2024届高考数学二轮复习专题强化练(十八)含答案

这是一份2024届高考数学二轮复习专题强化练(十八)含答案，共10页。试卷主要包含了已知函数f＝xex＋ax2，已知函数f＝2xe2x.等内容，欢迎下载使用。
(1)判断f(x)的单调性；
(2)当01时，方程有两个不等的实数根，且
x1＝eq \f(2a－\r(4a2－4),2)＝a－eq \r(a2－1)>0，
x2＝eq \f(2a＋\r(4a2－4),2)＝a＋eq \r(a2－1)>0，
所以任意x∈(0，a－eq \r(a2－1))，x2－2ax＋1>0，f′(x)>0，f(x)单调递增，
任意x∈(a－eq \r(a2－1)，a＋eq \r(a2－1))，x2－2ax＋1>0，f′(x)0，f′(x)>0，f(x)单调递增，
综上所述，当01时，f(x)在(0，a－eq \r(a2－1))，(a＋eq \r(a2－1)，＋∞)上单调递增，在(a－eq \r(a2－1)，a＋eq \r(a2－1))上单调递减．
(2)证明：因为f(1)＝eq \f(1,2)－2a，
所以f(m)＋f(n)＝1－4a＝2f(1)，
由(1)可得0f(2－m)，
所以f(m)＋f(2－m)0，F(x)单调递增，
所以F(x)2.
2．(2023·深圳模拟)已知函数f(x)＝xex＋ax2(a∈R)．
(1)当a＝－eq \f(1,2)时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数g(x)＝xln x＋xex－f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－eq \f(1,2)时，f(x)＝xex－eq \f(1,2)x2，
则f′(x)＝(x＋1)ex－x，
所以f(1)＝e－eq \f(1,2)，
切线斜率为k＝f′(1)＝2e－1，
所以切线方程为：y－(e－eq \f(1,2))＝(2e－1)(x－1)，
即y＝(2e－1)x－e＋eq \f(1,2).
(2)因为g(x)＝xln x＋xex－xex－ax2＝xln x－ax2，定义域为(0，＋∞)，
所以g′(x)＝ln x＋1－2ax，
又因为g(x)有两个极值点，
所以g′(x)有两个零点，即：ln x＋1－2ax＝0(x∈(0，＋∞))有两个不同的根．
即：2a＝eq \f(ln x＋1,x)(x∈(0，＋∞))有两个不同的根．
令h(x)＝eq \f(ln x＋1,x)则y＝h(x)与y＝2a在(0，＋∞)上有两个不同的交点．
因为h′(x)＝eq \f(1－ln x－1,x2)＝eq \f(－ln x,x2)，
则h′(x)>0⇒00时，由g(2x)≥g[ln (ax)]得2x≥ln (ax)，即2x－ln (ax)≥0恒成立，
设h(x)＝2x－ln (ax)，h′(x)＝2－eq \f(1,x)，
所以当x∈(0，eq \f(1,2))时，h′(x)0，h(x)单调递增，
所以h(x)≥h(eq \f(1,2))＝1－ln eq \f(a,2)，
所以要使2x－ln (ax)≥0恒成立，
只需1－ln eq \f(a,2)≥0，解得a≤2e，
由题可知，a>0，
所以实数a的取值范围为(0，2e]．
5．(2023·深圳龙岗区校级一模)已知函数f(x)＝x(ln x－a)在区间[1，e]上的最小值为－1，函数g(x)＝eq \f(m,2)x2－m，a，m∈R.
(1)求a的值；
(2)设函数F(x)＝f(x)－g(x)，x1，x2是F(x)的两个不同的极值点，且x15.
解：(1)依题意有f′(x)＝ln x－a＋1，
由f′(x)0，可得x∈(ea－1，＋∞)，
所以f(x)在(0，ea－1)上单调递减，在(ea－1，＋∞)上单调递增．
①若ea－1≥e，即a≥2，
则f(x)在[1，e]上单调递减，
则f(x)∈[e(1－a)，－a]，
所以－1＝e(1－a)，所以a＝1＋eq \f(1,e)