2024浙江省培优联盟高二下学期5月期中联考数学试题含解析

这是一份2024浙江省培优联盟高二下学期5月期中联考数学试题含解析，共9页。试卷主要包含了已知随机变量，且，则，在中，，，，则，已知，则，已知双曲线，下列函数是偶函数的是，设，则下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．等差数列满足，公差为2，则（ ）
A．96B．90C．84D．78
3．已知，，是三条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，，则
C．若，，则D．若，，则
4．已知随机变量，且，则（ ）
A．0.04B．0.48C．0.5D．0.96
5．在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．设，则下列命题正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知直线：与圆：相交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A．若圆关于直线对称，则
B．的最小值为
C．当时，对任意，曲线：恒过直线与圆的交点
D．若，，，（为坐标原点）四点共圆，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数，则__________．
13．已知，，均为平面单位向量，且两两夹角为120°，则__________．
14．圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个．
（1）求该学生能通过自主招生初试的概率；
（2）若该学生答对的题数为，求的分布列以及数学期望．
16．（15分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，．
（1）证明：平面．
（2）若为线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
17．（15分）
设曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为．
（1）当切线与直线垂直时，求实数的值；
（2）当时，求的最大值．
18．（17分）
已知在椭圆：上，的左焦点在抛物线的准线上，为的左顶点，直线，分别与另交于，两点，直线，的斜率之积为．
（1）求的方程；
（2）求面积的最大值．
19．（17分）
已知的数列满足，，成公差为1的等差数列，且满足，，成公比为的等比数列；的数列满足，，成公比为的等比数列，且满足，，成公差为1的等差数列．
（1）求，．
（2）证明：当时，．
（3）是否存在实数，使得对任意，？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由．
浙江培优联盟2024年5月联考高二数学参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．13．214．
完整解析：
1．D【解析】集合，．
2．C【解析】由题知数列是公差为2的等差数列，，．
3．A【解析】对于A选项，由平行的传递性可知A选项成立；
对于B选项，直线，不一定相交，故不成立；
对于C选项，与相交时也有可能成立，故C错误；
对于D选项，直线不一定在平面外，故不成立．
4．D【解析】．
5．C【解析】因为，，，所以．
6．B【解析】用表示女孩，表示男孩，则样本空间．分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩都是女孩”为事件和事件，则，，．
7．D【解析】，．
8．A【解析】令，由对称性，不妨设直线的方程为，
由解得，，即点的坐标为，
由为的中点，，得为的中点，则点的坐标为，
代入双曲线的方程，有，解得，所以双曲线的离心率为．
9．BCD【解析】只有选项B，C，D满足偶函数．
10．ACD【解析】，直接计算即可．
11．BC【解析】直线：过点，圆：，即，圆心为，半径．
对于A选项，若圆关于直线对称，则直线过圆心，所以，故A错误．
对于B选项，圆的圆心为，半径为4，圆心到直线的距离的最大值为，所以的最小值为，故B正确．
对于C选项，当时，直线：，曲线：，即，就是过直线与圆的交点的曲线方程，故C正确．
对于D选项，若，，，四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为，的中点为，所以的垂直平分线方程为：，所以，圆的方程为，整理得，直线是圆和圆的交线，所以直线的方程为，将点坐标代入上式得，解得，所以直线即直线的斜率为，所以，故D错误．
12．【解析】．
13．2【解析】．
14．【解析】球的半径是边长为2的等边三角形的内切圆半径，即半径为，所以球的表面积．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）该学生通过自主招生初试的概率，
（2）该学生答对题的数量的可能取值为2，3，4，则，，，
所以的概率分布列为
．
16．（1）证明：取的中点，连接，易知，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，∴，
∴，
∴，
∵平面，平面，
∴，
又，
∴平面．
（2）解：以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．，，，，，，．
设平面的法向量为，
则即取，
平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17．解：（1），．
因为切线与直线垂直，，
所以．
（2），当时，，
所以切线方程为．
令得，令得，
因为，所以．
，
所以当时，，递增，
当时，，递减，
所以．
18．解：（1）∵椭圆：过点，∴．
∵抛物线的准线方程为，∴，，
∴椭圆的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率不为0，设，，直线的方程为，联立消去，得，
所以，
得，，
则，，
因为，所以，即，
所以，
即，解得或．
因为当时，直线的方程为，则直线经过点，不符合题意，所以，满足，此时直线的方程为，所以直线过定点，记直线与轴的交点为，则点坐标为．
当时，，，
，
令，，则，所以在上单调递增，所以，
当且仅当，即时，的面积取得最大值．
19．（1）解：由题意得，，，，，，，．
（2）证明：，，
∴，则，
∴是首项为，公比为的等比数列，∴．
∵，∴，即．
注：本小题也可分别求出数列，的通项公式，再作差比较．
（3）解：存在满足条件．
当时，，显然不是减数列，∴．
下证，当时，不能满足条件．
，，∴．
由（2）得，，又，∴，从而．
考虑子数列，，∵，，
则，则，
∴是首项为，公比为的等比数列，
∴．
若，则当时，，即，
∴不满足条件．
综上，满足条件的只有1个，即．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
D
C
A
D
C
B
D
A
题号
9
10
11
选项
BCD
ACD
BC
2
3
4