数学选择性必修 第一册3.2 双曲线导学案

这是一份数学选择性必修 第一册3.2 双曲线导学案，共8页。

3.2.1 双曲线及其标准方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6,则曲线方程为( )
A.y29-x27=1
B.y29-x27=1(y<0)
C.y29-x27=1或x27-y29=1
D.y29-x27=1(y>0)
解析∵曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6,
∴动点P的轨迹是以F1(0,4),F2(0,-4)为焦点,实轴长为6的双曲线的下支,
∴曲线方程为y29-x27=1(y<0),故选B.
答案B
2.已知双曲线的一个焦点F1(5,0),且过点(3,0),则该双曲线的标准方程为( )
A.x29-y216=1B.y216-x29=1
C.x29-y225=1D.y225-x29=1
解析因为双曲线的一个焦点F1(5,0),且过点(3,0),所以c=5,a=3;
∴b2=c2-a2=16.
∴该双曲线的标准方程是x29-y216=1.故选A.
答案A
3.已知双曲线x29-y2m2=1(m>0)的左焦点为F1(-5,0),则m=( )
A.9B.3C.16D.4
解析∵双曲线x29-y2m2=1(m>0)的左焦点为F1(-5,0),∴25-m2=9.
∵m>0,∴m=4,故选D.
答案D
4.(多选题)如果方程x2m+2-y2m+1=1表示双曲线,则m的取值可能是( )
A.-4B.-2C.-1D.73
解析要使方程表示双曲线,需(m+2)(m+1)>0,解得m<-2或m>-1.
由选项知AD符合.
答案AD
5.
如图,已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为( )
A.2a+2mB.4a+2m
C.a+mD.2a+4m
解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.
又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.
答案B
6.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在( )
A.一个椭圆上B.一个圆上
C.一条抛物线上D.双曲线的一支上
解析由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,
画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,
设圆P的半径为r,∵圆P与圆O和圆M都外切,
∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,
∴点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.
答案D
7.经过点P(-3,27)和Q(-62,-7),且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为 .
解析设双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0),
则9A-28B=1,72A-49B=1,
解得A=-175,B=-125,
故双曲线的标准方程为y225-x275=1.
答案y225-x275=1
8.已知点F1,F2分别是双曲线x29-y216=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32.则△F1PF2的面积为 .
解析因为点P是双曲线左支上的点,
所以|PF2|-|PF1|=6,
两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中,由余弦定理,得cs ∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=100-1002|PF1|·|PF2|=0,
所以∠F1PF2=90°,
所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|=12×32=16.
答案16
9.若k是实数,试讨论方程kx2+2y2-8=0表示何种曲线.
解当k<0时,曲线方程化为y24-x2-8k=1,表示焦点在y轴的双曲线;
当k=0时,曲线方程化为2y2-8=0,表示两条垂直于y轴的直线;
当0当k=2时,曲线方程化为x2+y2=4,表示一个圆;
当k>2时,曲线方程化为y24+x28k=1,表示焦点在y轴的椭圆.
能力提升练
1.(多选题)关于x,y的方程x2m2+2+y23m2-2=1,其中m2≠23,方程对应的曲线可能是( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.焦点在y轴上的双曲线
解析若m2+2>3m2-2>0,解得-263,则当x∈(-2,-63)∪(63,2)时,曲线是焦点在x轴上的椭圆,A正确;
若3m2-2>m2+2>0,解得m<-2或m>2,此时曲线是焦点在y轴上的椭圆,B正确;
若3m2-2<0,解得-63因为m2+2<0时,m无实数解,所以D错误.
答案ABC
2.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)过点15,-63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=( )
A.3B.6C.9D.12
解析由左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)过点15,-63,可得15a2-69=1,
解得a=3,b=1,c=10,a+c>3,
点P在双曲线C上,若|PF1|=3,可得P在双曲线的左支上,
则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C.
答案C
3.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是( )
A.椭圆B.双曲线
C.抛物线D.圆
解析如图所示,连接ON,由题意可得ON=1,且N为MF1的中点,∴MF2=2.
∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P.
由垂直平分线的性质可得PM=PF1.
∴|PF2-PF1|=|PF2-PM|=MF2=2由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.
答案B
4.已知双曲线x216-y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,△F1PF2的内切圆圆心为M,若S△F1PM=S△F2PM+8,则S△F1MF2=( )
A.27B.6C.8D.10
解析由双曲线x216-y29=1得a=4,b=3,
可得c=a2+b2=5.
设△F1PF2的内切圆的半径为r,
由S△F1PM=S△F2PM+8,可得12r|PF1|=12r|PF2|+8,
即12r(|PF1|-|PF2|)=8.
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,
则有4r=8,解得r=2,
则S△F1MF2=12r|F1F2|=10.
答案D
5.设P是双曲线x29-y216=1上一点,M,N分别是两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .
解析如图所示,设双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,则点F1(-5,0)为圆(x+5)2+y2=1的圆心,点F2(5,0)为圆(x-5)2+y2=4的圆心,
当|PM|-|PN|取最大值时,点P在该双曲线的左支上,由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=6.
由圆的几何性质得|PM|≤|PF2|+2,|PN|≥|PF1|-1,
所以|PM|-|PN|≤|PF2|-|PF1|+3=6+3=9.
答案9
素养培优练
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)满足如下条件:
①ab=3;
②过右焦点F的直线l的斜率为212,交y轴于点P,线段PF交双曲线于点Q,且|PQ|∶|QF|=2∶1,求双曲线的方程.
解如图所示,设右焦点F(c,0),点Q(x,y),直线l:y=212(x-c).
令x=0,得P0,-212c.
由题意知PQ=2QF,
∴Q23c,-216c,
且Q在双曲线上,
∴23c2a2--216c2b2=1.
∵a2+b2=c2,
∴491+b2a2-712a2b2+1=1,
解得b2a2=3或b2a2=-716(舍去).
又由ab=3,得a2=1,b2=3.
∴所求双曲线方程为x2-y23=1.