2023-2024学年浙江省嘉兴市八校联盟高一上学期期中联考数学试题（含解析）

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这是一份2023-2024学年浙江省嘉兴市八校联盟高一上学期期中联考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x-1A. 0,2B. 2,6C. 4,6D. 2,4
2.设命题p：∃n∈N，n2>2n-1，则命题p的否定为
( )
A. ∀n∈N，n2>2n-1B. ∀n∈N，n2≤2n-1
C. ∃n∈N，n2≤2n-1D. ∃n∈N，n2=2n-1
3.“x>1”是“x>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上，则n-m=( )
A. 19B. 18C. 8D. 9
5.设a=30.7,b=13-0.8,c=lg0.70.8，则a,b,c的大小关系为
( )
A. a6.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是
( )
A. (-2,-1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (1,2)
7.设x∈R，定义符号函数sgnx=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,则函数f(x)=|x|sgnx的图象大致是
( )
A. B.
C. D.
8.已知fx是定义在R上的偶函数，且函数fx+1的图像关于原点对称，若f0=1，则f-1+f2的值为
( )
A. 0B. -1C. 1D. 2
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下面各组函数中是同一函数的是( )
A. fx= x2与gx= x2B. fx=1与gx=x0
C. fx=x,x≥0-x,x<0与gx= x2D. fx=x与gx=3x3
10.下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞上为增函数的是
( )
A. y=2-xB. y=x2+2C. y=-1xD. y=x+1
11.若集合M={x|x2+6x-16=0}，N={x|ax-3=0}，且N⊆M，则实数a的值为( )
A. -38B. 0C. 32D. 12
12.已知实数x1,x2为函数f(x)=(13)x-lg2(x-2)的两个零点，则下列结论正确的是
( )
A. (x1-3)(x2-3)<0B. 0<(x1-2)(x2-2)<1
C. (x1-2)(x2-2)=1D. (x1-2)(x2-2)>1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.设f(x)=x+2,x≥01,x<0，则f(f(-1))=__________．
14.计算：12lg4+lg5-π+10=______．
15.已知函数y=fx为奇函数，且当x>0时fx=x2-2x+3，则当x<0时，fx=________．
16.设函数fx=-ax+1,x四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
设全集U=R，集合A=x-4(1)当a=1时，求A∪B，A∩∁UB；
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数fx=ax+b(a>0，且a≠1).
(1)若函数fx的图象过点0,2，求b的值；
(2)若函数fx在区间2,3上的最大值比最小值大a22，求a的值．
19.(本小题12分)
已知函数fx=x+1x+ax2为偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断fx在-∞,0的单调性，并用函数单调性的定义证明．
20.(本小题12分)
已知函数fx=lga1-mxx+1a>0,a≠1,m≠-1，是定义在-1,1上的奇函数．
(1)求f0和实数m的值；
(2)若fx在-1,1上是增函数且满足fb-2+f2b-2>0，求实数b的取值范围．
21.(本小题12分)
秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与药熏时间t(小时)成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)的函数关系式为y=116t-a(a为常数，t>12).已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)关于时间t(小时)的变化曲线如图所示．

(1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于14毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．
22.(本小题12分)
已知函数g(x)=ax2-2ax+b(b>0)，在x∈[1,2]时最大值为1和最小值为0.设f(x)=g(x)x．
(1)求实数a，b的值；
(2)若不等式g(2x)-k4x+1⩾0在x∈[-1,1]上恒成立，求实数k的取值范围；
(3)若关于x的方程f(|lg2x|)+2m|lg2x|-3m-1=0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】集合的交集运算，因为集合 B=0,2,4,6 是有限集，则 A∩B 也是有限集．
解：因为 A=x-1故选：A
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了存在量词命题的否定，属于基础题．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即可作答．
【解答】
解：存在量词命题的否定为全称量词命题，先将“∃”改为“∀”，再否定结论．
故选B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了充分、必要条件的判断，属于基础题．
“x>1”⇒“x>0”，反之不成立．即可判断出结论．
【解答】
解：“x>1”⇒“x>0”，反之不成立．
因此“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．
故选A．
4.【答案】A
【解析】【分析】
先利用幂函数的定义求出m=2，再根据点(2,8)在幂函数f(x)=xn上，求出n的值，即可求出答案．
本题主要考查了幂函数的定义，考查了运算能力，属于基础题．
【解答】
解：由幂函数的定义可知，m-1=1，∴m=2，
∴点(2,8)在幂函数f(x)=xn上，
∴2n=8，∴n=3，
∴n-m=3-2=19，
故选：A．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数、对数函数的性质比较大小，属于基础题．
利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a,b,c的大小关系．
【解答】
解：∵a=30.7>30=1，
b=13-0.8=30.8>30.7=a，
c=lg0.70.8<，
∴c故选D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题．
首先判断函数和的单调性，再根据零点存在性定理求解即可．
【解答】
解：因为f(x)=ex+x-2在-∞,+∞上为增函数，且是连续的，
f(0)=-1<0，f(1)=e-1>0，
所以零点在区间(0,1)上，
故选C．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的图象识别，以及函数的新定义问题，属中档题．
根据新定义求f(x)的解析式，得f(x)=x，即可判断图象．
【解答】
解：符号函数sgnx=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,,
则f(x)=|x|sgnx=x,x>0,0,x=0,x,x<0,
即f(x)=x，
故选C．
8.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得 f-x=fx ，再由其对称性可得 -fx=f2-x ，分别求得 f-1,f2 ，即可得到结果．
解：因为 fx 是定义在 R 上的偶函数，所以 f-x=fx ，
又因为函数 fx+1 的图像关于原点对称，
所以函数 fx 的图像关于 1,0 对称，
即 -fx=f2-x ，
令 x=1 ，则 -f1=f1 ，即 f-1=f1=0 ，
令 x=2 ，则 f2=-f0=-1 ，
所以 f-1+f2=0-1=-1 ．
故选：B
9.【答案】CD
【解析】【分析】根据同一函数的定义一一分析即可．
解：对于A，fx= x2的定义域为R，而gx= x2的定义域为0,+∞，故 A错误；
对于B，fx=1的定义域为R，而gx=x0的定义域为xx≠0，故 B错误；
对于C，两函数定义域相同，且fx=gx=x，故 C正确；
对于D，两函数定义域相同，且fx=gx=x，故 D正确．
故选：CD
10.【答案】BD
【解析】【分析】根据函数为偶函数可排除A，C选项，再判断选项B，D中函数的单调性从而得出答案．
解：函数 y=2-x 不是偶函数，函数 y=-1x 是奇函数，不是偶函数，故可排除A，C选项．
函数 y=x2+2 ， y=x+1 均为偶函数．
又二次函数 y=x2+2 在 0,+∞ 上为增函数．
y=x+1 ，当 x>0 时，函数可化为 y=x+1 ，在 0,+∞ 上为增函数．
故选项B，D满足条件．
故选：BD
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查含参数的集合关系问题，属于基础题．
先化简集合M，然后再根据N⊆M，分情况求解a的值．
【解答】
解：集合M={x|x2+6x-16=0}，∴集合M={-8,2}，
∵N⊆M，N={x|ax-3=0}，
∴N=⌀时，可得a=0，满足N⊆M；
当N={2}时，∵N={x|ax-3=0}，∴x=3a=2，∴a=32；
当N={-8}时，∵N={x|ax-3=0}，∴x=3a=-8，∴a=-38；
故实数a的值为-38或0或32．
故选ABC．
12.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点与方程根的关系，此类问题一般会把方程的根转化为两个函数图象交点的横坐标来处理，属于中档题，将问题转化为实数x1，x2为y=(13)x与y=|lg2(x-2)|图象交点的横坐标，然后作出两个函数的图象，利用(13)x1=-lg2(x1-2)(13)x2=lg2(x2-2)，结合对数与指数的互化，得到(x1-2)(x2-2)=2(13)x2-(13)x1，结合x1，x2的取值范围进行分析，即可得到答案．
【解答】
解：实数x1，x2为函数f(x)=(13)x-|lg2(x-2)|的两个零点，
故实数x1，x2为y=(13)x与y=|lg2(x-2)|图象交点的横坐标，
作出函数y=(13)x与y=|lg2(x-2)|的图象，
设x1所以x1-2=2-(13)x1，x2-2=2(13)x2，
故(x1-2)(x2-2)=2(13)x2-(13)x1，
又因为(13)x2-(13)x1<0，所以0<2(13)x2-(13)x1<1，
所以0<(x1-2)(x2-2)<1，
又因为x1<3，x2>3，
所以(x1-3)(x2-3)<0，
故选项A，B正确．
故选AB．
13.【答案】3
【解析】【分析】根据函数解析式，直接代入求解即可．
解：因为 f(x)=x+2,x≥01,x<0 ，
所以 f-1=1 ，则 f(f(-1))=f1=1+2=3 ．
故答案为： 3 ．
14.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查对数运算，属于基础题．
根据题意，由对数的运算，代入计算，即可得到结果．
【解答】
解：原式 =lg2+lg5-1=1-1=0．
故答案为0．
15.【答案】-x2-2x-3
【解析】【分析】根据奇函数的性质进行求解即可．
解：因为函数 y=fx 为奇函数，
所以当 x<0 时， fx=-f-x=-x2+2x+3=-x2-2x-3 ，
故答案为： -x2-2x-3
16.【答案】1
【解析】【分析】本题考查根据函数的存在最值求解参数范围的问题，解题关键是能够通过对参数 a 的范围的讨论，确定分段函数的单调性，进而根据分段处函数值的大小关系确定不等式组求得结果．
当 a<0 时，由一次函数单调性可知 fx 无最小值，不合题意；当 a=0 时，结合二次函数性质可知 fxmin=f2=0 ，满足题意；当 0解：当 a<0 时， fx 在 -∞,a 上单调递增，此时 fx 无最小值，不合题意；
当 a=0 时， fx=1,x<0x-22,x≥0 ，
当 x≥0 时， fxmin=f2=0 ，又 x<0 时， fx=1 ，
∴fx 存在最小值 0 ，满足题意；
当 0若 fx 存在最小值，则 -a2+1≥f2=0 ，解得： -1≤a≤1 ， ∴0当 a≥2 时， fx 在 -∞,a 上单调递减，在 a,+∞ 上单调递增，
若 fx 存在最小值，则 -a2+1≥fa=a-22 ，不等式无解；
综上所述：实数 a 的取值范围为 0,1 ，则 a 的最大值为 1 ．
故答案为： 1 ．
17.【答案】解：(1)由题意可知当 a=1 时，集合 A=x-4则 A∪B=x-43 ，
则 A∩∁UB=x-4(2)因为“ x∈B ”是“ x∈A ”的充分不必要条件，
则 B 是A的真子集，即 a-1>-4a+2<1 ，则 -3则实数 a 的取值范围为 -3,-1 ．

【解析】【分析】(1)利用交集、并集、补集的概念运算即可；
(2)根据充分不必要条件的概念及集合间的基本关系计算即可．
18.【答案】解：(1)由题知a0+b=2，因为a0=1，所以b=1．
(2)当0f(x)max=f(2)=a2+b,f(x)min=f(3)=a3+b，
由题可知，f(x)max-f(x)min=a2-a3=a22，
解得，a=12；
当a>1时，函数f(x)在区间2,3上单调递增，
f(x)max=f(3)=a3+b,f(x)min=f(2)=a2+b，
由题可知，f(x)max-f(x)min=a3-a2=a22，
解得，a=32；
综上所述，a=12或a=32．
【解析】本题主要考查指数函数及其性质、函数的单调性以及函数的最值，属于中档题．
(1)由题知a0+b=2，可得b的值；
(2)由题意，考虑01两种情况，分别求得f(x)在区间2,3上的最大值与最小值，利用题设条件，可得答案．
19.【答案】解：(1)∵函数 fx=x+1x+ax2=x2+a+1x+ax2 为偶函数，
∴ f-x=x2-a+1x+ax2=x2+a+1x+ax2 ，
即 -a+1=a+1 ，∴ a=-1 ；
(2)当 a=-1 时， fx=x2-1x2=1-1x2 ，
函数 fx 在 -∞,0 上为减函数，
证明：设 x1则 fx1-fx2=1x22-1x12=x1-x2x1+x2x12x22 ，
∵ x1∴ x1+x2<0 ， x1-x2<0 ，
∴ fx1-fx2>0 ，
即 fx1>fx2 ，
fx 在 -∞,0 上为减函数．

【解析】【分析】(1)根据题意，由函数的奇偶性，即可得到结果；
(2)根据题意，由定义法证明函数的单调性，即可得到结果．
20.【答案】解：(1)∵ f0=lga1=0
因为 fx 是奇函数，
所以 f-x=-fx⇒f-x+fx=0
∴ lgamx+1-x+1+lga1-mxx+1=0
∴ lgamx+1-x+1⋅1-mxx+1=0⇒mx+1-x+1⋅1-mxx+1=1 ，
∴ 1-m2x2=1-x2 对定义域内的 x 都成立．
∴ m2=1 ．
所以 m=1 或 m=-1 (舍)，
∴ m=1 ．
(2)由 fb-2+f2b-2>0 ，
得 fb-2>-f2b-2 ，
∵函数 fx 是奇函数，
∴ fb-2>f2-2b ，
又∵ fx 在 -1,1 上是增函数，
∴ b-2>2-2b-1∴ 43∴的取值范围是 43,32 ．

【解析】【分析】(1)计算出 f0=0 ，根据 f-x+fx=0 列出方程，求出 m=1 ；
(2)根据奇偶性得到 fb-2>f2-2b ，从而由单调性和定义域得到不等式组，求出实数 b 的取值范围．
21.【答案】解：(1)依题意，当 0≤t≤0.5 时，
可设 y=kt ，且 1=0.5k ，解得 k=2 ，
又由 1=1160.5-a ，解得 a=0.5 ，
所以 y=2t,0≤t≤0.5116t-0.5,t>0.5 ；
(2)令 116t-0.5=142t-1≤14 ，
即 2t-1≥1 ，解得 t≥1 ，
即至少需要经过 1h 后，学生才能回到教室．

【解析】【分析】(1)根据图象利用待定系数法计算函数关系式即可；
(2)根据指数函数的单调性解不等式计算即可．
22.【答案】解：(1)∵函数g(x)=ax2-2ax+b(b>0)，
在x∈[1,2]时最大值为1和最小值为0．
∴(ⅰ)当a=0时，g(x)=b不符合题意；
(ⅱ)当a>0时，由题意得g(x)对称轴为x=1，g(x)在x∈[1,2]单调增，
∴ g(1)=0 g(2)=1,∴a=b=1；
(ⅲ)当a<0时，由题意得g(x)对称轴为x=1，g(x)在x∈[1,2]单调减，
∴ g(1)=1 g(2)=0∴a=-1,b=0，不符合题意，
综上：a=b=1 ；
(2)当x∈[-1,1]，令t=2x∈[12,2]，
∴g(t)-kt2+1⩾0在t∈[12,2]上恒成立，
∴t2-2t+1-kt2+1≥0在t∈[12,2]上恒成立，
即k⩽2(1t)2-2(1t)+1在t∈[12,2]上恒成立，
又当t=2时，2(1t)2-2(1t)+1最小值为12，
∴k≤12；
(3)令s=|lg2x|≥0，∴当s>0时，方程s=|lg2x|有两个根；
当s=0时，方程s=|lg2x|有一个根；当s<0时，方程s=|lg2x|没有根．
∵关于x的方程f(|lg2x|)+2m|lg2x|-3m-1=0有四个不同的实数解，
∴关于s的方程f(s)+2ms-3m-1=0在s∈(0,+∞)有两个不同的实数解，
∴s2-3(m+1)s+2m+1=0在s∈(0,+∞)有两个不同的实数解，
∴ Δ=9(m+1)2-4⋅(2m+1)>0 3(m+1)>0 2m+1>0,∴m>-12．
综上：关于x的方程f(|lg2x|)+2m|lg2x|-3m-1=0有四个不同的实数解时，m>-12.
【解析】本题考查了函数的最值，不等式的恒成立问题以及函数的零点与方程的根的关系，属于难题．
(1)需对a值进行分类讨论研究函数的最值；
(2)需借助换元转化成t2-2t+1-kt2+1≥0在t∈[12,2]上恒成立，进而分离参数求解函数的最值即可；
(3)通过换元s=|lg2x|≥0分析方程的根，转化为s2-3(m+1)s+2m+1=0在s∈(0,+∞)有两个不同的实数解，进而通过根的分布列式求解．

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