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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用同步训练题
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2.D 3.B 4.B 5.C 6.-952,126,-14 7.平行
8.解:(1)连接BD,交AC于点O,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(3,0,0),C(-3,0,0),D1(0,-1,2),设E(0,1,2+h),则D1E=(0,2,h),CA=(23,0,0),D1A=(3,1,-2).
因为D1E⊥平面D1AC,所以D1E⊥D1A,
所以D1E·D1A=2-2h=0,
所以h=1,即E(0,1,3),所以AE=(-3,1,3).
设平面EAC的法向量为m=(x,y,z),
由m·CA=0m·AE=0,得23x=0 -3x+y+3z=0,故x=0,
令z=-1,则y=3,
所以平面EAC的一个法向量为m=(0,3,-1).(答案不唯一)
(2)证明:易知D1P=35D1E=0,65,35.
因为A1(3,0,2),D1(0,-1,2),
所以A1D1=(-3,-1,0),
所以A1P=A1D1+D1P=-3,15,35,
所以A1P·m=-3×0+3×15+(-1)×35=0,
又A1P不在平面EAC内,所以A1P∥平面EAC.
9.B 10.①③④
11.证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD,
所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
所以PB=(2,0,-2),FE=(0,-1,0),FG=(1,1,-1),BC=(0,2,0),
设n1=(x1,y1,z1)是平面GEF的法向量,则n1⊥FE,n1⊥FG,
即n1·FE=0,n1·FG=0,得-y1=0, x1+y1-z1=0,
令z1=1,则x1=1,y1=0,所以n1=(1,0,1).
设n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的一个法向量.
由n2⊥PB,n2⊥BC,得
n2·PB=2x2-2z2=0,n2·BC=2y2=0, 得y2=0, x2-z2=0,
令z2=1,得x2=1,y2=0,
所以n2=(1,0,1).
所以n1=n2,所以平面EFG∥平面PBC.
12.解:存在.理由如下:
∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,四边形ADEF为正方形,AF⊂平面ADEF,∴AF⊥平面ABCD,
∴DE⊥平面ABCD.过点D作DG⊥BC于点G.
如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B12,32,0,C-52,32,0,D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,0,1),
∴AF=(0,0,1),CE=52,-32,1,AB=-12,32,0,BD=-12,-32,0.
设BNBD=λ,0<λ<1,
则BN=λBD=-12λ,-32λ,0,
则AN=AB+BN=-12-12λ,32-32λ,0.
设n=(x,y,z)是平面AFN的法向量,
则n·AF=0,n·AN=0,
即z=0, -12-12λx+32-32λy=0,
∴z=0, 31-λy=1+λx,
取x=3,则y=1+λ1-λ,
∴n=3,1+λ1-λ,0是平面AFN的一个法向量.
由n·CE=532-32×1+λ1-λ=0,得λ=23,符合题意,即存在点N,使得直线CE∥平面AFN,此时BNBD=23.
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