2023-2024学年浙江省嘉兴市桐乡市高级中学八校联盟高一上学期期中联考数学试题含答案

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考生须知：
1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分（共60分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】集合的交集运算，因为集合是有限集，则也是有限集.
【详解】因为，，.
故选：A
2. 设命题，则命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
特称命题的否定是全称命题，据此可得答案．
【详解】解：∵命题是一个特称命题，它的否定是一个全称命题，
∴命题的否定为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查含一个量词的命题的否定，属于基础题．
3. “x>1”是“x>0”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件间推出关系，判断“x>1”与“x>0”的关系.
【详解】“x>1”，则“x>0”，反之不成立.
∴“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知点在幂函数的图像上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂函数的系数为可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而可求得的值.
【详解】由于函数为幂函数，则，解得，则，
由已知条件可得，得，因此，.
故选：A.
5. 设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. a＜b＜cB. b＜a＜cC. b＜c＜aD. c＜a＜b
【答案】D
【解析】
【分析】结合指数函数、对数函数的性质确定正确答案.
【详解】，
在上递增，所以，即.
在上递减，所以，
所以.
故选：D
6. 函数f（x）=
A. （-2,-1）B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：
，所以零点在区间（0，1）上
考点：零点存在性定理
7. 设x∈R，定义符号函数，则函数=的图象大致是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】函数f（x）=|x|sgnx==x，
故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，
故答案为C．
8. 已知是定义在上的偶函数，且函数的图像关于原点对称，若，则的值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，再由其对称性可得，分别求得，即可得到结果.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，
又因为函数的图像关于原点对称，
所以函数的图像关于对称，
即，
令，则，即，
令，则，
所以.
故选：B
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】CD
【解析】
【分析】根据同一函数的定义一一分析即可.
【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，故A错误；
对于B，的定义域为，而的定义域为，故B错误；
对于C，两函数定义域相同，且，故C正确；
对于D，两函数定义域相同，且，故D正确.
故选：CD
10. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数为偶函数可排除A，C选项，再判断选项B，D中函数的单调性从而得出答案.
【详解】函数不是偶函数，函数是奇函数，不是偶函数，故可排除A，C选项.
函数，均为偶函数.
又二次函数在上为增函数.
，当时，函数可化为，在上为增函数.
故选项B，D满足条件.
故选：BD
11. 若集合，，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】先解二次方程化简，再分类讨论与两种情况即可得解.
【详解】由，解得或，故，
因为，，
所以当时，；
当时，，则或，
所以或；
综上：或或，故ABC正确.
故选：ABC.
12. 已知实数为函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】分别作图与得，又因为即可判断出结果.
【详解】令则 ，分别作图与如图所示：
由图可得 ，所以，故A正确；
由于，，
所以，
所以，故B正确，C、D错误.
故选：AB.
非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据函数解析式，直接代入求解即可.
【详解】因为，
所以，则.
故答案为：.
14 计算：______.
【答案】0
【解析】
【分析】根据题意，由对数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】原式.
故答案为：0
15. 已知函数为奇函数，且当时，则当时，________．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.
【详解】因为函数为奇函数，
所以当时，，
故答案为：
16. 设函数，若存在最小值，则的最大值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值.
【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；
当时，，
当时，，又时，，
存在最小值，满足题意；
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
若存在最小值，则，解得：，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
若存在最小值，则，不等式无解；
综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数的存在最值求解参数范围的问题，解题关键是能够通过对参数的范围的讨论，确定分段函数的单调性，进而根据分段处函数值的大小关系确定不等式组求得结果.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设全集，集合，，.
（1）当时，求，；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用交集、并集、补集的概念运算即可；
（2）根据充分不必要条件的概念及集合间的基本关系计算即可.
【小问1详解】
由题意可知当时，集合，，
则，或，
则；
【小问2详解】
因为“”是“”的充分不必要条件，
则是A的真子集，即，则，
则实数的取值范围为.
18. 已知函数（，且）．
（1）若函数的图象过点，求b的值；
（2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值．
【答案】（1）1 （2）或
【解析】
【分析】（1）将点坐标代入求出b的值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值.
【小问1详解】
，解得.
【小问2详解】
当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；
当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）.
综上：或
19. 已知函数为偶函数.
（1）求实数的值；
（2）判断在的单调性，并用函数单调性的定义证明.
【答案】（1）
（2）单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，由函数的奇偶性，即可得到结果；
（2）根据题意，由定义法证明函数的单调性，即可得到结果.
【小问1详解】
∵函数为偶函数，
∴，
即，∴；
【小问2详解】
当时，，
函数在上为减函数，
证明：设，
则，
∵，
∴，，
∴，
即，
在上为减函数.
20. 已知函数，是定义在上的奇函数.
（1）求和实数的值；
（2）若在上是增函数且满足，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）计算出，根据列出方程，求出；
（2）根据奇偶性得到，从而由单调性和定义域得到不等式组，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
∵
因为是奇函数，
所以
∴
∴，
∴对定义域内的都成立.
∴.
所以或（舍）,
∴.
【小问2详解】
由，
得，
∵函数是奇函数，
∴，
又∵在上是增函数，
∴，
∴，
∴的取值范围是.
21. 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的函数关系式为（为常数，）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示.

（1）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.
【答案】（1）
（2）至少需要经过后，学生才能回到教室
【解析】
【分析】（1）根据图象利用待定系数法计算函数关系式即可；
（2）根据指数函数的单调性解不等式计算即可.
【小问1详解】
依题意，当时，
可设，且，解得，
又由，解得，
所以；
小问2详解】
令，
即，解得，
即至少需要经过后，学生才能回到教室.
22. 已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设.
（1）求实数，的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由二次函数的最值，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，分离参数，转化为最值问题，代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，换元令，转化为在有两个不同的实数解，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
∵函数，在时最大值为1和最小值为0.
当时，由题意得对称轴为，在单调增，
∴，∴；
【小问2详解】
当，令，
∴在上恒成立，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
又当时，最小值为，
∴；
【小问3详解】
令，
∴当时，方程有两个根；当时，方程没有根.
∵关于的方程有四个不同的实数解，
∴关于方程在有两个不同的实数解，
∴在有两个不同的实数解，
∴，
∴.