高中数学1.4 空间向量的应用课后测评

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4．ABD [建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3，
则
A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，
所以BD1＝(－3，－3，3)，
因为BP＝13BD1＝(－1，－1，1)，
所以DP＝DB+BP＝(2，2，1)．
所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝12+22+12＝6．
|PD|＝|PA1|＝|PC1|＝22+22+12＝3，
|PB|＝3，|PD1|＝22+22+22＝23．
故P到各顶点的距离的不同取值有6，3，3，23．]
5．D 6．62 13 7．255 8．43737
9．解：如图，以D为原点，DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，
AE＝(0，4，1)，
(1)设F(0，0，a)，由AF＝EC1，得(－2，0，a)＝(－2，0，2)，
所以a＝2，所以F(0，0，2)，BF＝(－2，－4，2)，所以|BF|＝26．
(2)设n＝(x，y，z)为平面AEC1F的法向量，AF＝(－2，0，2)
由n·AE=0，n·AF=0，得4y+z=0，-2x+2z=0.
取z＝1，则n＝1，-14，1，又CC1＝(0，0，3)，
所以C到平面AEC1F的距离d＝CC1·nn＝43311．
10．A
11．BC [如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，
E12，0，1，O12，12，1，
所以AB＝(1，0，0)，BE＝-12，0，1，
所以点A到直线BE的距离d1＝
AB2-AB·BEBE2＝1-15＝255，故A中说法错误；
易知C1O＝-12，-12，0，平面ABC1D1的一个法向量为DA1＝(0，－1，1)，
则点O到平面ABC1D1的距离d2＝DA1·C1ODA1＝122＝24，故B中说法正确；
易知A1B＝(1，0，－1)，A1D＝(0，1，－1)，A1D1＝(0，1，0)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·A1B=0，n·A1D=0，即x-z=0，y-z=0，
令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1，1，1)，
所以点D1到平面A1BD的距离d3＝A1D1·nn＝13＝33，
因为平面A1BD∥平面B1CD1，
所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为33，故C中说法正确；
易知AD＝(0，1，0)，AA1＝(0，0，1)，
且AP＝34AB＋12AD＋23AA1．
所以AP＝34，12，23，
所以点P到直线AB的距离d4＝AP2-AP·ABAB2＝181144-916＝56，故D中说法错误．]
12．2 13．83
14．解：(1)证明：如图所示，由条件知，BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz．
则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，设BA＝a，则A(a，0，0)．
∴BA＝(a，0，0)，BD＝(0，2，2)，B1D＝(0，2，－2)，
∴B1D·BA＝0，
B1D·BD＝0＋4－4＝0．
∴B1D⊥BA，B1D⊥BD，
又∵BD∩BA＝B，BD，BA⊂平面ABD，
∴B1D⊥平面ABD．
(2)证明：由题意知E(0，0，3)，Ga2，1，4，F(0，1，4)．
∴EG＝a2，1，1，EF＝(0，1，1)，
∴B1D·EG＝0＋2－2＝0，B1D·EF＝0＋2－2＝0．
∴B1D⊥EG，B1D⊥EF，又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EFG，
∴B1D⊥平面EFG，
结合(1)可知，平面EGF∥平面ABD．
(3)由(1)，(2)知，BF＝(0，1，4)，B1D＝(0，2，－2)是平面ABD的法向量，
∴点F到平面ABD的距离为d＝BF·B1DB1D＝-622＝322．
由(2)知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离，∴两平面间的距离为322．
15．解：取AD的中点O，在△PAD中，
∵PA＝PD，
∴PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，则CP＝(－1，0，1)，CD＝(－1，1，0)．
假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为32，
设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，
则CQ＝(－1，y，0)．
设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则n·CP=0，n·CD=0，
∴-x0+z0=0，-x0+y0=0，
即x0＝y0＝z0，取x0＝1，
则平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，1)．
∴点Q到平面PCD的距离d＝CQ·nn＝-1+y3＝32，
∴y＝－12或y＝52(舍去)．
此时AQ＝0，12，0，QD＝0，32，0，
则|AQ|＝12，|QD|＝32．
∴存在点Q满足题意，
此时AQQD＝13．