2024届高考数学二轮复习专题强化练(十三)含答案

这是一份2024届高考数学二轮复习专题强化练(十三)含答案，共12页。试卷主要包含了已知动圆过点F，且与直线l，已知A，B是抛物线E，已知椭圆C，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
(1)记动点P的轨迹为曲线C，求C的标准方程．
(2)已知点M是圆x2＋y2＝10上任意一点，过点M做曲线C的两条切线，切点分别是A，B，求△MAB面积的最大值，并确定此时点M的坐标．
注：椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点P(x0，y0)处的切线方程是eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1.
解：(1)设d是点P到直线1：x＝eq \f(4\r(6),3)的距离，
根据题意，动点P的轨迹就是集合P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(M|\f(|MF|,d)＝\f(\r(3),2))).
由此得eq \f(\r(（x－\r(6)）2＋y2),|\f(4\r(6),3)－x|)＝eq \f(\r(3),2)，
化简得eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝10，
切线MA方程：eq \f(x1x,8)＋eq \f(y1y,2)＝1，
切线MB方程：eq \f(x2x,8)＋eq \f(y2y,2)＝1，两直线都经过点M，
所以，得eq \f(x1x0,8)＋eq \f(y1y0,2)＝1，eq \f(x2x0,8)＋eq \f(y2y0,2)＝1，
所以直线AB的方程是：eq \f(x0,8)x＋eq \f(y0,2)y＝1，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x0,8)x＋\f(y0,2)y＝1，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))得(3yeq \\al(2,0)＋10)x2－16x0x＋64－32yeq \\al(2,0)＝0，
由韦达定理，得x1＋x2＝eq \f(16x0,3yeq \\al(2,0)＋10)，x1x2＝eq \f(64－32yeq \\al(2,0),3yeq \\al(2,0)＋10)，
|AB|＝eq \r(1＋（\f(x0,4y0)）2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(xeq \\al(2,0),16yeq \\al(2,0)))·eq \r(（\f(16x0,3yeq \\al(2,0)＋10)）2－4\f(64－32yeq \\al(2,0),3yeq \\al(2,0)＋10))＝eq \f(2\r(10)（3yeq \\al(2,0)＋2）,3yeq \\al(2,0)＋10)，
点M到直线AB的距离d＝eq \f(|\f(x0,8)·x0＋\f(y0,2)·y0－1|,\r(（\f(x0,8)）2＋（\f(y0,2)）2))＝eq \f(|\f(xeq \\al(2,0),8)＋\f(yeq \\al(2,0),2)－1|,\f(1,8)\r(xeq \\al(2,0)＋16yeq \\al(2,0)))＝eq \f(|xeq \\al(2,0)＋4yeq \\al(2,0)－8|,\r(xeq \\al(2,0)＋16yeq \\al(2,0)))＝eq \f(|10－yeq \\al(2,0)＋4yeq \\al(2,0)＋8|,\r(10－yeq \\al(2,0)＋16yeq \\al(2,0)))＝eq \f(3yeq \\al(2,0)＋2,\r(5)\r(2＋3yeq \\al(2,0)))，
所以S△MAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(\r(2)（3yeq \\al(2,0)＋2）\s\up6(\f(3,2)),3yeq \\al(2,0)＋10)，其中yeq \\al(2,0)≤10，
令t＝eq \r(3yeq \\al(2,0)＋2)，则t∈[eq \r(2)，4eq \r(2)]，
所以S△MAB＝eq \f(\r(2)t3,t2＋8)，
令f(t)＝eq \f(\r(2)t3,t2＋8)，则f′(t)＝eq \f(\r(2)（t4＋24t2）,（t2＋8）2)>0，
所以f(t)在t∈[eq \r(2)，4eq \r(2)]上递增，
所以t＝4eq \r(2)，即yeq \\al(2,0)＝10时，
△MAB的面积取到最大值eq \f(32,5)，此时点M(0，±eq \r(10))．
2．(2023·河源模拟)中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国．后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合．将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕，如果在纸片上按照一定的规律折出很多折痕后，纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓．如图，一张圆形纸片的圆心为点D，A是圆外的一个定点，P是圆D上任意一点，把纸片折叠使得点A与P重合，然后展平纸片，折痕与直线DP相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹．
(1)证明：点Q的轨迹是双曲线；
(2)设定点A坐标为2，纸片圆的边界方程为(x＋2)2＋y2＝r2.若点M(2，3)位于(1)中所描述的双曲线上，过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E，F两点，且点E，F位于y轴右侧，O为坐标原点，求△EOF面积的最小值．
(1)证明：由题意知|QA|＝|QP|，所以||QA|－|QD||＝||QP|－|QD||＝|DP|＝r，
因此动点Q到定点D和A的距离之差的绝对值为定值r，且r0，此时S△EOF>4eq \r(3)；
当eq \r(3)0，
所以直线l与椭圆C相交于两点，
设M(1－2y0，y0)为直线l与椭圆C的交点，
则8yeq \\al(2,0)－4y0－3＝0，yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,2)y0＋eq \f(3,8)，
直线PM的方程为y＝eq \f(y0－2,－2y0－3)(x－4)＋2，
即y＝eq \f(2－y0,2y0＋3)x＋eq \f(8y0－2,2y0＋3)，
代入椭圆方程得eq \f(x2,4)＋(eq \f(2－y0,2y0＋3)x＋eq \f(8y0－2,2y0＋3))2＝1，
整理得(8yeq \\al(2,0)－4y0＋25)x2＋16(－4yeq \\al(2,0)＋9y0－2)x＋4(60yeq \\al(2,0)－44y0－5)＝0，
即2x2＋4(2y0－1)x－(4y0－5)＝0，
所以Δ＝16(2y0－1)2＋8(4y0－5)＝8(8yeq \\al(2,0)－4y0－3)＝0，
故PM是椭圆的切线．
(2)解：因为P，A，B，Q四点共线，
由(1)可知P在线段AB外，Q在线段AB内，
所以eq \(PA,\s\up6(→))与eq \(PB,\s\up6(→))的方向相同，eq \(QB,\s\up6(→))与eq \(AQ,\s\up6(→))的方向相同，
要证eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))，
只需要|PA|·|QB|＝|PB|·|AQ|，即证eq \f(|PA|,|AQ|)＝eq \f(|PB|,|QB|).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x3，y3)，不妨设x10)的右焦点为F(2，0)，过点F的直线l与双曲线C的右支相交于M，N两点，点M关于y轴对称的点为P.当eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0时，|MN|＝eq \f(2\r(3),3).
(1)求双曲线C的方程；
(2)若△MNP的外心为Q，求eq \f(|QF|,|MN|)的取值范围．
解：(1)点M关于y轴对称的点为P，故MP平行于x轴，
又eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，故MN垂直于x轴，
又直线过MN，所以|MN|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(2\r(3),3)，
又a2＋b2＝4，所以a2＝3，b2＝1，
所以双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，|MN|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(2\r(3),3)，
|QF|＝c＝2，则eq \f(|QF|,|MN|)＝eq \r(3)，
当直线l的斜率为0时，不符合题意，
当直线l的斜率存在且不为0时，
设l的方程为y＝k(x－2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－2），,\f(x2,3)－y2＝1，))
消去y，整理得(1－3k2)x2＋12k2x－12k2－3＝0，
因为l与C的右支相交于M，N两点，
所以k2>eq \f(1,3)，x1＋x2＝eq \f(12k2,3k2－1)，x1x2＝eq \f(12k2＋3,3k2－1)，
|MN|＝eq \r(1＋k2)eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \f(2\r(3)（1＋k2）,3k2－1)，
因为y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝eq \f(4k,3k2－1)，
所以段线MN的中点R(eq \f(6k2,3k2－1)，eq \f(2k,3k2－1))，
所以线段MN的垂直平分线的方程为
y－eq \f(2k,3k2－1)＝－eq \f(1,k)(x－eq \f(6k2,3k2－1))，
由题意可知Q为MN的垂直平分线与y轴的交点，
令x＝0，得y＝eq \f(8k,3k2－1)，即Q(0，eq \f(8k,3k2－1))，
则|QF|＝eq \r(1＋（\f(8k,3k2－1)）2)＝eq \f(2\r(9k4＋10k2＋1),3k2－1)，
则eq \f(|QF|,|MN|)＝eq \r(\f(9k2＋1,3k2＋3))＝eq \r(3－\f(8,3k2＋3))，
因为k2>eq \f(1,3)，所以1< eq \r(3－\f(8,3k2＋3))