人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线优质学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线优质学案，共11页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

3.2.1 双曲线及其标准方程
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
【自主学习】
一．双曲线的定义
文字语言
平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.
符号语言
||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)
焦点
定点
焦距
的距离
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？


二．双曲线的标准方程

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
(a＞0，b＞0)
(a＞0，b＞0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
图形


a，b，c的关系
c2＝
思考：如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？

【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( 　)
(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　 　)
(3)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b． (　　)
(4)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．(　 　)
2.已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　)
A．(－，0)，(，0) B．(－5，0)，(5，0)
C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－)，(0，)
【经典例题】
题型一　求双曲线的标准方程
点拨：求双曲线标准方程的步骤
1.定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
2.定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0.
例1　根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．


【跟踪训练】1 求满足下列条件的参数的值．
(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值；
(2)椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，求a的值．
题型二 双曲线中焦点三角形问题
点拨：求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法
1.①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
2.利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
3.若双曲线中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则面积S＝．这一结论适用于选择或填空题．
例2　若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．





【跟踪训练】2 已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________．

题型三 与双曲线有关的轨迹问题
点拨：双曲线轨迹问题的步骤
(1)列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
例3 如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．


【跟踪训练】3 如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．





【当堂达标】
1.(多选)双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．7 C．17 D．22
2.已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线
3.已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　)
A.　　　　　B．5 C．7 D.
4.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为(　　)
A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m
5.已知方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________．
6.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
7.求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．

8.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．



【参考答案】
【自主学习】
差的绝对值 F1，F2 两焦点间
思考：(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
－＝1 －＝1 a2＋b2
思考：焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
【小试牛刀】
1.× × × ×
2.B
【经典例题】
例1 解：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，
把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，
把点A的坐标代入，得b2＝9.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为焦点在x轴上，可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2，2)代入方程得解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
因为点P，Q在双曲线上，则解得
故双曲线的标准方程为－＝1.
【跟踪训练】1 解：(1)若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，所以＋k＝32，即k＝6；
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，所以－k＋＝32，即k＝－6．
综上所述，k的值为6或－6．
(2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a＞0)．
由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，
即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．因此a的值为1．
例2 解：双曲线的标准方程为－＝1，故a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)，
所以∠F1PF2＝90°，
故＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
【跟踪训练】2　5. 4 解析：在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.
例3解：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为－＝1(x>a)，
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
即所求轨迹方程为－＝1(x>)．
【跟踪训练】3 解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.
【当堂达标】
1.AD 解析：因为a2＝25，所以a＝5．由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10．由题意知|PF1|＝12，所以|PF1|－|PF2|＝±10，所以|PF2|＝22或2．故选：AD。
2.D解析：F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
3.D 解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.
4.C解析：不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C.
5.(－∞，－2) 解析：由双曲线标准方程的特点知2＋m＜0且－(m＋1)＞0，解得m＜－2.即m的取值范围为(－∞，－2)．
6. 2 解析：不妨设点P在双曲线的右支上，
因为PF1⊥PF2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2)2，
又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，
可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，
所以|PF1|＋|PF2|＝2.
7.解：由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0，3)，
∵A(4，－5)在双曲线上，
∴2a＝||AF1|－|AF2||＝|－|＝2，
∴a＝，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.
故双曲线的标准方程为－＝1.
8.解：在双曲线的方程中，a＝3，b＝4，则c＝5．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m＞0，n＞0)．
由双曲线的定义可知，|m－n|＝2a＝6，
两边平方，得m2＋n2－2mn＝36．
又∵∠F1PF2＝90°，
∴由勾股定理，得m2＋n2＝|F1F2|2＝(2c)2＝100．
∴mn＝32，∴S△F1PF2＝mn＝16．