一象限角一定不是负角B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第二象限角必大于第一象限角D．钝角的终边在第二象限【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（    ）A．第二象限角大于第一象限角B．若，则为第一或第二象限角C．钝角一定是第二象限角D．三角形的内角是第一或第二象限角【变式2-3】（2022·全国·高一课时练习）设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【题型3 角度与弧度的换算】【方法点拨】根据角度与弧度的换算公式进行换算，再进行求解即可.【例3】（2022·安徽省高一开学考试）角的弧度数为（    ）A． B． C． D．【变式3-1】（2022·全国·高一课时练习）下列结论错误的是（    ）A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°C．化成弧度是 D．化成度是15°【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）化成弧度是（    ）A． B． C． D．【变式3-3】（2021·四川成都·高一期末）用弧度制表示为（    ）A． B． C． D．【题型4 角的终边的对称问题与垂直问题】【方法点拨】根据角 SKIPIF 1 < 0 终边的位置关系，进行求解即可.【例4】（2022·全国·高一课时练习）若，，则角与角的终边一定（    ）A．重合 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称【变式4-1】（2020·河南洛阳·高一期中）若,,其中,则角与的终边（    ）.A．关于原点对称 B．关于轴对称C．关于轴对称 D．关于对称【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为（　　）A．β＝α+90° B．β＝α±90°C．β＝α+90°+k•360°（k∈Z） D．β＝α±90°+k•360°（k∈Z）【变式4-3】（2022·全国·高一课时练习）若，且角的终边与角的终边垂直，则（    ）A． B． C． D．【题型5 弧长公式与扇形面积公式的应用】【方法点拨】结合具体条件，利用弧长公式与扇形面积公式进行转化求解即可.【例5】（2023·广东·高三学业考试）一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　）A． B． C． D．2【变式5-1】（2021·天津·高一期末）已知扇形的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形的周长为（    ）A．32 B．24 C． D．【变式5-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为16cm，则该扇形的中心角的弧度数为（    ）．A．2.3 B．2.5 C．2.4 D．2.6【变式5-3】（2022·广东·高二期中）如图是一个近似扇形的湖面，其中，弧的长为.为了方便观光，欲在两点之间修建一条笔直的走廊.若当时，，扇形的面积记为，则的值约为（    ）A． B．C． D．【题型6 与弧度有关的实际应用问题】【方法点拨】先读懂题意，明确题干的叙述，然后将所求问题转化为弧度的问题，如角度的表示、弧度制下的弧长及扇形面积等，最后回归到实际问题，得到答案.【例6】（2022·湖南·高一课时练习）时钟的分针长6cm，从10:30到10:55，求：(1)分针转过的角的弧度数；(2)分针扫过的扇形的面积；(3)分针尖端所走过的弧长．【变式6-1】（2022·湖南·高一课时练习）半径为12cm的轮子，以400r/min的速度按顺时针方向旋转．(1)轮沿上的点每秒转过的度数是多少？相应的弧度数呢？(2)求轮沿上的点在轮子转动1000°时所经过的路程．【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min，小轮的半径为10cm，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）单位圆上有两个动点、，同时从点出发，沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟走，点按顺时针方向每秒钟走，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度.