初中数学沪科版九年级下册24.4.1 直线与圆的位置关系精品课后练习题

这是一份初中数学沪科版九年级下册24.4.1 直线与圆的位置关系精品课后练习题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE=2，∠ABC=22.5°，则CF的长度为( )
A. 2
B. 2 2
C. 2 3
D. 4
2.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D.若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是
( )
A. (9,2)B. (9,3)C. (10,2)D. (10,3)
3.⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是
( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定
4.如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE=2，∠ABC=22.5°，则CF的长度为
( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4
5.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，小圆的半径是5，则AB的长为
( )
A. 10B. 12C. 20D. 24
6.
如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，小圆的半径是5，则AB的长为
( )
A. 10
B. 12
C. 20
D. 24
7.如图，AB是⊙O的直径，CD、ED是⊙O的两条弦，MN是⊙O过点E的切线，且MN/​/BC，若∠ABC=22°，则∠CDE的度数为( )
A. 32°
B. 34°
C. 36°
D. 40°
8.如图，在△ABC中，∠A=28°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE // CB，连接BD.若添加一个条件，使BC是⊙O的切线，则下列四个条件不符合的是( )
A. DE⊥ABB. ∠EDB=28°
C. ∠ADE=∠ABDD. OB=BC
9.在平面直角坐标系中，以点(3,−5)为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴的距离为1，则圆的半径r的取值范围是( )
A. r>4B. 010.在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是．( )
A. 点B在⊙A内B. 点C在⊙A上
C. 直线BC与⊙A相切D. 直线BC与⊙A相离
11.如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1，则BD的长为
( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
12.如图，AD是⊙O的直径，PA，PB分别切⊙O于点A，B，弦BC//AD.当CD⌢的度数为126°时，则∠P的度数为
A. 54°B. 55°C. 63°D. 64°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为 ．
14.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2,1)，若⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为 ．
15.如图，PA,PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB=56∘，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为_____．
16.如图，已知直线RS，ST，TR都与⊙O相切，且，∠RST=90°，∠SRT=60°，RS=1，⊙O的直径为a+ b，其中a和b都是有理数，则100a+10b= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，直线CD与⊙O相切，切点为B.求证：∠A=∠DBE．
18.(本小题8分)
如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．
(1)求证：AB=AC；
(2)求证：DE为⊙O的切线．
19.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，∠ABC=45∘，AH⊥BC于点H，点D为AH上的一点，且DH=HC，连接BD并延长BD交AC于点E．
(1)请补全图形；
(2)写出BD与AC的数量关系和位置关系并证明．
20.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE // AD交CD于点E，连接BE．
(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由．
(2)若CA=2，CD=4，求DE的长．
21.(本小题8分)
如图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，过点C作射线CE，∠AOC=120°，点B为弧AC的中点，连接AB，OB，BC.点P为弧BC上的一个动点(不与B，C重合)，连接PA，PB，PC，PD．
(1)若∠ECP=∠PDC，判断射线CE与⊙O的位置关系；
(2)求证：PA= 3PB+PC．
22.(本小题8分)
如图1，点A，B，C在圆O上，AC是⊙O的直径，AD平分∠BAC，与⊙O相交于点D.连接OD，与BC相交于点E．
(1)求∠OEC的度数．
(2)如图2，过点A作⊙O的切线，与CB的延长线相交于点F，过点D作DG//FA，与AC相交于点G.若AD=2 35，DE=4，求DG的长．
23.(本小题8分)
如图，已知⊙O是▵ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB=6，BD=3，求AE和BC的长．
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，过点A作AE⊥CD，垂足为点E．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BC=3，CD=3 3，求⊙O的半径以及线段ED的长．
25.(本小题8分)
如图，△ABC内接于⊙O，D为优弧AB上的点，弦CD与AB相交于点E，且AC2=AE⋅AB，延长DC到点P，使得PB=PE．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若E是PD的中点，PB=4，求PC的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，
∴AC=CD，AE=DE=2，
∴∠COD=2∠ABC=45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE=ED=2，
∴OD= 22+22=2 2，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC，
∵OC=OD=2 2，
∴CF=2 2，
故选：B．
根据垂径定理求得AC=CD，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，则△OED是等腰直角三角形，得出OD= 22+22=2 2，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=2 2．
本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，
则PE⊥y轴，PF⊥x轴，
∵∠EOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE=PF，PE/​/OF，
∴四边形PEOF为正方形，
∴OE=OF=PE=PF=5，
∵A(0,8)，
∴OA=8，
∴AE=8−5=3，
∵四边形OACB为矩形，
∴BC=OA=8，BC/​/OA，AC/​/OB，
∴EG/​/AC，
∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，
∴CG=AE=3，EG=OB，
∵PE⊥AO，AO/​/CB，
∴PG⊥CD，
∴CD=2CG=6，
∴DB=BC−CD=8−6=2，
∵PD=5，DG=CG=3，
∴PG=4，
∴OB=EG=5+4=9，
∴D(9,2)．
故选：A．
设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出CG的长度．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．
根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于圆心到直线的距离，则直线l与O的位置关系是相交．
【解答】
解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，
∴直线l与O的位置关系是相交．
故选A．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键．
根据垂径定理求得AC=CD，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45∘，则△OED是等腰直角三角形，得出OD= 22+22=2 2，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=2 2．
【解答】
解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，
∴AC=CD，AE=DE=2，
∴∠COD=2∠ABC=45∘，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE=ED=2，∴OD= 22+22=2 2，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC，
∵OC=OD=2 2，
∴CF=2 2，
故选：B．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．
连接OA、OC，如图，先根据切线的性质得到OC⊥AB，则根据垂径定理得到AC=BC，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长．
【解答】
解：连接OA、OC，如图，
∵AB为小圆的切线，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC，
在Rt△OAC中，∵OA=13，OC=5，
∴AC= 132−52=12，
∴AB=2AC=24．
故选：D．
6.【答案】D
【解析】解：连接OA、OC，如图，
∵AB为小圆的切线，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC，
在Rt△OAC中，∵OA=13，OC=5，
∴AC=132−52=12，
∴AB=2AC=24.
故选：D.
连接OA、OC，如图，先根据切线的性质得到OC⊥AB，则根据垂径定理得到AC=BC，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．
7.【答案】B
【解析】解：连接OC，OE，交BC于点F，
∵MN是⊙O过点E的切线，
∴∠OEM=90°，
∵MN/​/BC，
∴∠OEM=∠OFC=90°，
∵OB=OC，∠ABC=22°，
∴∠ABC=∠OCB=22°，
∴∠COF=90°−∠OCB=68°，
∴∠CDE=12∠COF=34°，
故选：B．
连接OC，OE，交BC于点F，先利用切线的性质可得∠OEM=90°，再利用平行线的性质可得∠OEM=∠OFC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ABC=∠OCB=22°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠COF=68°，最后利用圆周角定理进行计算，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】略
9.【答案】D
【解析】略
10.【答案】C
【解析】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴BH=CH=12BC=4，
在Rt△ABH中，AH=AB2−BH2=52−42=3，
∵AB=5>3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC=5>3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH=3，AH⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切，所以C选项符合题意，D选项不符合题意．
故选：C.
过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH=CH=12BC=4，则利用勾股定理可计算出AH=3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．
本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔dr.也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．
11.【答案】C
【解析】解：如图，连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD=90∘．
∵四边形 OABC为菱形，
∴OA=AB．
∵OA=OB，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60∘，
∴∠ODB=30∘，
∴OD=2OB=2，
由勾股定理得，BD= OD2−OB2= 3．
故选 C．
12.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的性质，全等三角形的判定和性质以及四边形内角和定理．准确作出辅助线是解此题的关键．连接AC，OC，OB，BD，先证明∠BOD=∠COA，进一步求得∠AOB的度数，根据切线性质和四边形的内角和得出∠P=180°−∠AOB，代入即可解决问题．
【解答】
解：连接AC，OC，OB，BD，如图
∴AO=DO，OC=OB，
∵BC/​/AD，
∴∠BCD=∠CDA，
∴AC=BD，
∴△BOD≌△COA，
∴∠BOD=∠COA，
∵CD⌢的度数为126°，
∴∠COD=126°=∠COB+∠BOD，
∴∠AOB=∠COA+∠COB=126°，
∵ PA，PB分别切⊙ O于点A，B，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，
∴∠P=180°−∠AOB，
∴∠P=180°−126°=54°．
故选：A．
13.【答案】3cm或5cm
【解析】【分析】
本题这组要考查直线与圆的位置关系，掌握切线的性质以及分类讨论思想的运用是解题的关键．
根据题意画出图形，分点O在点H的左侧和点O在点H的右侧两种情况分别求出OP即可．
【解答】
解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，
∴⊙O与直线a相切时，切点为H，
∴OH=1cm，
当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：
OP=PH−OH=4−1=3(cm)；
当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：
OP=PH+OH=4+1=5(cm)；
∴⊙O与直线a相切时，OP的长为3cm或5cm，
故答案为：3cm或5cm．
14.【答案】2或 5
【解析】∵点A的坐标为(2,1)，
∴点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，
当⊙O与y轴相切时，与x轴有2个交点，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时r=2；
当⊙A经过原点时，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时r= 12+22= 5．
综上所述，r的值为2或 5．
15.【答案】62°或118°
【解析】【分析】
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，多边形的内角和，圆内接四边形，解答本题的关键是掌握利用切线的性质和圆周角定理求角的度数的思路与方法；首先由切线的性质求得∠PAO=∠PBO=90°，由四边形的内角和求得∠AOB=124°，然后根据点C的位置分两种情况：①点C在优弧ACB上，根据圆周角定理求出∠ACB的度数；②点C在劣弧AB上，根据圆周角定理，圆内接四边形的性质进行解答，求出此时∠ACB的度数；综合上述情况，即可求解．
【解答】
解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB=360°，∠APB=56°，
∴∠AOB=360°−∠PAO−∠PBO−∠APB=360°−90°−90°−56°=124°，
∵点C是⊙O上异于点A，B的一点，
∴点C的位置分两种情况：
①点C在优弧ACB上，如图：
根据圆周角定理可得，∠ACB=12∠AOB=12×124°=62°；
②点C在劣弧AB上，在优弧ACB上取点D，连接AD、BD，如图：
根据圆周角定理可得，∠ADB=12∠AOB=12×124°=62°；
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ACB=180°−∠ADB=180°−62°=118°；
综上所述，∠ACB的度数为62°或118°．
故答案为：62°或118°．
16.【答案】330
【解析】解：如图，设直线RS，ST，TR都与⊙O相切于点A、点B、点C，则RA=EC，TC=TB，
在Rt△STR中，∠SRT=60°，SR=1，
∴ST= 3SR= 3，RT=2SR=2，
连接OA、OB，则OA⊥SR，OB⊥ST，
∵∠RST=90°，OA=OB，
∴四边形OASB是正方形，
∴OA=OB=AS=BS，
设AR=a，则RC=a，
∴CT=RT−RC=2−a=TB，
∵SA=SB，即1+a= 3+(2−a)，
∴a= 3+12，
∴OA=1+a= 3+32，
∴直径为 3+3，
∵⊙O的直径为a+ b，即3+ 3=a+ b，
∴a=b=3，
∴100a+10b=330，
故答案为：330．
根据切线的性质，切线长定理以及正方形的性质进行计算即可．
本题考查切线的性质，正方形的性质，掌握切线长定理以及正方形的性质是正确解答的前提
17.【答案】证明：∵直线CD与⊙O相切，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∴∠DBE+∠ABE=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，
∴∠A=∠DBE．
【解析】由切线的性质得出∠ABD=90°，则∠DBE+∠ABE=90°，由圆周角定理得出∠AEB=90°，则可得出结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
18.【答案】证明：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵DC=BD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC．
(2)连接OD，
∵OA=OB，CD=BD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD/​/AC，
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
【解析】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理等知识点．
(1)根据线段垂直平分线的性质得AB=AC；
(2)要证DE为⊙O的切线，只要证明OD⊥DE，连接OD，利用三角形中位线定理证明OD/​/AC即可．
19.【答案】(1)图见解析
(2) BD=AC ， BD⊥AC ，理由见解析

【解析】【分析】(1)根据题设描述补全图形即可；
(2)证明 ▵AHC≌▵BHD 得到 AC=BD ， ∠ACH=∠BDH ，进而可证明 ∠AEB=90∘ 即可得出结论．
【详解】(1)解：补全图形如图所示：
(2)解： BD=AC ， BD⊥AC .理由：
∵ AH⊥BC 于点 H ， ∠ABC=45∘ ，
∴ ∠AHB=∠AHC=90∘ ， ∠BAH=90∘−∠ABC=45∘ ，
∴ ∠ABH=∠BAH ，
∴ AH=BH ，
∵ DH=CH ， ∠AHC=∠BHD=90∘
∴ ▵AHC≌▵BHD(SAS) ，
∴ AC=BD ， ∠ACH=∠BDH
∵ ∠BDH=∠ADE ，
∴ ∠ACH=∠ADE ，
∵ ∠ACH+∠DAE=90∘ ，
∴ ∠ADE+∠DAE=90∘
∴ ∠AEB=90∘ ，
∴ BD⊥AC ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、垂直定义，证明△ AHC≌▵BHD 是关键．
20.【答案】【小题1】
直线BE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE=90°．
∵AD // OE，∴∠ADO=∠DOE，∠DAO=∠EOB．
∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO，
∴∠DOE=∠EOB．
又OD=OB，OE=OE，∴△DOE≌△BOE(SAS)，
∴∠QBE=∠ODE=90°．
∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切．
【小题2】
设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中，OD2+DC2=OC2，
∴r2+42=(r+2)2，∴r=3，∴AB=2r=6，
∴BC=AC+AB=2+6=8．
由(1)得△DOE≌△BOE，∴DE=BE，
在Rt△BCE中，BC2+BE2=CE2，
∴82+BE2=(4+DE)2，
∴64+DE2=(4+DE)2，∴DE=6．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
21.【答案】(1)解：CE与⊙O相切，理由如下：
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CPD=90°，
∵∠PDC+∠PCD=90°，
∵∠ECP=∠PDC，
∴∠ECP+∠PCD=90°，
∴∠ECD=90°，
∴直径CD⊥CE，
∴CE为⊙O的切线．
(2)证明：在AP上截取AQ=PC，连接BQ，
∵点B为弧AC的中点，∠AOC=120°，
∴AB=BC，
∴∠AOB=∠BOC=60°，AB=BC，
∵∠BCP=∠BAP，
∴△BAQ≌△BCP(SAS)，
∴BQ=BP，
∵∠BPQ=12∠AOB=30°，
∴∠BQP=∠QPB=30°，
∴PQ= 3PB，
∵AP=AQ+PQ，AQ=PC，
∴PA= 3PB+PC．
【解析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
(1)由圆周角定理得到∠CPD=90°，因此∠PDC+∠PCD=90°，又∠ECP=∠PDC，得到∠ECP+∠PCD=90°，于是直径CD⊥CE，即可证明CE为⊙O的切线．
(2)在AP上截取AQ=PC，连接BQ，由圆心角、弧、弦的关系得到AB=BC，又∠BCP=∠BAP，即可证明△BAQ≌△BCP(SAS)，得到BQ=BP，由圆周角定理推出∠BQP=∠QPB=30°，于是得到PQ= 3PB，即可证明问题．
22.【答案】解：(1)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠OAD，
∵OAD=∠ODA，
∴∠BAD=∠ODA，
∴AB/​/OD，
∴∠B=∠OEC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠B=90°，
∴∠OEC=90°；
(2)连接DC，如图：

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
设半径为r，则OA=OD=OC=r，
OE=r−4，AB=2OE=2r−8，AC=2r，
在Rt△ADC中，DC2=AC2−AD2=CE2+DE2=OC2−OE2+DE2，
∴(2r)2−(2 35)2=r2−(r−4)2+42，
解得r=7或−5(舍去)，
∴AC=14，DC= 56，
∵AF是切线，
∴AF⊥AC，
∵DG//FA，
∴DG⊥AC，
∴S△ADC=12×AD×DC=12×AC×DG，
∴12×2 35× 56=12×14×DG，
解得DG=2 10．
【解析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
(1)根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；
(2)定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可．
23.【答案】解：(1)证明：如图，连接 OC
由题意知， ∠ACB=90∘ ， ∠AEC=∠AFC=90∘
在 Rt▵AEC 和 Rt▵AFC 值
∵ AC=ACCE=CF
∴ Rt▵AEC≌Rt▵AFCHL
∴ ∠EAC=∠FAC
∵ OA=OC
∴ ∠ACO=∠FAC
∵ ∠EAC+∠ECA=90∘
∴ ∠ECA+∠ACO=90∘
∴ OC⊥AE
又∵ OC 是半径
∴DE是 ⊙O 的切线．
(2)解：∵ ∠ACB=∠OCD=90∘
∴ ∠ACO+∠OCB=∠OCB+∠BCD
∴ ∠ACO=∠BCD
∵ ∠CAD=∠ACO
∴ ∠CAD=∠BCD
又∵ ∠BDC=∠CDA
∴ ▵BCD∽▵CAD
∴ BDCD=CDAD 即 3CD=CD6+3
解得 CD=3 3
∵ OD=6 ， cs∠CDO=CDOD=3 36= 32
∴ ∠CDO=30∘
∴ ∠COD=60∘
∵ OC//AE
∴ ∠EAF=60∘
∴ ∠FAC=∠EAC=12∠EAF=30∘
∵ cs∠CAB=ACAB=AFAC
∴ AC6=AFAC= 32
解得 AC=3 3 ， AF=92
∵ ∠ABC=60∘=∠BCD+∠D
∴ ∠BCD=30∘
∴ BC=BD=3
∴ AF 的长为 92 ， BC 的长为3．

【解析】略
24.【答案】(1)证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠OAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD/​/AE，
又∵AE⊥CD，
∴OD⊥CD，
∵OD是半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：设OD=x=OB，在Rt△COD中，由勾股定理得，OD2+CD2=OC2，
即x2+(3 3)2=(x+3)2，
解得x=3，即半径为3
即OD=3，OC=6，
∴∠C=30°，∠COD=60°，
∴∠EAD=∠DAC=12×60°=30°=∠C，
∴AD=CD=3 3，
∴DE=12AD=3 32．
【解析】本题考查切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质，平行线的性质以及角平分线的定义是解决问题的关键．
(1)根据等腰三角形的性质，角平分线的定义可得出OD/​/AE，再根据AE⊥CD，得出OD⊥CD，进而得出结论；
(2)利用勾股定理求出半径OD，进而得出∠C=30°，∠COD=60°，再得出∠EAD=∠DAC=12×60°=30°=∠C，进而得出AD=CD，即可求解．
25.【答案】(1)证明：连接OA，OB，OA与CD交与点F，如图，
∵AC2=AE⋅AB，
∴ACAE=ABAC，
∵∠A=∠A，
∴△ACE∽△ABC，
∴∠ACE=∠ABC，
∴AC=AD，
∴OA⊥CD．
∴∠AEF+∠OAB=90°．
∵PE=PB，
∴∠PEB=∠PBE，
∵∠PEB=∠AEF，
∴∠PBE+∠OAB=90°．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠PBE+∠OBA=90°，
∴∠PBO=90°．
∴OB⊥PB．
∵OB为⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线．
(2)解：延长BO交⊙O于点G，连接CG，BD，
∵BG是⊙O的直径，
∴∠BCG=90∘，
∴∠CBG+∠BGC=90∘．
∵∠PBC+∠CBG=∠PBO=90∘，
∴∠PBC=∠BGC．
∵BC=BC，
∴∠BGC=∠BDC．
∴∠PBC=∠BDP．
∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PDB．
∴PBPC=PDPB．
∴PB2=PC⋅PD．
∵E是PD的中点，PB=4，
∴PE=ED=PB=4，
∴PD=8．
∴42=8PC，
∴PC=2．
【解析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆的切线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
(1)连接OA，OB，OA与CD交与点F，利用相似三角形的判定与性质得到∠ACE=∠ABC，利用圆周角定理和垂径定理得到OA⊥CD，利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
(2)通过延长BO交⊙O于点G，连接CG、BD，可判断出△PBC∽△PDB，根据E是PD的中点，PE=PB=4，即可求出答案．