2023-2024学年浙江省嘉兴市八校联盟高二上学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省嘉兴市八校联盟高二上学期期中联考数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线 3x−y+1=0的倾斜角为
( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
2.两条平行直线l1:3x+4y−5=0与l2:6x+8y−5=0之间的距离是( )
A. 0B. 12C. 1D. 32
3.已知平面内两定点A，B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.在空间直角坐标系O−xyz中，A−1,0,0，B1,2,−2，C2,3,−2，则平面ABC的一个法向量为
( )
A. 1,−1,0B. 1,−1,1C. 1,0,−1D. 0,1,1
5.已知圆C1：x−12+y+22=r2r>0与圆C2：x−42+y−22=16外切，则r的值为
( )
A. 1B. 5C. 9D. 21
6.如图，在三棱锥O−ABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且PD=2DQ，若记OA=a，OB=b，OC=c，则OD=( )
A. 16a+13b+13c
B. 13a+13b+13c
C. 13a+16b+13c
D. 13a+13b+16c
7.圆O1:(x−1)2+(y−1)2=28与O2:x2+(y−4)2=18的公共弦长为
( )
A. 2 3B. 2 6C. 3 2D. 6 2
8.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为Fc,0，点P，Q在直线x=a2c上，FP⊥FQ，O为坐标原点，若OP⋅OQ=3OF2，则该椭圆的离心率为
( )
A. 23B. 63C. 22D. 32
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知椭圆C：x216+y24=1，在下列结论中正确的是
( )
A. 长轴长为8B. 焦距为4 3
C. 焦点坐标为0,±2 3D. 离心率为 32
10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a=4,6,2，b=2,3,1，则l1//l2
B. 两个不同的平面α，β的法向量分别是u=2,2,−1，v=−3,4,2，则α⊥β
C. 直线l的方向向量为a=1,−1,2，平面α的法向量为u=6,4,−1，则l⊥α
D. 直线l的方向向量a=0,3,0，平面α的法向量是u=0,−5,0，则l/​/α
11.已知圆(x−1)2+(y−2)2=4与直线x+my−m−2=0，下列选项正确的是
( )
A. 圆的圆心坐标为1,2B. 直线过定点2,1
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为2 2D. 直线与圆可以相切
12.已知椭圆Q：x29+y24=1，O是坐标原点，P是椭圆Q上的动点，F1，F2是Q的两个焦点
( )
A. 若△PF1F2的面积为S，则S的最大值为9
B. 若P的坐标为1,4 23，则过P的椭圆Q的切线方程为x+3 2y−9=0
C. 若过O的直线l交Q于不同两点A，B，设PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=49
D. 若A，B是椭圆Q的长轴上的两端点，P不与A，B重合，且AR⋅AP=0，BR⋅BP=0，则R点的轨迹方程为9x2+4y2=81
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.圆的方程为x2+y2−2x+6y+4=0，则该圆的半径为______．
14.已知椭圆x24+y2m=1的左、右焦点分别为点F1、F2，若椭圆上顶点为点B，且▵F1BF2为等边三角形，则m是______．
15.已知空间向量a=2,3,2，b=1,1,2，则向量a在向量b上投影向量的坐标是______．
16.正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，E，F分别为DD1，AD的中点.若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知直线l1：ax+2y+3=0，直线l2：2x+by−1=0.其中a，b均不为0．
(1)若l1⊥l2，求ab的值；
(2)若l1//l2，求a⋅b的值．
18.(本小题12.0分)
已知a=3,2,−1，b=2,1,2．
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)当ka+b⊥a−kb时，求实数k的值．
19.(本小题12.0分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
(1)证明：EF//平面SAD；
(2)若SD=8，求平面DEF与平面EFS所成角的余弦值．
20.(本小题12.0分)
给定椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，称圆心在原点O，半径是 a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F 2,0，其短轴的一个端点到点F的距离为 3．
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；
(2)若点A，B是椭圆C的“准圆”与x轴的两交点，P是椭圆C上的一个动点，求AP⋅BP的取值范围．
21.(本小题12.0分)
已知圆C的圆心在直线l：y=x上，并且经过点A2,1和点B3,2．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线m：x+y+t=0上存在点P，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，且∠MPN=90∘，求实数t的取值范围．
22.(本小题12.0分)
已知点M到直线l：x=2的距离和它到定点F1,0的距离之比为常数 2．
(1)求点M的轨迹E的方程；
(2)若点P是直线l上一点，过P作曲线E的两条切线分别切于点A与点B，试求三角形PAB面积的最小值．(二次曲线Ax2+By2+C=0在其上一点Qx0,y0处的切线为Ax0x+By0y+C=0)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了倾斜角的概念，属于基础题．
根据直线斜率和倾斜角之间的关系进行求解即可．
【解答】
解：由 3x−y+1=0 可得y= 3x+1 ，
因此该直线的斜率为k= 3 ，
设直线的倾斜角α，
则tanα= 3，又0°≤α<180°，
所以直线的倾斜角为 60∘ ，
故选：B
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查两条平行线间距离的求法．
首先判断两条平行直线的直线方程中x与y的系数是否相等，再根据平行线间距离公式求出距离即可．
【解答】
解：由题意可得：两条平行直线为6x+8y−10=0与6x+8y−5=0，
由平行线间的距离公式可知d=|−10+5| 62+82=510=12．
故答案为：12．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键，属于基础题．
结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
则根据椭圆的定义知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a (a>0,a为常数)是定值成立;
若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a (a>0，且a为常数)，当2a≤|AB|时的轨迹不是椭圆．
∴甲是乙的必要不充分条件．
故选B．
4.【答案】A
【解析】【分析】设平面 ABC 的一个法向量为 n=x,y,z ，利用 n⋅AB=0,n⋅AC=0 列方程求解即可．
解：由已知 AB=2,2,−2,AC=3,3,−2 ，
设平面 ABC 的一个法向量为 n=x,y,z ，
∴n⋅AB=2x+2y−2z=0n⋅AC=3x+3y−2z=0
取 x=1 ，解得 n=1,−1,0 ，
选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】【分析】根据圆心距等于半径和求解即可．
解：因为圆 C1 ： x−12+y+22=r2r>0 与圆 C2 ： x−42+y−22=16 外切，
所以 4−12+2+22=r+4 ，解得 r=1 ．
故选：A．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了空间向量基本定理的应用，涉及到空间向量线性运算法则，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
利用空间向量线性运算法则化简即可求解．
【解答】
解：因为OD=OP+PD=12OA+23PQ=12OA+23×12(OQ+AQ)
=12OA+13[12(OB+OC)+12(AB+AC)]
=12OA+13[12OB+12OC+12(OB−OA)+12(OC−OA)]
=12OA+13(OB+OC−OA)=16OA+13OB+13OC
=16a+13b+13c，
故选：A．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查两圆的相交弦的弦长问题，属于中档题．
利用两圆的标准方程求出相交弦的直线方程，即可求解．
【解答】
解：由题意知圆O1:(x−1)2+(y−1)2=28与O2:x2+(y−4)2=18相交，
由x2+(y−4)2=18(x−1)2+(y−1)2=28
两式相减得公共弦的直线方程为x−3y+12=0，
∴圆心O2(0,4)到直线x−3y+12=0的距离为0−12+12 10=0，
圆心O1(1,1)到直线x−3y+12=0的距离为1−3+12 10= 10，
又圆O1的半径为 28，
∴公共弦长为2 28−10=2 18=6 2．
故选D．
8.【答案】C
【解析】【分析】根据平面向量的数量积的坐标运算公式和离心率公式计算求解．
解：由已知设 Pa2c,m,Qa2c,n ，
则 FP=a2c−c,m,FQ=a2c−c,n ，
则 FP⋅FQ=a2c−c2+mn=0 ，
又 OP⋅OQ=a2c2+mn=3c2 ，
两式做差可得 a2c2−a2c−c2=3c2 ，整理得 2a2=4c2 ，
则 ca= 22 ．
故选：C．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】先确定a,b,c的值，然后根据椭圆性质逐一判断选项即可．
解：由已知得a2=16,b2=4，
则a=4,b=2,c= 16−4=2 3，
故椭圆长轴长为2a=8，焦距为2c=4 3，
焦点坐标为±2 3,0，离心率ca= 32，故 ABD正确，
故选：ABD．
10.【答案】AB
【解析】【分析】利用空间位置关系的向量证明来逐一判断即可．
解：对于A：a=2b，故a//b，即l1//l2， A正确；
对于B：u⋅v=2,2,−1⋅−3,4,2=−6+8−2=0，故u⊥v，即α⊥β， B正确；
对于C：明显不存在实数λ，使a=λu，即a,u不共线，则l⊥α不成立， C错误；
对于D：a⋅u=0,3,0⋅0,−5,0=−15≠0，即a,u不垂直，则l/​/α不成立， D错误．
故选：AB．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断A，直线恒过定点判断B，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断C，利用直线恒过圆内定点判断D．
解：对于A，圆(x−1)2+(y−2)2=4的圆心坐标为1,2，正确；
对于B，直线方程x+my−m−2=0即x−2+my−1=0，由x−2=0y−1=0可得x=2y=1,
所以直线x+my−m−2=0过定点2,1，正确；
对于C，记圆心C1,2，直线过定点A2,1，则AC= 2−12+1−22= 2，
当直线AC与直线x+my−m−2=0垂直时，圆心C到直线x+my−m−2=0的距离最大，
此时直线x+my−m−2=0截圆(x−1)2+(y−2)2=4所得的弦长最小，
此时弦长为2 4− 22=2 2，正确；
对于D，因为(2−1)2+(1−2)2=2<4，所以点2,1在圆内，直线与圆必相交，错误．
故选：ABC
12.【答案】BD
【解析】【分析】求点的轨迹常用方法，
1.直接法：设动点坐标，代入其满足的等式化简整理；
2.定义法：根据题意分析动点满足的几何条件，结合已知曲线的定义，进而求轨迹方程；
3.相关点法：设动点坐标，用动点坐标表示相关点的坐标，代入相关点满足的等式化简整理；
4.参数法：选取适当的参数，用参数表示动点坐标，再消去参数，从而得到轨迹方程．
A：根据题意结合椭圆纵坐标的取值范围分析运算；B：设切线方程，与椭圆方程联立，结合 Δ=0 运算求解；C：利用点差法分析运算；D：利用点差法的结论分析得 kARkBR=−94 ，运算求解．
解：由椭圆方程知： a=3,b=2,c= 5 ，设点 P(x0,y0) ，
A： S=12|F1F2|⋅|y0|= 5|y0|≤2 5 ，当且仅当点 P 为短轴上的顶点时等号成立，错；
B：显然过 P 处切线的斜率存在，设切线方程为 y=k(x−1)+4 23 ，
联立 y=k(x−1)+4 23x29+y24=1 ，消去y得 (9k2+4)x2+18k(4 23−k)x+9(4 23−k)2−36=0 ，
则 Δ=[18k(4 23−k)]2−4(9k2+4)[9(4 23−k)2−36]=0 ，整理得 3 2k+12=0 ，
解得 k=− 26 ，故过 P 处切线方程为 y=− 26x−1+4 23 ，即 x+3 2y−9=0 ，对；
C：设 A(x1,y1) ，则 B(−x1,−y1) ， k1=y0−y1x0−x1,k2=y0+y1x0+x1 ，则 x029+y024=1x129+y124=1 ，
两式相减得 x02−x129+y02−y124=0 ，则 y02−y12x02−x12=y0−y1x0−x1⋅y0+y1x0+x1=−49 ，即 k1k2=−49 ，错；
D：当 R 不与 A,B 重合时，由C知： kAPkBP=−49 ，
由 kARkAP=−1 ， kBRkBP=−1 ，则 kARkAPkBRkBP=1 ，所以 kARkBR=−94 ，
设 R(x,y) ，则 A(−3,0),B(3,0) ， kAR=yx+3,kBR=yx−3 ，可得 yx+3⋅yx−3=−94 ，
整理得 9x2+4y2=81(x≠±3) ；
当 R 与 A,B 重合时，满足题意，符合上式；
综上： R的方程为 9x2+4y2=81 ，对．
故选：BD．
13.【答案】 6
【解析】【分析】将圆的方程化为标准式即可得答案．
解：圆的方程为 x2+y2−2x+6y+4=0 ，
即 x−12+y+32=6 ，
故则该圆的半径为 6 ．
故答案为： 6 ．
14.【答案】3
【解析】【分析】先确定 a2,b2,c2 ，然后根据 ▵F1BF2 为等边三角形得到 a=2c ，带入已知计算即可．
解：由已知得 a2=4,b2=m ，则 c2=4−m ，
又 ▵F1BF2 为等边三角形，则 a=2c ，即 a2=4c2
所以 4=44−m ，解得 m=3 ．
故答案为： 3 ．
15.【答案】32,32,3
【解析】【分析】根据投影向量的定义，结合已知求向量 a 在向量 b 上投影向量的坐标．
解：由投影向量定义知：向量 a 在向量 b 上投影向量 a⋅b|b|⋅b|b|=9 6×1 6⋅b=32b=32,32,3 ．
故答案为： 32,32,3
16.【答案】[π6,π3]
【解析】【分析】
本题主要考查了向量法求异面直线所成角．
建立空间直角坐标系，利用向量AD1,BM的夹角求θ的范围，需要换元引进二次函数，求解不难．
【解答】
解：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
取AB=2，设M的横坐标为x，0≤x≤2，
则B(2,0,0)，D1(0,2,2)，M(x,x,2−x)，
AD1=(0,2,2)，BM=(x−2,x,2−x)，
∵EF//AD1，
∴AD1与BM所成的角也是θ，
∴csθ=|AD1⋅BM|AD1||BM||
=|2x+2(2−x)2 2× 2(x−2)2+x2|
= 2 3x2−8x+8，
令t=3x2−8x+8，0≤x≤2，
可得83≤t≤8，
∴12≤csθ≤ 32，θ∈(0,π2]
∴π6≤θ≤π3
故答案为： [π6,π3]．
17.【答案】解：(1)由 l1⊥l2 ，则 −a2×−2b=−1 ，得 ab=−1 ．
(2)由 l1//l2 ，则 a2=2b≠3−1 ，故 a⋅b=4 ，其中 b≠−23 (或 a≠−6 )．

【解析】【分析】(1)由两线垂直的判定列方程，即可求值；
(2)由两线平行的判定列方程，即可求值，注意 b≠−23 或 a≠−6 ；
18.【答案】解：(1)csa,b=a⋅ba⋅b=6 14× 9= 147 ．
(2)由于 ka+b⊥a−kb ，
所以 ka+b⋅a−kb=0 ，
所以 ka2+1−k2a⋅b−kb2=0 ，
14k+61−k2−9k=0,6k2−5k−6=0 ，
解得 k=32 或 k=−23 ．

【解析】【分析】(1)根据空间向量夹角公式求得正确答案．
(2)根据 ka+b⊥a−kb 列方程，从而求得 k 的值．
19.【答案】解：(1)取 SD 中点 M ，连接 AM,MF ，如图，
∵ M ， F 分别为 SD ， SC 的中点，
∴ MF//CD ，且 MF=12CD ，
又底面 ABCD 为正方形，且 E 为 AB 中点，
∴ MF//AE ，且 MF=AE ，
∴四边形 AEMF 为平行四边形，
∴ EF//AM ，
∵ EF⊄ 平面 SAD ， AM⊂ 平面 SAD ，
∴ EF// 平面 SAD ．
(2)由 SD⊥ 平面 ABCD ， AD,DC⊂ 平面 ABCD ，可得 SD⊥AD,SD⊥DC ，
又正方形中 AD⊥DC ，故 SD,DA,DC 两两垂直，
以点 D 为坐标原点， DA ， DC ， DS 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间坐标系 D−xyz ，
则 D0,0,0 ， E4,2,0 ， F0,2,4 ， S0,0,8 ，
故 EF=−4,0,4 ， DE=4,2,0 ， FS=0,−2,4
设平面 DEF的一个法向量为 m=x,y,z ，
则 m⋅EF=−4x+4z=0m⋅DE=4x+2y=0 ，令 x=1 ，可取 m=1,−2,1 ，
设平面 EFS 的一个法向量为 n=a,b,c ，
则 n⋅EF=−4a+4c=0n⋅FS=−2b+4c=0 ，令 c=1 ，可取 n=1,2,1 ，
设平面 DEF 与平面 EFS 所成角为 θ ，
则 csθ=csm,n=1−4+1 1+4+1× 1+4+1=13 ，
∴平面 DEF 与平面 EFS 所成角的余弦值为 13 ．

【解析】【分析】(1)利用中位线可得平行四边形，根据线面平行的判定定理求解；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求平面所成的角．
20.【答案】解：(1)由题意知 c= 2 ，且 a= b2+c2= 3 ，可得 b= a2−c2=1 ，
故椭圆 C 的方程为 x23+y2=1 ，其“准圆”方程为 x2+y2=4 ．
(2)由题意，设 Pm,n− 3≤m≤ 3 ，则有 m23+n2=1 ，
不妨设 A 2,0 ， B−2,0 ，所以 AP=m−2,n ， BP=m+2,n ，
所以 AP⋅BP=m2−4+n2=m2−4+1−m23=2m23−3 ，又 − 3≤m≤ 3 ，则 2m23−3∈−3,−1 ，
所以 AP⋅BP 的取值范围是 −3,−1 ．


【解析】【分析】(1)根据已知求椭圆方程中的参数，即得椭圆方程，再由“准圆”定义写出对应“准圆”的方程；
(2)设 Pm,n− 3≤m≤ 3 ，写出 A ， B 坐标，应用向量数量积的坐标表示得 AP⋅BP=m2−4+n2 ，结合 P 是椭圆 C 上及其有界性，即可求范围．
21.【答案】解：(1)因为 AB 的中点为 D52,32 ，且 kAB=1 ，所以 AB 的垂直平分线为 y−32=−x−52 ，即 x+y−4=0 ，
由 y=xx+y−4=0 ，得 x=2y=2 ，所以圆心 C2,2 ，则半径 r=AC=1 ，所以圆 C ： x−22+y−22=1 ．
(2)如图，由 ∠MPN=90∘ 得 ∠CPM=45∘ ，所以 |CP|= 2 ，

所以圆心 C2,2 到直线 m 的距离 d=4+t 2≤ 2 ，则 4+t≤2 ，解得 −6≤t≤−2
所以 t 的取值范围为 −6,−2 ．

【解析】【分析】(1)由题设写出 AB 的垂直平分线的方程，结合已知圆心在直线 l : y=x 上，联立求圆心，并确定半径，即得方程；
(2)根据已知得 |CP|= 2 ，再由圆心 C2,2 到直线 m 的距离 d≤ 2 求参数范围．
22.【答案】解：(1)设 Mx,y ，则 x−2 x−12+y2= 2 ，化简得 E ： x22+y2=1 ，
所以点M 的轨迹E的方程为 x22+y2=1 ．
(2)设 P2,t ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，则切线 AP 为 x1x2+y1y=1 ，切线 BP 为 x2x2+y2y=1 ，
将点 P 分别代入得 x1+ty1=1x2+ty2=1 ，所以直线 AB 为 m:x+ty=1 ，
点 P 到 m 的距离 d=1+t2 t2+1= t2+1 ，当 t=0 时， dmin=1 ．
另一方面，联立直线 AB 与 Ex+ty=1x22+y2=1 得 t2+2y2−2ty−1=0 ，
所以 y1+y2=2tt2+2y1y2=−1t2+2 ，则 AB= 1+t2⋅y1−y2= 1+t2⋅ (y1+y2)2−4y1y2=2 2t2+1t2+2=2 21−1t2+2 ，
当 t=0 时， ABmin= 2 .所以 S▵ABP=12AB⋅d≥ 22 ．
故 t=0 时， S▵ABP 最小值为 22 ．


【解析】【分析】(1)设 Mx,y ，根据已知有 x−2 x−12+y2= 2 ，化简整理得轨迹；
(2)设 P2,t ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，写出切线 AP 、 BP 并将点代入得直线 AB 为 x+ty=1 ，由点线距离公式确定距离最小值，联立直线与 x22+y2=1 ，应用韦达定理、弦长公式求 AB 的最小值，注意最小值取值条件一致，最后求三角形 PAB 面积的最小值．