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(辅导班专用)2023-2024年高一数学寒假讲义第10讲正弦定理（2份打包，原卷版+教师版）

2023-12-03 13:18
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知识精讲
知识点01 正弦定理
【即学即练1】在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,7) D.eq \f(5,7)
知识点02 三角形中边与角之间的关系
1．利用余弦定理和正弦定理进行边角转化
(1)cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)；cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).
(2)2Rsin A＝a，2Rsin B＝b，2Rsin C＝c，(其中R为△ABC外接圆的半径)
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a2>b2＋c2，则cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)<0，△ABC为钝角三角形；
(2)若a2＝b2＋c2，则cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝0，△ABC为直角三角形；
(3)若a2则cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)>0，cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)>0，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)>0，△ABC为锐角三角形．
【即学即练2】如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定的
能力拓展
考法01 已知两角及任意一边解三角形
【典例1】在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
反思感悟
(1)正弦定理实际上是三个等式：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，每个等式涉及四个元素，
所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．
【变式训练】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值．
考法02 已知两边及其中一边的对角解三角形
【典例2】在△ABC中，已知c＝eq \r(6)，A＝45°，a＝2，解三角形．
反思感悟已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤
(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．
(2)用三角形内角和定理求出第三个角．
(3)根据正弦定理求出第三条边．
【变式训练】在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cs C等于( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(6),2)
考法03 已知两边及一边对角判断三角形解的个数
【典例3】不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝9，b＝10，A＝60°； (3)b＝72，c＝50，C＝135°.
反思感悟
(1)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；
②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
(2)通过正弦定理和三角形中大边对大角的原理，判断三角形的解的个数，提升了逻辑推理和直观想象素养．
考法03 利用正弦、余弦定理解三角形
【典例4】在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°，解三角形．
反思感悟若已知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另一边的对角，但要注意此三角形解的个数的判断；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数．
分层提分
题组A 基础过关练
1．在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则角 SKIPIF 1 < 0 为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
6．在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为（）
A．一个解B．二个解C．无解D．无法确定
7．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 有一个解，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________.
8．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的面积等于______．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期和单调增区间；
(2)在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值．
11．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长．
12．在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
题组B 能力提升练
1．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，AD平分 SKIPIF 1 < 0 交BC于点D，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2． SKIPIF 1 < 0 三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．在锐角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 延长线上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 外接圆的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为（）
A．20B． SKIPIF 1 < 0 C．27D． SKIPIF 1 < 0
6．秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为内角 SKIPIF 1 < 0 所对应的边，其公式为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则利用“三斜求积术”求 SKIPIF 1 < 0 的面积为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角A的大小；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 边.
8．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 内切圆的面积.
9． SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
10．记 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长.
题组C 培优拔尖练
1．设 SKIPIF 1 < 0 的面积为S， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为______．
2．已知 SKIPIF 1 < 0 的外接圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
3．锐角三角形 SKIPIF 1 < 0 的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为___________.
4．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积最大值为__________
5．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积最大值为__________，此时 SKIPIF 1 < 0 __________.
6． SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
7．已知 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，其面积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
(1)求角A的大小；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的平分线交边 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长.
8．在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ，点D是边BC上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
9．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边上．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；
(2)设四边形 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
10．在 SKIPIF 1 < 0 ，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0
(1)求角B；
(2)已知点D在AC边上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积..
课程标准
课标解读
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.
2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题．
3.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
4.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
5.掌握正弦、余弦定理的简单应用．
利用余弦定理加上本节课学习的正弦定理就可以正式进行解三角形的问题的训练与提升，提高学生数学核心素养，提升数学学习能力。
条件
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
A为钝角
A为直角
A为锐角
a>b
一解
一解
一解
a＝b
无解
无解
一解
a无解
无解
a>bsin A
两解
a＝bsin A
一解
a无解