初中数学沪科版九年级下册第24章 圆24.7 弧长与扇形面积24.7.1 弧长与扇形面积优秀课时训练

这是一份初中数学沪科版九年级下册第24章 圆24.7 弧长与扇形面积24.7.1 弧长与扇形面积优秀课时训练，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是
( )
A. 2 2πB. 83πC. 4 5D. 6 2
2.圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是( )
A. 90°B. 100°C. 120°D. 150°
3.如图，在半径为1，圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，则图中阴影部分的面积为
( )
A. π4−12B. π8−14C. π4− 32D. π8− 34
4.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，分别以点B，C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积是( )
A. 16−2πB. 8−4πC. 8−2πD. 4−π
5.如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱(单位：mm).电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？(π的值取3.14)．( )
A. 282.6B. 282600000C. 357.96D. 357960000
6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.把△ABC分别绕直线AB、BC和AC旋转一周，所得几何体的表面积分别记作S1、S2、S3，则表面积最大的是
．( )
A. S1B. S2C. S3D. 无法确定
7.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是( )
A. 2π3B. 2 3−π3C. 2 3−2π3D. 4 3−2π3
8.如图，⊙O中，AB=AC，∠ACB=75°，BC=2，则阴影部分的面积是( )
A. 2+23π
B. 2+ 3+23π
C. 4+23π
D. 2+43π
9.如图，AB，AC和BC分别为⊙O内接正三角形，正四边形和正m边形的一边，已知⊙O的半径是1，以下说法：①m的值是十二；②∠ABC=45°；③∠BAC=20°；④BC的长为π6；其中正确的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.量角器圆心为O点，直径AB=12，一把宽为3的直尺的一边过O点且与量角器交于C、D两点，如图所示，则CD的长为( )
A. 2πB. 32πC. 12πD. π
11.如图所示，长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30∘角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为( )
A. 10cmB. 4πcmC. 72πcmD. 52πcm
12.如图，点O为△ABC的AB边上的一点，⊙O经过点B且恰好与边AC相切于点C，若∠B=30°，AC=3，则阴影部分的面积为( )
A. 32−π2
B. 3 32−π2
C. 3 32−π
D. 32−π
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=5cm，该圆锥的母线长l=12cm，则扇形的圆心角θ度数为_______．
14.如图，AB是圆锥底面的直径，AB=6cm，母线PB=9cm，点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为______ ．
15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=120°，AB=23，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______.(结果保留π)
16.如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，线段AD长为半径画弧，交AB边于F点；再以顶点C为圆心，线段CD长为半径画弧，交AB边于点E，若AD= 2，CD=2，则DE、DF和EF围成的阴影部分面积是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，OC//AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若AE=5，BE=3，求图中阴影部分的面积．
18.(本小题8分)

如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP=CB．
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由;
(2)若∠A=30∘，OP=1，求图中阴影部分的面积．

19.(本小题8分)
在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S(m2).
(1)如图1，若BC=4m，则S=______m2．
(2)如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，求边BC的长及S的最小值．
20.(本小题8分)
某种冰激凌的外包装可以视为圆锥(如图1)，制作这种外包装需要用如图2所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，扇形AEF围成圆锥的侧面，AE、AF恰好重合．已知圆锥底面圆的直径ED为8 cm．
(1)求圆锥母线的长；
(2)求加工材料剩余部分(图2中阴影部分)的面积．(结果保留π)
21.(本小题8分)
如图，已知AC是⊙O的直径，B为⊙O上一点，D为BC⌢的中点，过D作EF // BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
(Ⅰ)求证：EF为⊙O的切线；
(Ⅱ)若AB=2，∠BDC=2∠A，求BC⌢的长．
22.(本小题8分)
如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以AB为边作正方形ABCD(点D、P在直线AB两侧).若AB边绕点P旋转一周，求CD边扫过的面积．
23.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D.已知⊙O的半径为6，∠C=40°．
(1)求∠B的度数．
(2)求AD的长．(结果保留π)
24.(本小题8分)
如图，点A在⊙O的直径CD的延长线上，点B在⊙O上，连接AB、BC．
(1)给出下列信息：①AB=BC；②∠A=30°；③AB与⊙O相切．
请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明.你选择的条件是______ ，结论是______ (填写序号，只需写出你认为正确的一种情形)．
(2)在(1)的条件下，若AB=6，求图中阴影部分的面积．
25.(本小题8分)
如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
(1)求证：BC/​/AD；
(2)若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查轨迹、正方形的性质、旋转变换、圆的有关知识、弧长公式等知识，如图，连接AF，首先证明∠EPF=135°，推出点P在与K为圆心的圆上，点P的运动轨迹是EPF，在⊙K上取一点M，连接ME、MF、EK、FK，则∠M=180°−∠EPF=45°，推出∠EKF=2∠M=90°，因为EF=8，所以KE=KF=4 2，根据弧长公式计算即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接AF．
∵OABC是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFC=12∠AOC=45°，
∵EF是直径，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，
∴∠EPF=135°，
∴点P在以K为圆心的圆上，点P的运动轨迹是EPF，
在⊙K上取一点M，连接ME、MF、EK、FK，则∠M=180°−∠EPF=45°，
∴∠EKF=2∠M=90°，
∵EF=8，
∴KE2+KF2=EF2，
∴KE2=32，
∴KE=KF=4 2，
∴P运动的路径长=90π⋅4 2180=2 2π，
故选A.
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查的是圆锥的计算，熟练掌握圆锥与侧面展开图的扇形的关系是关键，先求出圆锥侧面展开图的弧长，再根据弧长公式计算圆心角即可．
【解答】
解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1=2π，
设侧面展开图的圆心角的度数是n度．
则nπ×3180=2π，
解得：n=120．
3.【答案】A
【解析】【分析】
【分析】
本题主要考查了扇形的面积计算公式、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
解答此题，设两个半圆相交于点O，C，连接OC，CB.由14×π×12=π×( 12 )2，可得扇形OAB的面积等于分别以OA、OB为直径作两个半圆的面积的和，由对称性可得：OC平分∠AOB，即可得出要求的阴影部分的面积．
【解答】
【解答】
解：设两个半圆相交于点O，C，连接OC，CB．
∵14×π×12=π×( 12 )2，
∴扇形OAB的面积等于分别以OA、OB为直径作两个半圆的面积的和，
由对称性可得：OC平分∠AOB，
∴要求的阴影部分的面积S=2×[ 12π×(12)2− 12×( 22 )2]=π−24 =π4−12．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积公式，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键，题目比较好，难度适中．阴影部分的面积等于△ABC的面积减去空白处的面积即可得出答案．
【解答】
解：∵在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=AC=4，
∴∠B=∠C=45∘，BC=4 2，
∵E为BC中点，
∴BE=CE=12BC=2 2，
∴阴影部分的面积S=S△ABC−S扇形BDE−S扇形CEF=12×4×4−45π×(2 2)2360×2=8−2π．
5.【答案】A
【解析】由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3 m，圆锥的高为0.4 m，
则圆锥的母线长为 0.32+0.42=0.5(m)．
∴圆锥的侧面积S1=π×0.3×0.5=0.15π(m2)，
∵圆柱的高为1 m，
∴圆柱的侧面积S2=2π×0.3×1=0.6π(m2)，
∴浮筒的表面积=2S1+S2=0.9π(m2).
∵每平方米用锌0.1 kg，
∴一个浮筒需用锌：0.9π×0.1 kg，
∴1000个这样的锚标浮筒需用锌：1000×0.9π×0.1=90π≈282.6(kg)．
故选A．
6.【答案】A
【解析】∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC= 32+42=5．
△ABC绕直线AB旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为BC=4，此圆锥的表面积为底面圆面积加圆锥侧面积，即S1=π×42+π×4×5=36π；
△ABC绕直线BC旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为AB=3，此圆锥的表面积为底面圆面积加圆锥侧面积，即S2=π×32+π×3×5=24π；
△ABC绕直线AC旋转一周，所得几何体为两个共底面的圆锥，底面半径为125，此几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和，即S3=π×125×3+π×125×4=84π5.∴S17.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，在底角为30°的等腰△BB′O′中，求得BB′=2 3，O′到BB′的距离为1，则图中阴影部分的面积=S△B′O′B−(S扇形O′OB−S△OO′B)，即可求解．
【解答】
解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，OO′=OA，
∴点O′在⊙O上，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
又BO′=O′B′=2，
在底角为30°的等腰△BB′O′中，BB′=2 3，O′到BB′的距离为1，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B−(S扇形O′OB−S△OO′B)
=12×1×2 3−(60⋅π×22360−12×2× 3)=2 3−2π3．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，
∴AB=AC，
∵∠ACB=75°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OA=OB=OC=BC=2，
作AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD=1，
根据勾股定理得OD= 3，
∴AD=2+ 3，
∴S△ABC=12BC⋅AD=2+ 3，S△BOC=12BC⋅OD= 3，
∴S阴影=S△ABC+S扇形BOC−S△BOC=2+ 3+60π×22360− 3=2+23π，
故选：A．
连接OB、OC，先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为60度，即可求出半径的长2，利用三角形和扇形的面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等，明确S阴影=S△ABC+S扇形BOC−S△BOC是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图，连接OA、OB、OC，
∵AC是⊙O内接正四边形的一边，
∴∠AOC=360°4=90°，
∴∠ABC=12∠AOC=45°，
因此②正确；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵AB是⊙O内接正三角形的一边，
∴∠AOB=360°3=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠BAC=45°−30°=15°，
因此③不正确；
∴∠BOC=120°−90°=30°，
∴m=360°÷30°=12，
即BC是⊙O内接正12边形的一边，
因此①正确；
∴BC的长为30π×1180=π6，
因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①②④，共3个，
故选：C．
根据正多边形和圆的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算公式逐项进行判断即可．
本题考查正多边形和圆，弧长的计算方法，掌握正多边形和圆的性质以及弧长公式是正确解答的前提．
10.【答案】D
【解析】如图，过点D作DE⊥OC，垂足为E，∵直尺的宽度为3，∴DE=3．∵直径AB=12，∴半径OC=OD=6，∴DE=12OD，∴∠COD=30∘，∴CD的长=30π×6180=π.故选D．
11.【答案】C
【解析】解：如图，连结AB，A1B.
由题意得∠ABA1=90∘，∠A1CA2=60∘．
∵长方形木板长为4cm，宽为3cm，
∴由勾股定理可得AB=A1B=5(cm)．
∴点A的路径长=90×π×5180+60×π×3180
=7π2(cm)．
本题考查的是弧长的计算.根据图形的特征可得第一次翻滚时走过的路径长为圆心角为90∘半径为AB长的弧长，第二次翻滚时走过的路径长为圆心角为60∘半径为A1C长的弧长，求其和即可得到答案．
12.【答案】B
【解析】解：连接OC，
∵⊙O与AC相切于C，
∴半径OC⊥AC，
∴∠OCA=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=30°，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=30°+30°=60°，
∵tan∠AOC=ACOC，AC=3，
∴OC=3tan60∘=3 3= 3，
∴△ACB的面积=12AC⋅OC=12×3× 3=3 32，扇形ODC的面积=60π×( 3)2360=12π，
∴阴影的面积=△ACB的面积−扇形ODC的面积=3 32−12π.
故选：B．
连接OC，由切线的性质得到∠OCA=90°，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质求出∠AOC=60°，由锐角的正切求出OC长，求出△ACB的面积，扇形ODC的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查切线的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是掌握切线的性质，扇形面积公式，
13.【答案】150°
【解析】【分析】根据扇形的弧长公式解题．
【详解】∵圆锥的底面周长即是侧面展开图扇形的弧长，
∴2πr=nπl180∘
∴2π×5=nπ×12180∘，解得n=6×25=150∘
故答案为：150°．
【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的圆心角，涉及扇形的弧长公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14.【答案】9 32cm
【解析】解：由题意知，底面圆的直径AB=6cm，
故底面周长等于6πcm，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得6π=nπ×9180，
解得n=120°，
所以展开图中∠APD=120°÷2=60°，
因为半径PA=PB，∠APB=60°，
故三角形PAB为等边三角形，
又∵D为PB的中点，
所以AD⊥PB，在直角三角形PAD中，PA=9cm，PD=92cm，
根据勾股定理求得AD=9 32(cm)，
所以蚂蚁爬行的最短距离为9 32cm．
故答案为：9 32cm．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题考查了平面展开−最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
15.【答案】3 3−π
【解析】【分析】
本题考查的是扇形面积计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO，OA=OC，AB=AD，∠DAB=60∘，可证△BEO，△DFO是等边三角形，由等边三角形的性质可求∠EOF=60∘，由扇形的面积公式与等边三角形的面积，运用面积的和差关系可求解．
【解答】
解：如图，设以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与AB，AD相交于E，F，连接EO，FO，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120∘，
∴AC⊥BD，BO=DO，OA=OC，AB=AD，∠DAB=60∘，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=2 3，∠ABD=∠ADB=60∘，
∴BO=DO= 3，
∵以点O为圆心，OB长为半径画弧，
∴BO=OE=OD=OF，
∴△BEO和△DFO是等边三角形，
∴∠DOF=∠BOE=60∘，
∴∠EOF=60∘，
∴阴影部分的面积=2×(S△ABD−S△DFO−S△BEO−S扇形OEF)
=2×(12×2 3×3−12× 3×32−12× 3×32−60×π×3360)
=3 3−π，
故答案为3 3−π．
16.【答案】2π+2−4 2
【解析】解：如图，连接EC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，CD=AB=EC=2 2，∠B=∠A=∠DCB=90°，
∴BE= EC2−CB2= (2 2)2−22=2，
∴BC=BE=2，
∴∠BEC=∠BCE=45°，
∴∠ECD=45°，
∴S阴=S矩形ABCD−(S矩形ABCD−S扇形ADF)−(S矩形ABCD−S扇形CDE−S△EBC)
=S扇形ADF+S扇形CDE+S△EBC−S矩形ABCD
=90π⋅22360+45π⋅(2 2)2360+12×2×2−2×2 2，
=2π+2−4 2．
故答案为：2π+2−4 2．
如图，连接EC.首先证明△BEC是等腰直角三角形，根据S阴=S矩形ABCD−(S矩形ABCD−S扇形ADF)−(S矩形ABCD−S扇形CDE−S△EBC)=S扇形ADF+S扇形CDE+S△EBC−S矩形ABCD计算即可．
本题考查扇形的面积公式，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求阴影部分面积．
17.【答案】解：(1)连接OA．
∵AD/​/OC，
∴∠AOC+∠OAD=180°，
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
(2)∵AO=CO且∠AOC=90°，
∴∠ACO=∠CAO=45°，
即∠B=∠ACE，
∵∠CAE=∠BAC，
∴△AEC∽△ACB，
∴AEAC=ACAB，
∴AC2=AE⋅AB=40，
∴AC=2 10，
在Rt△AOC中，
∵2OA2=AC2=40，
∴AO=CO=2 5，
S阴影=S扇形OAC−S△AOC=90π(2 5)2360−12×(2 5)2=5π−10．
【解析】(1)连接OA，根据平行线的性质得到∠AOC+∠OAD=180°，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，得到∠OAD=90°，由切线的判定即可得到结论；
(2)根据等腰三角形的性质和已知条件证得∠B=∠ACE，即可证得△AEC∽△ACB，根据相似三角形的性质求得AC，再根据勾股定理求得圆的半径，即可求得扇形OAC的面积，根据面积的和差即可求得阴影部分的面积．
本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理，扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】解：(1)CB与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
在Rt△AOP中，
∵∠A+∠APO=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
即：∠OBC=90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切；
(2)∵∠A=30°，∠AOP=90°，
∴∠APO=60°，
∴∠BPD=∠APO=60°，
∵PC=CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB=∠CBP=60°，
∴∠OBP=∠POB=30°，
∴OP=PB=PC=1，
∴BC=1，OC=2，
∴OB= OC2-BC2= 3，
∴图中阴影部分的面积=S△OBC−S扇形OBD=12×1× 3−30⋅π×( 3)2360= 32−π4．

【解析】本题主要考查的是勾股定理，切线的判定，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质等有关知识．
(1)根据等边对等角得∠CPB=∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC=90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切；
(2)根据三角形的内角和定理得到∠APO=60°，推出△PBD是等边三角形，得到∠PCB=∠CBP=60°，求得BC=1，OC=2，根据勾股定理得到OB，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
19.【答案】88π
【解析】解：(1)如图1，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示：
由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的34圆，以C为圆心、6为半径的14圆和以A为圆心、4为半径的14圆的面积和，
∴S=34×π⋅102+14⋅π⋅62+14⋅π⋅42=88π，
故答案为：88π；
(2)如图2，
设BC=x，则AB=10−x，
∴S=34⋅π⋅102+14⋅π⋅x2+30360⋅π⋅(10−x)2
=π3(x2−5x+250)
=π3(x−52)2+325π4，
当x=52时，S取得最小值，S的最小值为325π4，
∴BC=52．
(1)小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的34圆，以C为圆心、6为半径的14圆和以A为圆心、4为半径的14圆的面积和，据此列式求解可得；
(2)此时小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的34圆，以A为圆心、x为半径的14圆、以C为圆心、10−x为半径的30360圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积．
20.【答案】解：(1)设圆锥母线长lcm，
根据题意得8π=90π·l180，
∴l=16，
答：圆锥母线的长为16cm；
(2)∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
又∵∠BAC=90∘，
∴BC=2AD=32cm，
∴S阴影=S△ABC−S扇形EAF=12×16×32−90π⋅162360=(256−64π)cm2．
答：加工材料剩余部分的面积为(256−64π)cm2．
【解析】本题考查的是弧长的计算，圆锥的计算，三角形的面积，扇形的面积有关知识．
(1)利用弧长的公式计算；
(2)先计算△ABC和扇形EAF的面积，然后再利用S阴影=S△ABC−S扇形EAF计算．
21.【答案】解：(Ⅰ)证明：连接OD，OB．
∵D为BC的中点，
∴∠BOD=∠COD．
∵OB=OC，
∴OD⊥BC，
∴∠OGC=90°．
∵EF/​/BC，
∴∠ODF=∠OGC=90°，
即OD⊥EF，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
(Ⅱ)∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BDC=180°，
又∵∠BDC=2∠A，
∴∠A+2∠A=180°，
∴∠A=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB 等边三角形，
∵OB=AB=2，
又∵∠BOC=2∠A=120°，
∴BC=120×π×2180=43π．
【解析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识点的综合运用，正确得出△OAB 等边三角形是解题关键．
(Ⅰ)连接OD，OB，只要证明OD⊥EF即可．
(Ⅱ)根据已知结合圆内接四边形的性质得出∠A=60°，即可得出△OAB 等边三角形，再利用弧长公式计算得出答案．
22.【答案】连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长PE交CD于点F，如图所示．
∵AB是⊙P上一弦，且PE⊥AB，
∴AE=BE=12AB=3．
在Rt△AEP中，AE=3，PA=5，
∴PE= PA2−AE2=4．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB // CD，AB=BC=6．
又PE⊥AB，∴PF⊥CD，
∴EF=BC=6，DF=AE=3，PF=PE+EF=4+6=10．
在Rt△PFD中，PF=10，DF=3，
∴PD= PF2+DF2= 109．
若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环，
∴S=πPD2−πPF2=109π−100π=9π．

【解析】见答案
23.【答案】解：(1)∵AC切⊙O于点A，
∠BAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠B=50°；
(2)连接OD，
∵∠B=50°，
∴∠AOD=2∠B=100°，
∴AD的长为100π×6180=103π.
【解析】(1)根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；
(2)根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点能熟练地运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
24.【答案】①② ③
【解析】解：(1)若AB=BC，∠A=30°，则AB与⊙O相切．
理由如下：连接OB，如图，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A=30°，
∵∠AOB=2∠C=60°，
∴∠OBA=180°−∠A−∠AOBC=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
故答案为：①②，③(答案不唯一)；
(2)过O点作OH⊥BC于H点，如图，则BH=CH=12BC=12AB=3，
在Rt△AOB中，∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，OB= 33AB= 33×6=2 3，
在Rt△OCH中，∵∠C=30°，
∴OH=12OC= 3，
∴图中阴影部分的面积=S扇形BOD+S△BOC
=60×π×(2 3)2360+12×6× 3
=2π+3 3．
(1)选取①②为条件，③作为结论，连接OB，如图，先利用等腰三角形的性质得到∠C=∠A=30°，再根据圆周角定理得到∠AOB=60°，则可计算出∠OBA=90°，然后根据切线的判定定理可判断AB与⊙O相切；
(2)过O点作OH⊥BC于H点，如图，则BH=CH=3，再利用含30角的直角三角形三边的关系计算出OB=2 3，OH= 3，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S扇形BOD+S△BOC进行计算即可．
本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、扇形的面积公式和含30度角的直角三角形三边的关系．
25.【答案】(1)证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD=∠CBE=60°，
∴AB=DB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠CBE=∠DAB，
∴BC/​/AD．
(2)解：由题意，BA=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，
∴A，C两点旋转所经过的路径长之和=60⋅π⋅4180+60⋅π⋅1180=5π3．
【解析】(1)只要证明∠CBE=∠DAB=60°即可，
(2)由题意，BA=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，利用弧长公式计算即可．
本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．