浙江省台金七校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的值是（ ）
A. 20B. 40C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由排列、组合数公式求解即可．
【详解】．
故选：B．
2. 4名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ）
A. 6B. 24C. 64D. 81
【答案】D
【解析】
【分析】每名同学有3种不同的选择，根据分步计数原理解答即可.
【详解】由分步乘法计数原理可得：
不同报法的种数是；
故选：D.
3. 已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合双曲线的性质确定a,b的关系式，据此即可确定双曲线的渐近线方程.
【详解】由离心率的定义可知：
，
则双曲线的渐近线方程为：.
故选A.
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线的渐近线的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4. 8个人分成3人、3人、2人三组，共有（ ）种不同的分组方法.
A. 1120B. 840C. 560D. 280
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均分组求法即可求解.
【详解】根据题意，分组方法数为种
故选：D
5. 函数的导函数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数的求导法则和导数的基本公式计算即可．
【详解】，
故选：A.
6. 设…，则（ ）
A. B. C. 800D. 640
【答案】B
【解析】
【分析】要得到分两种情况讨论再结合二项式定理展开式计算即可求解；
【详解】因为 ，
要得到分两种情况讨论：
①5个因式取1个，取4个，即
②5个因式取2个，取3个，即
所以二项展开式中含项的系数为.
故选：B.
7. 将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数互不相同”，事件“至少出现一个点”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出、同时发生的概率以及发生的概率，再由条件概率公式计算可得．
【详解】依题意可得，
，
所以.
故选：C
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性可知函数在上单调递增，且，即可得到答案.
【详解】因为，所以，
令函数，，
因为在上单调递增，且，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
又因为，所以.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由随机变量X的分布列的性质得，且a，b，由a，b，c成等差数列，得，可以求出c的取值范围，从而能求出的可以取的值．
【详解】解：随机变量X的分布列如下：
，且a，b，①
，b，c成等差数列，
，②
联立①②，得，，
所以，
，
可以为 ，， ，
故选：ABC
10. 如图，直线与曲线相切于两点，则有（ ）
A. 2个极大值点B. 3个极大值点C. 2个极小值点D. 3个极小值点
【答案】BC
【解析】
【分析】根据条件，有3个极大值点，设为，2个极小值点，设为，且，，结合图象，利用导数的几何意义及极值的定义即可求出结果.
【详解】因为，所以，
由图知，有3个极大值点，设为，2个极小值点，设为，且，
在左侧时，，所以，
在右侧时，，由导数的几何意义知，，
所以，故为的三个极大值点，
在左侧时，，由导数的几何意义知，，即，
在右侧时，，所以，故为的2个极小值点，
故选：BC.
11. 一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（ ）
A. 从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差
C. 从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望
D. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望
【答案】ABD
【解析】
【分析】对选项A，的可能取值为0，1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项B，，再由二项分布的方差公式求得；对选项C，X的可能取值为1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项D，Y的可能取值为0，1，2，求出概率，再由公式求得
【详解】对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
则，故A正确；
对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为，则取出的红球次数为，
则方差，故B正确;
对选项C，从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1，2，3，
则，，则，
则，故C错误；
对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可能取值为0，1，2，
则，，，
则，故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，且，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】依题意可得相应的正态曲线关于对称，结合，即可求得结论．
【详解】，相应的正态曲线关于对称，
，
故答案为：
13. 若直线与直线平行，则__________，它们之间的距离为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据两直线平行的条件，求出的值，再利用两条平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得，
所以直线的方程可化简，
而直线，即直线，
它们之间的距离为，
故答案：；.
14. 甲乙两人轮流投掷一枚质地均匀的骰子，规定谁先掷出6点为胜者；前一场的胜者，则下一场后掷分出胜者算一场若第一场时是甲先掷，则第2场甲胜的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意先求得一场中先掷的人赢的概率为，后掷的人赢的概率为，再由第一场时是甲先掷且第二场甲胜，有两种情况：第一场甲赢第二场甲赢和第一场乙赢第二场甲赢，再计算即可.
【详解】一场中先掷的人赢的概率为，，
由，
，
，
所以当时，，
所以一场中先掷的人赢的概率为，后掷的人赢的概率为，
若第一场时是甲先掷且第二场甲胜，有两种情况：
第一场甲赢第二场甲赢和第一场乙赢第二场甲赢，
记甲先掷且第二场甲赢的事件为A，
所以，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为
（1）求实数a和n的值；
（2）求展开式中系数最小的项．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由题得到，再令，即可求出a；
（2）写出二项展开式的通项公式，则，即可求解.
【小问1详解】
仅有第5项的二项式系数最大，则
令，则，又，则
【小问2详解】
二项展开式的通项为：，
假设第项的系数的绝对值最大，由通项可得：
，解得：
故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大.
又展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，
故展开式中系数最小的项是第6项：
16. 如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点．
（1）求证：；
（2）若为直线上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质证明线面垂直进而得到线线垂直;
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，又因为平面
所以
【小问2详解】
如图，以 点为原点，分别以直线为轴，轴，
依题意，可得，，，，，
所以，，
，，
又，为的中点.
，所以，
设为平面的法向量，
因为，，
则，即，
取，可得，
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为
17. 设等差数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，，记的前项和为，求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，解得，，从而得数列的通项公式；
（2）根据题意有，可得，故可得，
利用二项式系数和可得结论.
【小问1详解】
由题意得：
解得：，，
【小问2详解】
由题意得： ，
由于
所以
18. 某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.
（1）当进行完3轮游戏时，总分为，求的分布列和数学期望；
（2）若累计得分为的概率为，初始分数为0分，记
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）求活动参与者得到纪念品的概率.
【答案】（1）分布列见解析，期望为
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】解：由题意得每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，得出随机变量可能取值为3，4，5，6，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式求得期望；
（2）（ⅰ）当，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过4点的概率
得到，得到，结合等比数列的定义，即可求解；
（ⅱ）由（ⅰ）得到，利用叠加法得到，进而求得活动参与者得到纪念品的概率.
【小问1详解】
解：由题意得每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为
所以随机变量可能取值为3，4，5，6，
可得，
，
所以的分布列：
所以期望.
【小问2详解】
解：（ⅰ）证明：，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过4点的概率
则，
累计得分为分情况有两种：
①，即前一轮累计得分，又掷骰子点数超过4点得2分，其概率为，
②，即前一轮累计得分，又掷骰子点数没超过4点得1分，其概率为，
所以，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，，…，，
各式相加，得：，
所以
所以活动参与者得到纪念品的概率为.
19. 已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数与函数有相同的最小值，求a的值；
（3）证明：对于任意正整数n，（为自然对数的底数
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求，讨论导数正负，可得函数单调性；
（2）由（1）得：，且，讨论正负，可得函数最值，则有，构造函数利用导数即可求得的值；
（3）由（1）分析得，利用对数运算与裂项相消法求和，可证不等式.
【小问1详解】
的定义域：，，
①当时，，在上单调递减；
②当时，令，则，
此时，当时，，在上单调递减，
当时，，上单调递增；
综上可得：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
由（1）得：，且，
，令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
，
函数与函数有相同的最小值，
，转化为：，
令，则，
所以，在上单调递增，
又；
【小问3详解】
令，此时由（1）得：，
令，则，
，，
，
故.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.X
0
1
P
a
b
c
X
0
1
P
a
b
c
3
4
5
6