高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时巩固练习

第一章　1.4　空间向量的应用

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行

A级  必备知识基础练

1.[探究点三](多选题)若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则不可能使l∥α的是(　　)

A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)

B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)

C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)

D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)

2.[探究点一]已知A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,-1),下列四个点中在平面ABC内的点是(　　)

A.(2,3,1) B.(1,-1,2)

C.(1,2,1) D.(1,0,3)

3.[探究点四]已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,

-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是　　　　. 

4.[探究点三]已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是　　　　　. 

5.[探究点一][北师大版教材例题改编]已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(2,1,3),求平面ABC的一个法向量的坐标为　　　　　. 

6.[探究点二]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1.

B级  关键能力提升练

7.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是(　　)

A.A1M∥D1P

B.A1M∥B1Q

C.A1M∥平面DCC1D1

D.A1M∥平面D1PQB1

8.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=,已知α∥β,则x+y=　　　　　. 

9.若A,B,C是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　　　　　　　　. 

C级  学科素养创新练

10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点,P是底面ABCD(不含边界)内的动点,若直线D1P与平面EFG平行,求△BB1P的面积的最小值.

答案：

1.ABC　若l∥α,则需m⊥n,即m·n=0,

根据选项验证可知:A中,m·n=-2;B中,m·n=6;C中,m·n=-1;D中,m·n=0,故选ABC.

2.D　=(1,1,1),=(1,2,-1).

设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),

∴

不妨令x=3,则y=-2,z=-1,∴n=(3,-2,-1).

∵(3,-2,-1)·(1,0,3)=0,∴在平面ABC内的点是(1,0,3).故选D.

3.α∥β　设平面α的法向量为m=(x,y,z),

由m·=0,得x·0+y-z=0,即y=z,由m·=0,得x-z=0,即x=z,取x=1,

所以平面α的一个法向量m=(1,1,1),m=-n,所以m∥n,所以α∥β.

4.-3　∵直线l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=x+y=(1,0,-1),=(0,1,-1),

∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),

∴∴m=-3.

5.(1,-1,-1)(答案不唯一)　由已知可得=(1,1,0),=(2,0,2).

设n=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,则

不妨取x=1,得y=z=-1.

所以平面ABC的一个法向量的坐标为(1,-1,-1).

6.证明 以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,

则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),

∴=(1,0,1),=(-1,1,0),

设=(a,b,c),则

取=(1,1,-1).

易知=(-1,-1,1),∴=-,

∴,即PQ∥BD1.

7.ACD　因为,

,

所以,从而A1M∥D1P,易得ACD正确.

又B1Q与D1P不平行,故B不正确.

8.　因为α∥β,所以u∥v,则,

即故x+y=.

9.2∶3∶(-4)　因为=,=,

又因为a·=0,a·=0,

所以解得

所以x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4).

10.解 如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,,0),C(0,,0),D1(0,0,1),C1(0,,1),

∴E,F,G,

∴=,=.

设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,则即

令x=,则y=1,z=,

∴平面EFG的一个法向量n=(,1,).

设P(m,s,0)(0<m<1,0<s<),

则=(m,s,-1),=(m-1,s-,0).

∵D1P∥平面EFG,∴n⊥,∴n·m+s-=0,∴s=m,易知BB1=1,

∴BB1×BP=×1×,

当m=时,取得最小值.