2024届高考数学二轮复习专题强化练(十二)含答案

这是一份2024届高考数学二轮复习专题强化练(十二)含答案，共17页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知双曲线C，设椭圆C，已知双曲线M等内容，欢迎下载使用。
A.eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(\r(31),6) D.eq \f(\r(11),6)
解析：因为椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1的长轴长为6，
所以m＝32＝9，则c2＝a2－b2＝9－5＝4，即c＝2，
所以该椭圆的离心率e＝eq \f(2,3).
故选B.
答案：B
2．(2023·广州二模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，过点(－a，0)且方向量为n＝(1，－1)的光线，经直线y＝－b反射后过C的右焦点，则C的离心率为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,5)
解析：由题意可得方向向量为n＝(1，－1)的光线的斜率为－1，
直线y＝－b，平行于x轴，
故由反射定律知，
△AMF为等腰直角三角形，
所以eq \f(1,2)(a＋c)＝b，所以a2＋2ac＋c2＝4b2＝4(a2－c2)，
所以3a2－2ac－5c2＝0，所以(3a－5c)(a＋c)＝0，
所以3a－5c＝0，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5).
故选A.
答案：A
3．(2023·郑州模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，|AF1|＋|AF2|＝24，|AF1|＝|BF1|＝5λ，|AB|＝4λ，则实数λ＝( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
解析：如图所示，设|BF2|＝k(k>0)，|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，即(4λ＋k)－5λ＝5λ－k，
解得k＝3λ，2a＝|BF1|－|BF2|＝5λ－3λ＝2λ，即λ＝a，
故|AF1|＝5a，|AF2|－|AF1|＝2a，|AF2|＝7a，
所以|AF1|＋|AF2|＝24，12a＝24，解得a＝2，
即λ＝2.
故选C.
答案：C
4．(2023·广东一模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，点B的坐标为(0，b)，若C上的任意一点P都满足|PB|≥b，则C的离心率取值范围是( )
A．(1，eq \f(\r(5)＋1,2)] B．[eq \f(\r(5)＋1,2)，＋∞)
C．(1，eq \r(2)] D．[eq \r(2)，＋∞)
解析：设P(x，y)，|PB|≥b⇒eq \r(x2＋（y－b）2)≥b⇒x2＋y2－2by≥0，(*)
由eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1⇒x2＝a2(1＋eq \f(y2,a2))，代入不等式*中，
整理得eq \f(c2,b2)y2－2by＋a2≥0恒成立，
则Δ＝4b2－eq \f(4a2c2,b2)≤0⇒b4≤a2c2⇒b2≤ac⇒c2－a2≤ac⇒e2－e－1≤0，
解得eq \f(1－\r(5),2)≤e≤eq \f(1＋\r(5),2)，又e>1，则10，
设PQ所在的直线方程为x＝ky＋2，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ky＋2，,y2＝2px，))消x可得y2－2pky－4p＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝2pk，y1y2＝－4p，
又OP⊥OQ，
则x1x2＋y1y2＝0，
即eq \f(yeq \\al(2,1),2p)×eq \f(yeq \\al(2,2),2p)＋y1y2＝0，
即p＝1，
则F(eq \f(1,2)，0)，
又x1＋x2＝k(y1＋y2)＋4＝2k2＋4，
则M(k2＋2，k)，
则kMF＝eq \f(k,k2＋\f(3,2))，
当直线MF的斜率取最大值时，显然k>0，
又因为当k>0时，eq \f(k,k2＋\f(3,2))＝eq \f(1,k＋\f(3,2k))≤eq \f(1,2\r(k×\f(3,2k)))＝eq \f(\r(6),6)，
当且仅当k＝eq \f(3,2k)，即k＝eq \f(\r(6),2)时取等号，
所以直线MF的斜率的最大值为eq \f(\r(6),6)，
故选A.
答案：A
6．(2023·汕头一模)已知点P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且cs ∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则△PF1F2的面积为( )
A．6 B．12
C．eq \r(2) D．2eq \r(2)
解析：由椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，得a＝3，b＝2，c＝eq \r(5).
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，所以m＋n＝6，
于是△PF1F2的周长为m＋n＋2c＝6＋2eq \r(5)；
在△PF1F2中，由余弦定理可得：
(2c)2＝m2＋n2－2mn·cs ∠F1PF2＝(m＋n)2－2mn－2mn·eq \f(1,3)，可得20＝36－eq \f(8,3)mn，得mn＝6.
故S△F1PF2＝eq \f(1,2)mn·sin ∠F1PF2＝eq \f(1,2)·6·eq \r(1－\f(1,9))＝2eq \r(2).
故选D.
答案：D
7．(2023·深圳二模)设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1.若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且eq \(F1P,\s\up6(→))·eq \(F1F2,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a2，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,5)
解析：由题意可得|PF1|＝|F1F2|＝2c.
所以|PF2|＝2a－2c，
cs ∠PF1F2＝eq \f(（2c2）＋（2c）2－（2a－2c）2,2·2c·2c)
＝eq \f(4c2＋8ac－4a2,8c2)，
因为eq \(F1P,\s\up6(→))·eq \(F1F2,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a2，
所以2c×2c×eq \f(4c2＋8ac－4a2,8c2)＝eq \f(1,2)a2，
所以4c2＋8ac－4a2＝a2，所以5a2－8ac－4c2＝0，
所以(5a＋2c)(a－2c)＝0，所以a＝2c，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
故选C.
答案：C
8．(2023·广东模拟)已知双曲线M：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1的左，右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P.若|PF1|＝c＋4，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(3)＋1 B.eq \f(\r(3)＋1,2)
C.eq \f(\r(3)＋2,2) D.eq \f(\r(3)＋3,2)
解析：由题意可得，PF1⊥PF2，a＝2.
因为点P在第一象限，|PF1|＝c＋4，
由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝4，
所以|PF2|＝c.
在Rt△F1PF2中，由勾股定理可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即(c＋4)2＋c2＝4c2，整理可得c2－4c－8＝0，
解得c＝2±2eq \r(3)(舍去负值)．
所以c＝2＋2eq \r(3)，所以e＝eq \f(c,a)＝
eq \r(3)＋1.
故选A.
答案：A
9．(多选题)(2023·惠州模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,1－m)＝1的焦点在x轴上，且F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，则下列结论正确的是( )
A．eq \f(1,2)0，解得m∈(eq \f(1,2)，1)，
所以A正确；
椭圆的离心率为：e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(m－（1－m）,m))＝eq \r(\f(2m－1,m))，
所以B不正确；
当b＝eq \r(1－m)，c＝eq \r(2m－1)，满足eq \r(1－m)≤eq \r(2m－1)，
即m∈[eq \f(2,3)，1)时，使得∠F1PF2＝90°，
所以C正确；
△F1PF2面积的最大值为eq \f(1,2)×2c×b＝
eq \r(（1－m）（2m－1）)＝eq \r(－2m2＋3m－1)，
当m＝eq \f(3,4)时，面积取得最大值为eq \f(\r(2),4).
所以D正确．
故选ACD.
答案：ACD
10．(多选题)(2023·高州二模)阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，M是抛物线C上的动点，焦点F(eq \f(1,2)，0)，N(4，2)，下列说法正确的是( )
A．C的方程为y2＝x
B．C的方程为y2＝2x
C．|MF|＋|MN|的最小值为eq \f(5,2)
D．|MF|＋|MN|的最小值为eq \f(9,2)
解析：由题可得eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，p＝1，即C的方程为y2＝2x，
设准线为l，过M作MA⊥l交l于点A，过N作NB⊥l交l于点B，交C于点M′，连接M′F，
将y＝2代入y2＝2x可得M′(2，2)，
所以|M′F|＋|M′N|＝eq \r(（2－0）2＋（2－\f(1,2)）2)＋2＝eq \f(9,2)，
于是|MF|＋|MN|＝|MA|＋|MN|≥|BN|＝|BM′|＋|M′N|＝|M′F|＋|M′N|＝eq \f(9,2)，
当M与M′重合时，|MF|＋|MN|取得最小值eq \f(9,2).
故选BD.
答案：BD
11．(多选题)(2023·汕头潮阳区三模)椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左右焦点分别为F1，F2，过F1，F2分别作两条平行的射线F1A，F2B交椭圆C于A，B两点，(A，B均在x轴上方)，则( )
A．当∠AF1O＝60°时，|AF1|＋|BF2|＝eq \f(16,5)
B．|AF1|＋|BF2|的最小值为3
C．当∠AF1O＝60°时，四边形ABF2F1的面积为eq \f(24\r(3),5)
D．四边形ABF2F1面积的最大值为3
解析：F1(－1，0)设A(x1，y1)，
C(x2，y2)，lAC：x＝my－1.
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,x＝my－1，))
得(3m2＋4)y2－6my－9＝0.
由韦达定理有y1＋y2＝eq \f(6m,3m3＋4)，y1y2＝－eq \f(9,3m2＋4).
设B(x3，y3)，D(x4，y4)，由AC∥BD，得lBD：x＝my＋1.
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,x＝my＋1，))得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.
所以y3＋y4＝eq \f(－6m,3m2＋4)，y3y4＝－eq \f(9,3m2＋4).
而|AC|＝eq \r(1＋m2)|y1－y2|，|BD|＝eq \r(1＋m2)|y3－y4|，
由对称性可知|CF1|＝|BF2|，
|AF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|CF1|＝|AC|＝eq \r(1＋m2)·|y1－y2|，
当∠AF1O＝60°时，所以m＝eq \f(\r(3),3)，y1＋y2＝eq \f(6m,3m2＋4)＝eq \f(2\r(3),5)，y1y2＝－eq \f(9,3m2＋4)＝－eq \f(9,5).
|AF1|＋|BF2|＝|AC|＝eq \r(1＋\f(1,3))eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq \r(\f(4,3)×[（\f(2\r(3),5)）2－4×（－\f(9,5)）])＝eq \f(16,5)，A选项正确；
当∠AF1O＝60°时，设F2到直线AC的距离为dF2，
dF2＝eq \f(|1＋1－0|,\r(1＋\f(1,3)))＝eq \r(3)，
四边形ABF2F1的面积为eq \f(1,2)(|AF1|＋|BF2|)dF2＝eq \f(1,2)×eq \f(16,5)dF2＝eq \f(1,2)×eq \f(16,5)×eq \r(3)＝eq \f(8\r(3),5)，C选项错误．
|AF1|＋|BF2|＝|AC|＝
eq \r(1＋m2)eq \r(（\f(6m,3m2＋4)）2＋\f(4×9,3m2＋4))＝eq \f(12（1＋m2）,3m2＋4)＝4－eq \f(4,3m2＋4)，
因为3m2＋4≥4，所以4－eq \f(4,3m2＋4)≤4－1＝3，
|AF1|＋|BF2|＝|AC|的最小值为3，B选项正确；
S▱ABCD＝4S△AOC，且S△AOC＝eq \f(1,2)|OF1|·|y1－y2|.
四边形ABCD为平行四边形，
S▱ABCD＝2|OF1|·|y1－y2|＝2eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝2eq \r(\f(36m2＋36（3m2＋4）,（3m2＋4）2))＝24eq \r(\f(1,9（m2＋1）＋\f(1,（m2＋1）)＋6))，
设f(t)＝9t＋eq \f(1,t)(t≥1)，f′(t)＝9－eq \f(1,t2)＝eq \f(9t2－1,t2)>0，
所以f(t)在[1，＋∞)上单调递增，
所以f(t)min＝f(1)＝10.
故S▱ABCD的最大值为6，此时m＝0.
四边形ABF2F1面积的最大值为3，D选项正确．
故选ABD.
答案：ABD
12．(多选题)(2023·汕头二模)已知曲线C：x2＋y2cs α＝1，α∈[0，π]，则下列结论正确的是( )
A．曲线C可能是圆，也可能是直线
B．曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆
C．当曲线C表示椭圆时，则α越大，椭圆越圆
D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为eq \r(2)
解析：设m＝cs a∈[－1，1]，故曲线C的方程可表示为x2＋my2＝1(－1≤m≤1)，
对A，当m＝0时，曲线C的方程为x2＝1，可得x＝±1，此时曲线C为两条直线；
当m＝1时，曲线C的方程为x2＋y2＝1，此时曲线C是一个圆；故A正确；
对B，当0b>0)上任意一点P(x0，y0)的切线方程为eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1.若已知△ABC内接于椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且坐标原点O为ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则eq \f(S△DEF,S△ABC)＝________．
解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，
由中点坐标公式可得
G(eq \f(x1＋x2,2)，eq \f(y1＋y2,2))、H(eq \f(x2＋x3,2)，eq \f(y2＋y3,2))、I(eq \f(x1＋x3,2)，eq \f(y1＋y3,2))，
因为O为△ABC的重心，
所以eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq \f(y3,x3)，eq \f(y2＋y3,x2＋x3)＝eq \f(y1,x1)，eq \f(y1＋y3,x1＋x3)＝eq \f(y2,x2)，
所以x1y3－x3y1＝x3y2－x2y3＝x2y1－x1y2，
由题意可知，过A，B，C切线分别为
eq \f(x1x,a2)＋eq \f(y1y,b2)＝1，eq \f(x2x,a2)＋eq \f(y2y,b2)＝1，eq \f(x3x,a2)＋eq \f(y3y,b2)＝1，
所以D(eq \f(a2（y1－y2）,x2y1－x1y2)，eq \f(b2（x2－x1）,x2y1－x1y2))，E(eq \f(a2（y3－y1）,x1y3－x3y1)，eq \f(b2（x1－x3）,x1y3－x3y1))，F(eq \f(a2（y2－y3）,x3y2－x2y3)，eq \f(b2（x3－x2）,x3y2－x2y3))，
所以eq \f(a2（y1－y2）,x2y1－x1y2)＋eq \f(a2（y3－y1）,x1y3－x3y1)＋eq \f(a2（y2－y3）,x3y2－x2y3)＝0，
同理eq \f(b2（x2－x1）,x2y1－x1y2)＋eq \f(b2（x1－x3）,x1y3－x3y1)＋eq \f(b2（x3－x2）,x3y2－x2y3)＝0，
即O也是△DEF的重心，
又因为eq \f(xeq \\al(2,1),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,1),b2)＝1，eq \f(xeq \\al(2,2),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,2),b2)＝1，eq \f(xeq \\al(2,3),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,3),b2)＝1，
所以eq \f(y2－y1,x2－x1)＝－eq \f(b2（x2＋x1）,a2（y2＋y1）)＝－eq \f(b2x3,a2y3)，
eq \f(y3－y1,x3－x1)＝－eq \f(b2（x3＋x1）,a2（y3＋y1）)＝－eq \f(b2x2,a2y2)，
eq \f(y3－y2,x3－x2)＝－eq \f(b2（x3＋x2）,a2（y3＋y2）)＝－eq \f(b2x1,a2y1)，
所以kOD＝－eq \f(b2（x2－x1）,a2（y2－y1）)＝
(－eq \f(b2,a2))×(－eq \f(a2y3,b2x3))＝eq \f(y3,x3)＝kOC，
同理可得kOE＝kOB，kOF＝kOA，
所以D，O，C、E，O，B、F，O，A共线，
综上，C，B，A分别是EF，DF，DE的中点，则eq \f(S△DEF,S△ABC)＝4.
答案：4