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(辅导班专用)2023-2024年高一数学寒假讲义阶段性检测卷一(2份打包,教师版+原卷版,A3版)
展开下列等式:①0﹣a=﹣a;②﹣(﹣a)=a;③a+(﹣a)=0;④a+0=a;⑤a﹣b=a+(﹣b);⑥a+(﹣a)=0.正确的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案解析】答案为:C;
解析:①、②、④、⑤、⑥正确,③不正确,故选C.
下列各式中不能化简为eq \(PQ,\s\up6(→))的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))+(eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(BQ,\s\up6(→))) B.(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(PC,\s\up6(→)))+(eq \(BA,\s\up6(→))-eq \(QC,\s\up6(→)))
C.eq \(QC,\s\up6(→))-eq \(QP,\s\up6(→))+eq \(CQ,\s\up6(→)) D.eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(BQ,\s\up6(→))
【答案解析】答案为:D;
解析:A中eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BQ,\s\up6(→))+eq \(PA,\s\up6(→))=eq \(AQ,\s\up6(→))+eq \(PA,\s\up6(→))=eq \(PQ,\s\up6(→)),B中eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(PC,\s\up6(→))+eq \(BA,\s\up6(→))-eq \(QC,\s\up6(→))=eq \(PC,\s\up6(→))-eq \(QC,\s\up6(→))=eq \(PQ,\s\up6(→)),
C中eq \(QC,\s\up6(→))-eq \(QP,\s\up6(→))+eq \(CQ,\s\up6(→))=eq \(PQ,\s\up6(→)),故选D.
在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则=( ).
A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c
【答案解析】答案为:A;
解析:=++=a-b+c.
在边长为1的正三角形ABC中,|-|的值为( ).
A.1 B.2 C. D.
【答案解析】答案为:D;
在四边形ABCD中,eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)),则( )
A.ABCD一定为矩形 B.ABCD一定为菱形
C.ABCD一定为正方形 D.ABCD一定为平行四边形
【答案解析】答案为:D;
已知向量a=(1,﹣1),则下列向量中与向量a平行且同向的是( )
A.b=(2,﹣2) B.b=(﹣2,2) C.b=(﹣1,2) D.b=(2,﹣1)
【答案解析】答案为:a.
解析:(2,﹣2)=2(1,﹣1),b=2a,故选A.
已知a=(1,2),b=(﹣1,1),c=2a﹣b,则| c |=( )
A.eq \r(26) B.3eq \r(2) C.eq \r(10) D.eq \r(6)
【答案解析】答案为:B.
解析:∵a=(1,2),b=(﹣1,1),∴c=2a﹣b=(3,3),∴| c|=eq \r(9+9)=3eq \r(2),故选B.
已知向量a=(1,2),a﹣b=(4,5),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x=( )
A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.﹣4
【答案解析】答案为:C.
解析:∵a=(1,2),a﹣b=(4,5),∴b=a﹣(a﹣b)=(1,2)﹣(4,5)=(﹣3,﹣3),
∴2a+b=2(1,2)+(﹣3,﹣3)=(﹣1,1).又∵c=(x,3),(2a+b)∥c,
∴﹣1×3﹣x=0,∴x=﹣3.故选C.
已知向量a=(λ,2),b=(﹣1,2),若a⊥b,则|a+b|等于( )
A.5 B.6 C.eq \r(41) D.4eq \r(3)
【答案解析】答案为:A
解析:∵a=(λ,2),b=(﹣1,2),a⊥b,∴a·b=0,即﹣λ+4=0,∴λ=4,
∴a+b=(3,4),|a+b|=eq \r(32+42)=5.
若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角为135°,则m·n等于( )
A.12 B.12eq \r(2) C.﹣12eq \r(2) D.﹣12
【答案解析】答案为:C
解析:由题意知m·n=|m||n|cs 135°=4×6×(﹣eq \f(\r(2),2))=﹣12eq \r(2).
已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|=1,若a·b=eq \f(1,2),则(a+b)·(2b-c)最小值为( )
A.-2 B.3-eq \r(3) C.-1 D.0
【答案解析】答案为:B;
解析:由|a|=|b|=1,a·b=eq \f(1,2),
可得〈a,b〉=eq \f(π,3).令eq \(OA,\s\up15(→))=a,eq \(OB,\s\up15(→))=b,
以eq \(OA,\s\up15(→))的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系,
则a=eq \(OA,\s\up15(→))=(1,0),b=eq \(OB,\s\up15(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(\r(3),2))),设c=eq \(OC,\s\up15(→))=(csθ,sinθ)(0≤θ<2π),
则(a+b)·(2b-c)=2a·b-a·c+2b2-b·c=3-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csθ+\f(1,2)csθ+\f(\r(3),2)sinθ))=3-eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,3))),
则(a+b)·(2b-c)的最小值为3-eq \r(3),故选B.
如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若eq \(AB,\s\up6(→))=meq \(AM,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))=neq \(AN,\s\up6(→)),则m+n等于( )
A.1 B.eq \f(3,2) C.2 D.3
【答案解析】答案为:C
解析:由题意得eq \(AO,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))=eq \f(1,2)meq \(AM,\s\up6(→))+eq \f(1,2)neq \(AN,\s\up6(→)),又O,M,N三点共线,所以eq \f(1,2)m+eq \f(1,2)n=1.即m+n=2.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
向量eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(DF,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(FA,\s\up6(→))=_______.
【答案解析】答案为:0;
已知向量a=(1,2),b=(3,4),则a+b=________.
【答案解析】答案为:(4,6).
解析:a+b=(1,2)+(3,4)=(4,6).
若向量a=(1,2),b=(﹣3,4),则a·b的值等于______;a与b夹角的余弦值等于_______.
【答案解析】答案为:5,eq \f(\r(5),5).
解析:因为a=(1,2),b=(﹣3,4),所以a·b=﹣3×1+2×4=5,
|a|=eq \r(12+22)=eq \r(5),|b|=eq \r(-32+42)=5,所以cs〈a,b〉=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(5,5×\r(5))=eq \f(\r(5),5).
已知m,n均为正数,a=(1,m),b=(2,1﹣n),且a∥b,则eq \f(1,m)+eq \f(m,n)的最小值为________.
【答案解析】答案为:4
解析:因为a=(1,m),b=(2,1﹣n),且a∥b,所以2m=1﹣n,即2m+n=1,因为m,n均为正数,所以eq \f(1,m)+eq \f(m,n)=eq \f(2m+n,m)+eq \f(m,n)=2+eq \f(n,m)+eq \f(m,n)≥2+2eq \r(\f(n,m)·\f(m,n))=4,当且仅当m=n=eq \f(1,3)时取得最小值.
三、解答题(本大题共7小题,共70分)
化简下列各式:
(1)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))-eq \(CD,\s\up6(→)); (2)eq \(OA,\s\up6(→))-eq \(OD,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)); (3)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(DC,\s\up6(→)).
【答案解析】解:(1)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))-eq \(CD,\s\up6(→))=(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→)))+(eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→)))=eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(DA,\s\up6(→))=0.
(2)eq \(OA,\s\up6(→))-eq \(OD,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+(eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(DO,\s\up6(→)))=eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(AO,\s\up6(→))=0.
(3)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(DC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))-(eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→)))=eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(CB,\s\up6(→)).
如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,eq \(AE,\s\up15(→))=eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up15(→)),eq \(AB,\s\up15(→))=a,eq \(AC,\s\up15(→))=b.
(1)用a,b表示向量eq \(AD,\s\up15(→)),eq \(AE,\s\up15(→)),eq \(AF,\s\up15(→)),eq \(BE,\s\up15(→)),eq \(BF,\s\up15(→));(2)求证:B,E,F三点共线.
【答案解析】解:(1)延长AD到G,使eq \(AD,\s\up15(→))=eq \f(1,2)eq \(AG,\s\up15(→)),
连接BG,CG,得到▱ABGC,如图,
所以eq \(AG,\s\up15(→))=eq \(AB,\s\up15(→))+eq \(AC,\s\up15(→))=a+b,eq \(AD,\s\up15(→))=eq \f(1,2)eq \(AG,\s\up15(→))=eq \f(1,2)(a+b),eq \(AE,\s\up15(→))=eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up15(→))=eq \f(1,3)(a+b),eq \(AF,\s\up15(→))=eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up15(→))=eq \f(1,2)b,
eq \(BE,\s\up15(→))=eq \(AE,\s\up15(→))-eq \(AB,\s\up15(→))=eq \f(1,3)(a+b)-a=eq \f(1,3)(b-2a),eq \(BF,\s\up15(→))=eq \(AF,\s\up15(→))-eq \(AB,\s\up15(→))=eq \f(1,2)b-a=eq \f(1,2)(b-2a).
(2)证明:由(1)可知eq \(BE,\s\up15(→))=eq \f(2,3)eq \(BF,\s\up15(→)),
又因为eq \(BE,\s\up15(→)),eq \(BF,\s\up15(→))有公共点B,所以B,E,F三点共线.
平面内给定三个向量a=(3,2),b=(﹣1,2),c=(4,1).
(1)若(a+kc)∥(2b﹣a),求实数k;
(2)若d满足(d﹣c)∥(a+b),且|d﹣c|=eq \r(5),求d的坐标.
【答案解析】解:(1)a+k c=(3+4k,2+k),2b﹣a=(﹣5,2),
由题意得2×(3+4k)﹣(﹣5)×(2+k)=0,解得k=﹣eq \f(16,13).
(2)设d=(x,y),则d﹣c=(x﹣4,y﹣1),
又a+b=(2,4),| d﹣c|=eq \r(5),
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x-4-2y-1=0,,x-42+y-12=5,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=3,,y=-1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=5,,y=3.))
∴d的坐标为(3,﹣1)或(5,3).
已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线;
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))=2a+3b,eq \(BC,\s\up6(→))=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
【答案解析】解:(1)∵a=(1,0),b=(2,1),
∴ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),
a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),
∵ka-b与a+2b共线,
∴2(k-2)-(-1)×5=0,∴k=-eq \f(1,2).
(2)eq \(AB,\s\up6(→))=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
eq \(BC,\s\up6(→))=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).
∵A,B,C三点共线,∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→)),
∴8m-3(2m+1)=0,∴m=eq \f(3,2).
已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|和|a-b|.
【答案解析】解:(1)由(2a-3b)·(2a+b)=4|a|2-4a·b-3|b|2=61及|a|=4,|b|=3得a·b=-6,
∴cs θ=.又θ∈[0,π],∴θ=.
(2)|a+b|=.同理,|a-b|=.
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cs(A-B),sin(A-B)),
n=(csB,-sinB),且m·n=-eq \f(3,5).
(1)求sinA的值;
(2)若a=4eq \r(2),b=5,求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影.
【答案解析】解:(1)由m·n=-eq \f(3,5),
得cs(A-B)csB-sin(A-B)sinB=-eq \f(3,5),
所以csA=-eq \f(3,5).因为0(2)由正弦定理,得eq \f(a,sinA)=eq \f(b,sinB),则sinB=eq \f(bsinA,a)=eq \f(5×\f(4,5),4\r(2))=eq \f(\r(2),2),
因为a>b,所以A>B,且B是△ABC一内角,则B=eq \f(π,4).
由余弦定理得(4eq \r(2))2=52+c2-2×5c×(-eq \f(3,5)),解得c=1,c=-7(舍去),
故向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影为|eq \(BA,\s\up6(→))|csB=ccsB=1×eq \f(\r(2),2)=eq \f(\r(2),2).
给定两个长度为1的平面向量eq \(OA,\s\up15(→))和eq \(OB,\s\up15(→)),它们的夹角为eq \f(2π,3).如图所示,点C在以O为圆心的圆
弧eq \(AB,\s\up15(→))上运动.若eq \(OC,\s\up15(→))=xeq \(OA,\s\up15(→))+yeq \(OB,\s\up15(→)),其中x,y∈R,求x+y的最大值.
【答案解析】解:以O为坐标原点,eq \(OA,\s\up15(→))所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则点A的坐标为(1,0),点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),\f(\r(3),2))),
设∠AOC=αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(2π,3))))),则点C的坐标为(cs α,sin α),
由eq \(OC,\s\up15(→))=xeq \(OA,\s\up15(→))+yeq \(OB,\s\up15(→)),得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α=x-\f(1,2)y,,sin α=\f(\r(3),2)y,))
所以x=cs α+eq \f(\r(3),3)sin α,y=eq \f(2 \r(3),3)sin α,
所以x+y=cs α+eq \r(3)sin α=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,6))),
又α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(2π,3))),则α+eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(5π,6))).
所以当α+eq \f(π,6)=eq \f(π,2),即α=eq \f(π,3)时,x+y取得最大值2.
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