高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案设计

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月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮．有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色．万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽．”
如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？
知识点1 圆的标准方程
(1)圆的定义
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径．用集合表示为P＝{M||MA|＝r}．
(2)圆的标准方程
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径．
相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圆的方程吗？
(2)若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？
提示：(1)当m＝0时，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示点(－a，－b)．
(2)当m≠0时，方程表示圆，此时圆的圆心为(－a，－b)，半径为|m|.
知识点2 点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝x0-a2+y0-b2.
1．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都不对
B [∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，
∴点P(－2，－2)在圆外，故选B．]
2．若圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心坐标为________，半径为________．
[答案] (1，－5) 3
3．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是____________．
[答案] (x－1)2＋(y＋2)2＝9
类型1 求圆的标准方程
【例1】 (源自北师大版教材)求经过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线l：x＋y－3＝0上的圆的标准方程．
[解] 法一：设该圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由圆经过A，B两点且圆心C在直线l上，可得方程组
(1-a)2+3-b2=r2 ， ①4-a2+2-b2=r2， ②a+b-3=0. ③
①－②，得
(1－a)2＋(3－b)2＝(4－a)2＋(2－b)2，④
化简、整理，得3a－b－5＝0.⑤
联立③⑤解得a=2，b=1. 代入①，得r2＝5.
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5(如图1)．
法二：如图2，连接AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点．线段AB的垂直平分线的方程为3x－y－5＝0.
联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组3x-y-5=0，x+y-3=0.
解得x=2，y=1，即圆心C的坐标为(2，1)．
又该圆经过点A，则r2＝(1－2)2＋(3－1)2＝5，
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
[母题探究]
如何求经过A(1，3)，B(4，2)两点，周长最小的圆的标准方程？
[解] 当线段AB为圆的直径时，过点A、B的圆的半径最小，从而周长最小，
即所求圆以线段AB的中点52，52为圆心，
12|AB|＝1210为半径，故所求圆的标准方程为x-522＋y-522＝52.
求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程只需确定圆心C(a，b)和半径r，其求解方法：一是几何法，常用到中点坐标公式，两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线交点必为圆心”等；二是待定系数法，由三个独立的条件建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程，它是求圆的方程的常用方法．
[跟进训练]
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(2)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．
[解] (1)设圆心C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8.
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(2)法一：(待定系数法)
设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则
(1-a)2+b2=r2， (3-a)2+b2=r2， (3-a)2+(4-b)2=r2
解得a=2， b=2， r=5，
所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
法二：(几何法)
易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝5，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
类型2 点与圆的位置关系
【例2】 已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
[解] (1)因为点M在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又a>0，可得a＝10.
(2)由两点间距离公式可得：
|PN|＝3-52+3-62＝13，
|QN|＝5-52+3-62＝3.
因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3<13，所以3即a的取值范围是(3，13)．
试总结点与圆的位置关系的判断方法．
提示：(1)几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；
(2)代数法：将点的坐标代入圆的方程左边，判断与r2的大小．
[跟进训练]
2．(1)点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．点P在圆内 B．点P在圆外
C．点P在圆上 D．不确定
(2)已知点M(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________．
(1)B (2)[0，1) [(1)由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得点P在圆外．
(2)由题意知a≥0， 5a+1-12+a2<26，
即a≥0， 26a<26，解得0≤a<1．]
1．圆心为(1，1)，且过原点的圆的标准方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D [由圆过原点知r＝1-02+1-02＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D．]
2．点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
B [由12＋32<24知，点P(1，3)在圆内，故选B．]
3．(2022·哈工大附中期末)经过点A(－4，－5)，B(6，－1)，且以线段AB为直径的圆的标准方程为__________．
(x－1)2＋(y＋3)2＝29 [设P(x，y)为圆上任意一点，
则由PA·PB＝0知，(x＋4)(x－6)＋(y＋5)(y＋1)＝0，
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29．]
4．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．
2 [圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，已知圆的圆心为(－1，3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出圆的标准方程．
提示：圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．如何求圆的标准方程？
提示：确定圆的标准方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.
3．如何判断点P(x0，y0)和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系？
提示：法一：(代数法)点P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
点P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2法二：(几何法)判断点到圆心的距离与半径的大小．
课时分层作业(十九) 圆的标准方程
一、选择题
1．以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝10
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D [圆心坐标为(1，2)，半径r＝5-12+5-22＝5，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25．]
2．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．-15，1B．-∞，-15∪(1，＋∞)
C．-15，1 D．-∞，-15∪[1，＋∞)
A [由y=x+2a，y=2x+a 解得P(a，3a)．
∵点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，
∴(a－1)2＋(3a－1)2＜4，解得－15＜a＜1．]
3．(多选)已知圆C的标准方程是(x－3)2＋(y＋2)2＝13，则下列说法正确的是( )
A．圆C的圆心坐标为(3，－2)
B．圆C的半径为13
C．圆C的周长是213π
D．如果圆D的周长是圆C的周长的2倍，则圆D的面积是26π
ABC [由圆的标准方程(x－3)2＋(y＋2)2＝13可知，圆C的圆心坐标为(3，－2)，半径为r＝13，周长为2πr＝213π，从而ABC正确；设圆D的半径为r1，则r1＝213，从而圆D的面积是πr12＝52π，所以D错误．故选ABC．]
4．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
A [由题知，所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0，0)对称，且两圆半径相等，所以所求圆的圆心为(2，0)，半径为5，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5．]
5．已知某圆的圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为( )
A．(x＋3)2＋y2＝25
B．x2＋(y±3)2＝25
C．(x±3)2＋y2＝5
D．(x±3)2＋y2＝25
D [法一：由题意，得圆C的半径r＝|AC|＝5.
又因为|AB|＝8，所以|AO|＝4，
在Rt△AOC中，|OC|＝AC2-AO2＝52-42＝3.
如图所示，有两种情况：
故圆心C的坐标为(3，0)或(－3，0)．
故所求圆的方程为(x±3)2＋y2＝25.故选D．
法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25，因为圆截y轴所得的弦长为8，所以圆过(0，4)，将(0，4)代入，得a2＋16＝25，解得a＝±3.
故所求圆的方程为(x±3)2＋y2＝25.故选D．]
二、填空题
6．(2022·云南师大附中高三月考)已知半径为1的圆C关于直线2x－y－4＝0对称，写出一个满足题意的圆C的标准方程：__________．
(x－2)2＋y2＝1(答案不唯一) [由题可知圆心C在直线2x－y－4＝0上，不妨取x＝2，y＝0，则当圆心C为(2，0)时，圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1．]
7．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是________．
(x－2)2＋(y＋3)2＝13 [易知直径两端点的坐标分别为(4，0)，(0，－6)，可得圆的半径为13，因为圆心坐标为(2，－3)，所以所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13．]
8．过点M(2，2)的直线l与坐标轴的正方向分别交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是________．
(x－2)2＋(y－2)2＝8 [设直线l的方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，
由直线l过点M(2，2)，得2a＋2b＝1，
又S△OAB＝12ab＝8，
所以a＝4，b＝4，不妨设A(4，0)，B(0，4)，
则圆心为(2，2)，半径为22，
所以△OAB外接圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8．]
三、解答题
9．已知M(2，0)，N(10，0)，P(11，3)，Q(6，1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由．
[解] 设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴(2-a)2+b2=r2， (10-a)2+b2=r2， (11-a)2+(3-b)2=r2，
解得a=6，b=3，r2=25.
∴过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25.
将点Q的坐标(6，1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25，
∴点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上，
∴M，N，P，Q四点不共圆．
10．(2022·山东潍坊高二期中)过点A(0，0)，B(2，2)，且圆心在直线y＝2x－4上的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝4
B．(x＋2)2＋y2＝4
C．(x－4)2＋(y－4)2＝8
D．(x＋4)2＋(y－4)2＝8
A [根据题意，已知圆经过点A(0，0)，B(2，2)，
则AB的中点为(1，1)，A，B所在直线斜率k＝1，故AB的垂直平分线为x＋y＝2，
联立x+y=2，y=2x-4，解得x=2，y=0，即圆心坐标为(2，0)，其半径r＝2，
则其标准方程为(x－2)2＋y2＝4.
故选A．]
11．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，且过另一个交点的圆的方程可能为( )
A．x2＋(y－4)2＝20B．(x－4)2＋y2＝20
C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20
AD [令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以设直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0，4)，B(2，0)．
因为|AB|＝22+42＝25，所以，以A为圆心，过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20；以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.故选AD．]
12．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
B [由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，
得 (2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
则2x+3y-1=0，3x-2y+5=0，解得x=-1，y=1，即P(－1，1)．
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴|PC|＝-1-22+1+32＝5，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25．]
13．已知点A(－4，2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，则△ABC外接圆的标准方程是____________．
(x＋3)2＋y2＝5 [如图所示，易得外接圆的圆心为M(－3，0)，
∴半径r2＝|MC|2＝5，
∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝5．]
14．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝PA2+PB2，求d的最大值及最小值．
[解] 设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.
圆心坐标为C(3，4)，O为坐标原点，
∴|CO|2＝32＋42＝25，即|CO|＝5，
∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2，
即16≤x2＋y2≤36.
∴d的最小值为2×16＋2＝34，
最大值为2×36＋2＝74.
15．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的标准方程．
[解] 设圆心为(a，b)，半径长为r，
依题意，得2b=r， a2+1=r2，消去r，得2b2－a2＝1，①
圆心到直线l的距离d＝a-2b5.
设a－2b＝k，则a＝2b＋k，代入①式，
整理得2b2＋4bk＋k2＋1＝0.
判别式Δ＝8(k2－1)≥0，
解得|k|≥1，
当|k|＝1时，dmin＝55.
当k＝1时，a＝b＝－1，圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；
当k＝－1时，a＝b＝1，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
学习任务
1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象)
2．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算)
3．能准确判断点与圆的位置关系．(数学运算)
位置关系
d与r的大小
点P的坐标的特点
点在圆外
d>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点在圆上
d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
d(x0－a)2＋(y0－b)2