高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时课后作业题

第一章学习单元4　空间向量的应用

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行

A级  必备知识基础练

1.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,CD=CB=1,CC'=2,建立如图所示的空间直角坐标系,则下列向量是平面DBC'的一个法向量的是(　　)

A.(1,2,1) B.(2,-2,1)

C.(1,1,1) D.(2,2,1)

2.若直线l的方向向量为a=(2,1,m),平面α的法向量为n=1,,2,且l∥α,则m=(　　)

A.- B.- C.4 D.

3.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB(　　)

A.与坐标平面xOy平行

B.与坐标平面yOz平行

C.与坐标平面xOz平行

D.与坐标平面yOz相交

4.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是(　　)

A.A1M∥D1P

B.A1M∥B1Q

C.A1M∥平面DCC1D1

D.A1M∥平面D1PQB1

5.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,E为棱BB1的中点,F为棱A1D1的中点,则下列向量中,不能作为平面AEF的法向量的是(　　)

A.(-4,1,-2) B.(1,-2,4)

C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)

6.(多选题)已知平面α过点M(1,,2),其法向量m=(,1,0),则下列点不在平面α内的是(　　)

A.S(2,0,0) B.Q(2,0,4)

C.R(0,2,) D.T(-2,,1)

7.法向量分别是n=(1,-1,2),m=(-2,0,3)的两个平面的位置关系是　　　　　. 

8.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　　. 

B级  关键能力提升练

9.(多选题)[2023黑龙江海林高二阶段练习]已知空间中两条不同的直线l,m,两个不同的平面α,β,则下列说法中错误的是(　　)

A.若直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为b=(2,-2,4),则l∥m

B.若直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l∥α

C.若平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β

D.若平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t=1

10.对空间向量a,b,有如下说法:

①<a,b>=<b,a>;

②若a⊥平面α,b⊥平面α,且|a|=|b|,则a=b;

③若a≠b,则|a|≠|b|;

④若a,b都是直线l的方向向量,则a∥b.

其中说法正确的是　　　　　. 

11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为线段B1C1的中点.

(1)求证:AA1⊥D1E;

(2)求平面D1BE的法向量.

12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:

(1)FC1∥平面ADE;

(2)平面ADE∥平面B1C1F.

参考答案

学习单元4　空间向量的应用

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示

及空间中直线、平面的平行

1.D　由题意得D(1,0,0),B(0,1,0),C'(0,0,2),

则=(-1,1,0),=(-1,0,2).

设平面DBC'的一个法向量是n=(x,y,z),

由令z=1,则x=2,y=2,

所以平面DBC'的一个法向量是n=(2,2,1).故选D.

2.B　若l∥α,则有a⊥n,即a·n=2++2m=0,解得m=-.故选B.

3.B　因为A(9,-3,4),B(9,2,1),所以=(0,5,-3),而坐标平面yOz的法向量为(1,0,0),显然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直线AB与坐标平面yOz平行.

4.ACD　因为,所以,从而A1M∥D1P,故A正确;由图可知,B1Q与D1P不平行,所以A1M与B1Q不平行,故B错误;因为D1P⊂平面DCC1D1,所以A1M∥平面DCC1D1,故C正确;同理,D1P⊂平面D1PQB1,所以A1M∥平面D1PQB1,故D正确.故选ACD.

5.BCD　设正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2.

因为E为棱BB1的中点,F为棱A1D1的中点,所以A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),则=(0,2,1),=(-1,0,2).

设平面AEF的法向量为m=(x,y,z).

选项A,假设m=(x,y,z)=(-4,1,-2),则需满足满足,故选项A正确;

选项B,假设m=(x,y,z)=(1,-2,4),则需满足不满足,故选项B错误;

选项C,假设m=(x,y,z)=(2,-2,1),则需满足不满足,故选项C错误;

选项D,假设m=(x,y,z)=(1,2,-2),则需满足不满足,故选项D错误.故选BCD.

6.CD　对于A,因为S(2,0,0),则=(-1,,2),故·m=-1××1+2×0=0,点S在平面α内;

对于B,因为Q(2,0,4),则=(-1,,-2),故·m=-1××1-2×0=0,点Q在平面α内;

对于C,因为R(0,2,),则=(1,-2,2-),

故·m=1×+(-2)×1+(2-)×0=2-2≠0,点R不在平面α内;

对于D,因为T(-2,,1),则=(3,0,1),故·m=3×+0×1+1×0=3≠0,点T不在平面α内.故选CD.

7.相交且不垂直　假设存在λ∈R,使得n=λm,则显然方程组无解,

故向量n,m不平行,即两个平面不平行.

因为n·m=-2+6=4≠0,所以向量n,m不垂直,

所以两个平面的位置关系是相交且不垂直.

8.2∶3∶(-4)　因为=1,-3,-,=-2,-1,-,又因为a·=0,a·=0,

所以解得

所以x∶y∶z=y∶y∶-y=2∶3∶(-4).

9.BCD　对于A,b=2a,则a∥b,∴l∥m,故A中说法正确;

对于B,a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,则a⊥n,∴l∥α或l⊂α,故B中说法错误;

对于C,若n1=λn2(λ≠0),则(0,1,3)=λ(1,0,2),得此方程组无解,∴α∥β不成立,故C中说法错误;

对于D,=(-1,-1,1),=(-1,3,0),

∵n=(1,u,t)是平面α的法向量,

∴解得u=,t=,∴u+t=,故D中说法错误.故选BCD.

10.①④　由两向量夹角的定义知①正确;

只有a,b同向时才能得出a=b,故②错误;

若两向量不相等,但其模可能相等,故③错误;

由方向向量定义知④正确.

11.(1)证明因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,故可得AA1⊥平面A1B1C1D1.

又D1E⊂平面A1B1C1D1,故AA1⊥D1E.

(2)解以D为坐标原点,AD,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

则D1(0,0,2),B(2,2,0),E(1,2,2),=(1,2,0),=(-1,0,2).

设平面D1BE的法向量为m=(x,y,z),则取x=2,可得y=-1,z=1,

故平面D1BE的一个法向量为(2,-1,1).

12. 证明如图,建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1),=(2,0,0).

(1)(方法1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则取z1=2,则y1=-1,所以n1=(0,-1,2).

因为·n1=-2+2=0,所以⊥n1.

又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE.

(方法2)设=λ+μ,则(0,2,1)=λ(2,0,0)+μ(0,2,1),所以解得=0·,所以是共面向量.

又因为DA∩AE=A,FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE.

(2)设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量,

则

取z2=2,则y2=-1,所以n2=(0,-1,2).

因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.