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13.3.2.2含30°角的直角三角形的性质（同步课件）-人教版初中数学八年级上册
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这是一份13.3.2.2含30°角的直角三角形的性质（同步课件）-人教版初中数学八年级上册，共23页。
情景引入 如图是某商场的电梯，电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间 的高度BC为6 m.你能算出电梯AB的长度吗?思考：新知探究思考：如图，在Rt△ABC中，∠BCA =90°，如果∠A=30°，那么直角边 BC与斜边AB有什么关系呢?新知探究 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.性质：应用格式：在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∠A = 30°，新知探究)证明：在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC. ∵∠B = 60°，BE = BC，∴△BCE 是等边三角形.∴∠BEC = 60°，BE = EC.∵∠A = 30°， ∴∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30°= 30°.∴ AE = EC.∴ AE = BE = BC. ∴ AB = AE + BE = 2BC.30°新知探究证明：取线段 AB 的中点 D，连接 CD.∵ CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，∵∠BCA = 90°，且∠A = 30°，∴∠B = 60°.∴△CBD 为等边三角形.新知探究证明：在△ABC 中，∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°， ∴∠B = 60°．延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接 AD，则△ABD 是等边三角形．30°)新知探究思考：解: 如图，取线段AB的中点D，连接CD.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴CD= AB=BD.∵BC= AB，∴BC= BD= CD，即△BDC为等边三角形.∴∠B= 60°.∵∠A+∠B=90°∴∠A=30°.由此你能得出什么结论？新知探究在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.互为逆命题典例精析例1 如图是某商场的电梯，电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间 的高度BC为6 m.你能算出电梯AB的长度吗?解：在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∠A = 30°，∴ AB=2BC=12m.典例精析例2如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足为点D，∠A=30°.求证: AB=4BD.典例精析例3如图，线段AE与BC相交于点D，BD=CD， AD=ED， CA⊥AE，∠1=30°， 且AB=3 cm.那么线段BE多长呢?典例精析例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，CD是斜边上的中线，CE是高，F是CD的中点.（1）求CD的长；（2）证明:△EDF为等边三角形.典例精析例5将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14 cm，求阴影部分 △ACF的面积.典例精析例6如图，小芳在山下发现正前方山上有个电视塔，测得塔尖的仰角为15°. 小芳朝正前方笔直行走400 m，此时测得塔尖的仰角为30°.若小芳的眼睛离地面1.6m，你能算出这个电视塔塔尖离地面的高度吗?典例精析例7在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E 点，求证：BE = 3AE.证明：∵ AB = AC，∠BAC = 120°， ∴∠B =∠C = 30°.∵ D 是 BC 的中点，∴ AD⊥BC.∴∠ADC = 90°，∠BAD =∠DAC = 60°.∴ AB = 2AD. ∵ DE⊥AB，∴∠AED = 90°.∴∠ADE = 30°，∴ AD = 2AE.∴ AB = 4AE. ∴ BE = 3AE.归纳总结含 30°角的直角 三角形的性质当堂检测1.已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=1: 2: 3,最短边BC=4 cm, 则最长边AB的长是( )A、5cm B、6 cmC、7cm D、8 cmD解析： ∠A:∠B:∠C=1: 2: 3, ∠A+∠B+∠C=180°∴ ∠A=30°， ∠B=60°， ∠C=90°∵BC=4 cm ∴ AB=2BC=8cm当堂检测2. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为 . 13. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，若 AB = 10， 则 BC 的长为 .54. 如图，Rt△ABC 中，∠A = 30°，AB + BC = 12 cm，则 AB =______cm.8 第4题图当堂检测5.如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，BC为立柱，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m， ∠A=30 ° ，求立柱BC，DE的长.解:在△ABC中， ∵ BC⊥AC ，∠A＝30°， ∴BC＝ AB= ×7.4＝3.7(m). ∵ 点D是AB的中点 ， ∴ AD＝ AB=3.7(m). 在△ADE中，∵ DE⊥AC ，∠A＝30°， ∴DE＝ AD＝ ×3.7=1.85(m).答:立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.当堂检测 6.一艘船从A处出发,以每小时10海里的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘轮船上午8:00从A处出发，10:00到达B处，从B处测得一礁石C在北偏西60°的方向上.（1）画出礁石C的位置；（2）求出B处到礁石C的距离.BC30°60°解：（1）如图,以B为顶点，向北偏西60°作角， 这角一边与AM交于点C, 则C为礁石所在地.M北（2）∵∠DBC=∠BAC+∠ACB，∠BAC=30 °， ∠DBC=60°， ∴∠ACB=30°，即∠BAC=∠ACB， ∴BC=AB ( 等角对等边) ， 即 BC=AB=10×2=20(海里）.答：B处到礁石C的距离为20海里.当堂检测7.如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 cm，∠A = 30°，立柱 BC、DE 有多长？解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°，答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m.当堂检测 8. 如图，已知△ABC 是等边三角形，D，E 分别为 BC、AC 上的点，且 CD = AE，AD、BE 相交于点 P，BQ⊥AD 于点 Q， 求证：BP = 2PQ.∴△ADC≌△BEA (SAS).证明：∵△ABC 为等边三角形，∴ AC = BC = AB，∠C =∠BAC = 60°.∵ CD = AE，∴∠CAD =∠ABE.∵∠BAP +∠CAD = 60°，∴∠BAP +∠ABE = 60°，即∠BPQ = 60°.又∵ BQ⊥AD，∴ BP = 2PQ.∴∠PBQ = 30°.∴∠BQP = 90°.
情景引入 如图是某商场的电梯，电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间 的高度BC为6 m.你能算出电梯AB的长度吗?思考：新知探究思考：如图，在Rt△ABC中，∠BCA =90°，如果∠A=30°，那么直角边 BC与斜边AB有什么关系呢?新知探究 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.性质：应用格式：在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∠A = 30°，新知探究)证明：在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC. ∵∠B = 60°，BE = BC，∴△BCE 是等边三角形.∴∠BEC = 60°，BE = EC.∵∠A = 30°， ∴∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30°= 30°.∴ AE = EC.∴ AE = BE = BC. ∴ AB = AE + BE = 2BC.30°新知探究证明：取线段 AB 的中点 D，连接 CD.∵ CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，∵∠BCA = 90°，且∠A = 30°，∴∠B = 60°.∴△CBD 为等边三角形.新知探究证明：在△ABC 中，∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°， ∴∠B = 60°．延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接 AD，则△ABD 是等边三角形．30°)新知探究思考：解: 如图，取线段AB的中点D，连接CD.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴CD= AB=BD.∵BC= AB，∴BC= BD= CD，即△BDC为等边三角形.∴∠B= 60°.∵∠A+∠B=90°∴∠A=30°.由此你能得出什么结论？新知探究在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.互为逆命题典例精析例1 如图是某商场的电梯，电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间 的高度BC为6 m.你能算出电梯AB的长度吗?解：在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∠A = 30°，∴ AB=2BC=12m.典例精析例2如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足为点D，∠A=30°.求证: AB=4BD.典例精析例3如图，线段AE与BC相交于点D，BD=CD， AD=ED， CA⊥AE，∠1=30°， 且AB=3 cm.那么线段BE多长呢?典例精析例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，CD是斜边上的中线，CE是高，F是CD的中点.（1）求CD的长；（2）证明:△EDF为等边三角形.典例精析例5将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14 cm，求阴影部分 △ACF的面积.典例精析例6如图，小芳在山下发现正前方山上有个电视塔，测得塔尖的仰角为15°. 小芳朝正前方笔直行走400 m，此时测得塔尖的仰角为30°.若小芳的眼睛离地面1.6m，你能算出这个电视塔塔尖离地面的高度吗?典例精析例7在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E 点，求证：BE = 3AE.证明：∵ AB = AC，∠BAC = 120°， ∴∠B =∠C = 30°.∵ D 是 BC 的中点，∴ AD⊥BC.∴∠ADC = 90°，∠BAD =∠DAC = 60°.∴ AB = 2AD. ∵ DE⊥AB，∴∠AED = 90°.∴∠ADE = 30°，∴ AD = 2AE.∴ AB = 4AE. ∴ BE = 3AE.归纳总结含 30°角的直角 三角形的性质当堂检测1.已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=1: 2: 3,最短边BC=4 cm, 则最长边AB的长是( )A、5cm B、6 cmC、7cm D、8 cmD解析： ∠A:∠B:∠C=1: 2: 3, ∠A+∠B+∠C=180°∴ ∠A=30°， ∠B=60°， ∠C=90°∵BC=4 cm ∴ AB=2BC=8cm当堂检测2. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为 . 13. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，若 AB = 10， 则 BC 的长为 .54. 如图，Rt△ABC 中，∠A = 30°，AB + BC = 12 cm，则 AB =______cm.8 第4题图当堂检测5.如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，BC为立柱，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m， ∠A=30 ° ，求立柱BC，DE的长.解:在△ABC中， ∵ BC⊥AC ，∠A＝30°， ∴BC＝ AB= ×7.4＝3.7(m). ∵ 点D是AB的中点 ， ∴ AD＝ AB=3.7(m). 在△ADE中，∵ DE⊥AC ，∠A＝30°， ∴DE＝ AD＝ ×3.7=1.85(m).答:立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.当堂检测 6.一艘船从A处出发,以每小时10海里的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘轮船上午8:00从A处出发，10:00到达B处，从B处测得一礁石C在北偏西60°的方向上.（1）画出礁石C的位置；（2）求出B处到礁石C的距离.BC30°60°解：（1）如图,以B为顶点，向北偏西60°作角， 这角一边与AM交于点C, 则C为礁石所在地.M北（2）∵∠DBC=∠BAC+∠ACB，∠BAC=30 °， ∠DBC=60°， ∴∠ACB=30°，即∠BAC=∠ACB， ∴BC=AB ( 等角对等边) ， 即 BC=AB=10×2=20(海里）.答：B处到礁石C的距离为20海里.当堂检测7.如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 cm，∠A = 30°，立柱 BC、DE 有多长？解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°，答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m.当堂检测 8. 如图，已知△ABC 是等边三角形，D，E 分别为 BC、AC 上的点，且 CD = AE，AD、BE 相交于点 P，BQ⊥AD 于点 Q， 求证：BP = 2PQ.∴△ADC≌△BEA (SAS).证明：∵△ABC 为等边三角形，∴ AC = BC = AB，∠C =∠BAC = 60°.∵ CD = AE，∴∠CAD =∠ABE.∵∠BAP +∠CAD = 60°，∴∠BAP +∠ABE = 60°，即∠BPQ = 60°.又∵ BQ⊥AD，∴ BP = 2PQ.∴∠PBQ = 30°.∴∠BQP = 90°.
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