人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线学案设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线学案设计，共24页。


做下面一个试验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
知识点1 双曲线的定义
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
1．双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
提示：双曲线的右支．
知识点2 双曲线的标准方程
2.如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在的坐标轴？
提示：双曲线的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的系数为正，即“焦点跟着正的跑”．这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法．
1．已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
D [依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，
因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，
故点P的轨迹为双曲线的右支；
当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，
故点P的轨迹为一条射线．]
2．(1)若双曲线方程为x216－y220＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________．
(2)已知a＝5，c＝10，焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为________．
(1)x (6，0)和(－6，0) (2)y225－x275＝1 [(1)因为方程中x2的系数116>0，所以焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝20，从而c2＝16＋20＝36，c＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．
(2)由已知得b2＝c2－a2＝75，于是双曲线方程为y225－x275＝1．]
类型1 双曲线的标准方程
【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A1，-4103；
(2)与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；
(3)过点P3，154，Q-163，5且焦点在坐标轴上．
[解] (1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为x216－y2b2＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为y216－x2b2＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.
(2)双曲线x216－y24＝1的焦点在x轴，
因此设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①
∵双曲线经过点(32，2)，
∴18a2－4b2＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为x212－y28＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，
∴9A+22516B=1， 2569A+25B=1，解得A=-116，B=19.
∴双曲线的标准方程为y29－x216＝1.
试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤．
提示：(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
[跟进训练]
1．(源自湘教版教材)已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，求该双曲线的标准方程．
[解] 由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．
已知焦点F1，F2及双曲线上一点P，由双曲线的定义可知2a＝|PF2|－|PF1|＝3-02+-2-22－3＝5－3＝2，因此a＝1.
又因为c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3.
因此，所求双曲线的标准方程为y2－x23＝1.
类型2 双曲线标准方程的识别
【例2】 给出曲线方程x24+k＋y21-k＝1.
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
[解] (1)方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0，
即(k＋4)(k－1)>0，
解得k>1或k<－4，
因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．
(2)方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有1-k>0，4+k<0，
解得k<－4，
因此实数k的取值范围是(－∞，－4)．
方程表示双曲线的条件
(1)对于方程x2m＋y2n＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程x2m－y2n＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
[跟进训练]
2．(源自湘教版教材)已知方程x24+a＋y25+a＝1.
(1)若方程表示双曲线，求a的取值范围；
(2)试说明(1)中的双曲线有共同的焦点．
[解] (1)方程表示双曲线，则(4＋a)(5＋a)<0.
解得－5因此，当－5(2)由(1)可知，双曲线的焦点在y轴上，且c2＝5＋a＋(－4－a)＝1.
所以，方程表示的双曲线的焦点坐标为(0，1)，(0，－1)，显然与方程中的a无关，因此(1)中的双曲线有共同的焦点．
类型3 双曲线的定义及其应用
【例3】 若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离．
(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解] (1)由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则c2＝25，所以a＝3，b＝4，c＝5.
设|MF1|＝7，则根据双曲线的定义知
||MF2|－7|＝6，即|MF2|－7＝±6.
解得|MF2|＝13，或|MF2|＝1，
又|MF2|＝1因此，点M到另一个焦点的距离为13.
(2)由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
＝12×64×32＝163.
[母题探究]
(1)若将本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|·|PF2|＝32”，求△F1PF2的面积．
(2)若将本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，求△F1PF2的面积．
[解] (1)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理的推论得
cs ∠F1PF2＝PF12+PF22-F1F222PF1·PF2＝100-1002PF1·PF2＝0，∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
(2)由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，
|PF2|－|PF1|＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，
∴S△F1PF2＝12×4×102-422＝86.
双曲线的定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．
[跟进训练]
3．(1)如图，已知双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
(2)已知双曲线的方程为x2－y24＝1，如图所示，点A的坐标为(－5，0)，B是圆x2＋(y－5)2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．
(1)B [由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a.
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m．]
(2)[解] 设点D的坐标为(5，0)，则点A，D是双曲线的焦点，如图所示，连接MD，BD．由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.
∴|MA|＋|MB|＝|MA|－|MD|＋|MB|＋|MD|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|.
又点B是圆x2＋(y－5)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，5)，半径长为1，
故|BD|≥|CD|－1＝10－1，
从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥10＋1，
当且仅当点M，B在线段CD上时取等号．
故|MA|＋|MB|的最小值为10＋1.
类型4 双曲线在生活中的应用
【例4】 某区域有三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角．
[解] 如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，23)．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，
∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)，①
又|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则a＝2，c＝3，
∴点P的轨迹方程为x24－y25＝1(x≥2)，②
联立①②，得P点坐标为(8，53)，
∴kPA＝538-3＝3，
因此在A处发现P的方位角为北偏东30°.
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
[跟进训练]
4．(源自北师大版教材)相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s．已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．
[解] 设爆炸点为P，由已知，得
|PA|－|PB|＝340×4＝1 360(m)．
因为|AB|＝2 km＝2 000 m>1 360 m，
|PA|>|PB|，所以点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上．
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．
由2a＝1 360，2c＝2 000，得a＝680，c＝1 000，
b2＝c2－a2＝537 600.
因此，点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是x2462 400－y2537 600＝1(x>0)．
1．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则标准方程是( )
A．y236－x264＝1 B．x264－y236＝1
C．x236－y264＝1 D．x236－y264＝1或y236－x264＝1
D [应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求．]
2．(多选)已知方程x24-t＋y2t-1＝1表示曲线C，则下列判断正确的是( )
A．当1B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4
BCD [由4－t＝t－1，得t＝52，此时方程x24-t＋y2t-1＝1表示圆，故A选项错误．由双曲线的定义可知，当(4－t)(t－1)<0时，即t<1或t>4时，方程x24-t＋y2t-1＝1表示双曲线，故B选项正确．由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x轴上时，满足4－t>t－1>0，解得10，解得t>4，故D选项正确．综上所述，正确的选项为BCD．故选BCD．]
3．已知双曲线x2a2－y232＝1(a>0)的一个焦点为F1(5，0)，设另一个为F2，点P是双曲线上的一点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．
17或1 [由题意知，双曲线x2a2－y232＝1(a>0)的一个焦点为F1(5，0)，∴c＝5，
又由a 2＝c2－b2＝25－9＝16，所以a＝4，
因为点P为双曲线上一点，且|PF1|＝9，
根据双曲线的定义可知||PF2|－|PF1||＝2a＝8，
所以|PF2|＝17，或|PF2|＝1．]
4．设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4，则双曲线的标准方程为________．
y24－x25＝1 [由椭圆方程得焦点坐标为(0，±3)，椭圆与双曲线的一个公共点为(15，4)．
设所求的双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，
则-15b2+16a2=1，a2+b2=9，解得a2=4，b2=5.
故所求双曲线的标准方程为y24－x25＝1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程．
提示：定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
标准方程：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)和y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．
2．方程x2m－y2n＝1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n满足什么条件？
提示：(1)若表示双曲线，则满足mn>0.
(2)若表示焦点在x轴上的双曲线，则满足m>0，n>0.
(3)若表示焦点在y轴上的双曲线，则满足m<0，n<0.
3．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PF1|、|PF2|的最小值分别是多少？
提示：|PF1|的最小值为c－a，|PF2|的最小值为a＋c.
4．定义法求双曲线方程时，如何确定点的轨迹是双曲线，还是双曲线的一支？
提示：根据条件看是|PF1|－|PF2|＝2a还是||PF1|－|PF2||＝2a，
若|PF1|－|PF2|＝2a或|PF2|－|PF1|＝2a，点的轨迹是双曲线一支，
若||PF1|－|PF2||＝2a，则点的轨迹是双曲线．
课时分层作业(二十七) 双曲线及其标准方程
一、选择题
1．已知F1，F2为平面内两个定点，P为动点，若|PF1|－|PF2|＝a(a为大于零的常数)，则动点P的轨迹为( )
A．双曲线
B．射线
C．线段
D．双曲线的一支或射线
D [两个定点的距离为|F1F2|，当a<|F1F2|，即|PF1|－|PF2|<|F1F2|时，点P的轨迹为双曲线的一支；当a＝|F1F2|，即|PF1|－|PF2|＝|F1F2|时，点P的轨迹为射线；不存在|PF1|－|PF2|>|F1F2|的情况．综上所述，动点P的轨迹为双曲线的一支或射线．故选D．]
2．已知双曲线x2a-3＋y22-a＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于( )
A．32 B．5 C．7 D．12
D [根据题意可知，双曲线的标准方程为y22-a－x23-a＝1.
由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝12．]
3．已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
C [设炮弹爆炸点为点P，由题意可得|PA|－|PB|＝340×2＝680<800＝|AB|，所以炮弹爆炸点的轨迹是双曲线的一支．故选C．]
4．如图，F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1(－7，0)的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的方程为( )
A．5x27－5y228＝1 B．x26－y2＝1
C．x2－y26＝1 D．5x228－5y27＝1
C [根据双曲线的定义，有|AF2|－|AF1|＝2a ①，|BF1|－|BF2|＝2a ②，由于△ABF2为等边三角形，因此|AF2|＝|AB|＝|BF2|，由①＋②，得|BF1|－|AF1|＝4a，则|AB|＝|AF2|＝|BF2|＝4a，|BF1|＝6a，又∠F1BF2＝60°，所以(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2×6a×4a×12，即7a2＝c2＝7，解得a2＝1，则b2＝c2－a2＝6.
所以双曲线的方程为x2－y26＝1．]
5．已知F1，F2分别为双曲线x25－y24＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )
A．37＋4 B．37－4
C．37－25 D．37＋25
C [因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－25，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．
如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝3--32+12＝37.
故|AP|＋|AF2|的最小值为37－25．]
二、填空题
6．(2022·安徽省合肥市期末)已知点A(0，2)，B(0，－2)，C(3，2)，若动点M(x，y)满足|MA|＋|AC|＝|MB|＋|BC|，则点M的轨迹方程为________．
y2－x23＝1(y≤－1) [因为|MA|＋|AC|＝|MB|＋|BC|，即|MA|＋3＝|MB|＋32+2--22，
所以|MA|－|MB|＝2.故M(x，y)的轨迹是以A(0，2)，B(0，－2)为焦点，2a＝2的双曲线的下支．
此时a＝1，c＝2，b2＝c2－a2＝3.
故点M的轨迹方程为y2－x23＝1(y≤－1)．]
7．已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
9 [如图所示，
F(－4，0)，设F′为双曲线的右焦点，则F′(4，0)，点A(1，4)在双曲线两支之间，连接PF′.由双曲线的定义，得|PF|－|PF′|＝2a＝4，所以|PF|＋|PA|＝|PF|－|PF′|＋|PF′|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝4＋5＝9，当且仅当A，P，F′三点共线且P在A，F′之间时取等号．]
8．若点P在双曲线x216－y212＝1上，且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P的纵坐标为________，点P与双曲线的左焦点的距离为________．
±3 11 [记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，设P(xP，yP)．因为点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，所以xP＝16+12＝27，所以2816－yP212＝1，解得yP＝±3，所以|PF2|＝3.由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝11．]
三、解答题
9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型．
[解] (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为y24－x2-4k＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为x24k＋y24＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为x24k＋y24＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
10．如图上半部分为一个油桃园．每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C处销售．路径1：先集中到A处，再沿公路AC运送；路径2：先集中到B处，再沿公路BC运送．园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至C处所走路程一样远．已知AC＝3 km，BC＝4 km，若这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为( )
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
D [由题意，从界线上的一点P出发，经A到C与经B到C所走的路程是一样的，
即|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，
所以|AP|－|BP|＝|BC|－|AC|，
又|BC|＝4，|AC|＝3，所以|AP|－|BP|＝4－3＝1，
又1<|AB|<7，根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线．故选D．]
11．(2022·黑龙江哈尔滨高二期中)如图为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底座外直径为2393，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为( )
A．22π B．3π C．23π D．4π
C [该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底座外直径为2393，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设M533，2m，N393，-m，代入双曲线方程可得253a2－4m2b2＝1，133a2－m2b2＝1，即2512a2－m2b2＝14，133a2－m2b2＝1，作差可得2712a2＝34，解得a2＝3，a＝3，所以杯身最细处的周长为23π.故选C．]
12．从某个角度观看篮球，可以得到一个对称的平面图形如图，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BO＝OC＝CD＝1，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝1 B．x2－y22＝1
C．x2－y23＝1 D．x2－y24＝1
B [如图在平面直角坐标系中，记双曲线和圆在第一象限的交点为G，
作GE⊥x轴于点E，
由坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，
知∠GOE＝45°，由AB＝BO＝OC＝CD＝1，知OG＝2，所以G点坐标为(2，2)，
设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，则a＝1，
将G(2，2)代入可得2－2b2＝1，即b2＝2，
所以双曲线方程为x2－y22＝1.故选B．]
13．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点出发．如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与双曲线C′：x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为________．
2k(a－m) [光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，
|BF2|＝2m＋|BF1|，
|BF1|＋|BA|＋|AF1|＝|BF2|－2m＋|BA|＋|AF1|＝|AF2|＋|AF1|－2m＝2a－2m，
所以光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m)．]
14．在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如图中的点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝3.假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早4v0秒(注：信号传播速度为v0)，C处舰艇保持静默．
(1)建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2)在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的距离最小是多少？
[解] (1)以O为原点，以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设敌舰艇的位置为P(x，y)，由题意可知|PB|－|PA|＝v0×4v0＝4.
由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a＝4，c＝3，
所以b＝5.
所以敌舰艇的轨迹方程为x24－y25＝1(x≤－2)．
(2)设方程x24－y25＝1(x≤－2)上一点M(x0，y0)，
由题意知x024－y025＝1(x0≤－2)，即x02＝4＋45y02.又C(0，3)，
所以|MC|＝x02+y0-32
＝4+45y02+y0-32
＝95y02-6y0+13
＝95y0-532+8(y0∈R)，
所以当y0＝53时，|MC|min＝22.
即无人机飞行的距离最小是22.
15．已知△OFQ的面积为26，且OF·FQ＝m，其中O为坐标原点．
(1)设6＜m＜46，求OF与FQ的夹角θ的正切值的取值范围；
(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，|OF|＝c，m＝64-1c2，当|OQ|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
[解] (1)因为12OF·FQsinπ-θ=26，OF·FQcsθ=m，
所以tan θ＝46m.
又6＜m＜46，所以1＜tan θ＜4，
即tan θ的取值范围为(1，4)．
(2)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，
Q(x1，y1)，则FQ＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝12|OF|·|y1|＝26，
则y1＝±46c.
又OF·FQ＝m，
即(c，0)·(x1－c，y1)＝64-1c2，
解得x1＝64c，
所以|OQ|＝x12+y12＝38c2+96c2≥12＝23，
当且仅当c＝4时，取等号，|OQ|最小，
这时Q的坐标为(6，6)或(6，－6)．
因此6a2-6b2=1，a2+b2=16，所以a2=4，b2=12，
于是所求双曲线的标准方程为x24－y212＝1.
学习任务
1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学抽象、直观想象)
2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算)
3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
文字
语言
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
符号语言
||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)
焦点
定点F1，F2
焦距
两焦点间的距离
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
_x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)
_y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2