2023-2024学年江西省萍乡市高一上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省萍乡市高一上学期期中考试数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合P={x|4x+1≤17}，Q={x|x2−7x≤0}，则P∪Q=( )
A. [0,7]B. [4,7]C. (−∞,4]D. (−∞,7]
2.函数f(x)=x0 x+2的定义域为( )
A. [−2,0)∪(0,+∞)B. (−2,0)∪(0,+∞)
C. [−2,+∞)D. (−2,+∞)
3.已知x∈N，y∈N，则“xy=0且x+y=10”是“x2+y2=100”的( )
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知a=30.3，b=90.1，c=0.33.3，则( )
A. c>a>bB. b>a>cC. a>c>bD. a>b>c
5.已知a225+b216=2，则ab的最大值为( )
A. 10B. 20C. 40D. 50
6.某地于2013年启动植树造林工程，已知2013年该地某片森林的面积为a(a>0)公顷，每年该片森林面积的年增长率相同，到2023年该片森林的面积达到4a公顷，则预计到2027年该片森林的面积为( )
A. 475a公顷B. (4+375)a公顷C. 485a公顷D. 5.6a公顷
7.函数f(x)=x2(1−22x+1)的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.定义在R上的函数f(x)对任意的x1，x2(x1≠x2)都满足x1+x2+x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2<0，则不等式(x+1)[x+1+f(x+1)]<0的解集为( )
A. (−∞,−1)B. (−1,+∞)
C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (1,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知f(x)=(m2−m+1)x2m−1为幂函数，则m的值可能是( )
A. 0B. 2C. 1D. −1
10.已知f(x)=2−x2+ax−3是(2,4)上的单调函数，则a的值可能是( )
A. 2B. 3C. 6D. 8
11.已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y5f(x)+x5f(y)，则( )
A. f(0)=0B. f(−1)=−12C. f(x)为奇函数D. f(2)=64f(−12)
12.已知函数f(x)满足f(ℎ(x))=x2，则ℎ(x)的解析式可能为( )
A. ℎ(x)=3x3+1B. ℎ(x)= |x|C. ℎ(x)=x2+xD. ℎ(x)=30x
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数f(x)=x−4,x<0,f(x−4),x≥0,则f(16)= ．
14.已知f(x)是定义在[lg2M,2]上的偶函数，则M= ．
15.定义在(0,1)上的函数f(x)=1x+91−x的最小值为 ．
16.对任意x1，x2∈[2,4]，不等式x1ax2+4≥x13+x1(a>0且a≠1)恒成立，则a的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
计算：
(1)lg2+ln(lne)+lg5;
(2)36×27−23+5×1634．
18.(本小题12.0分)
已知集合M={x|t≤x≤4−t}，N={x|1≤3x≤9}.定义集合MN={x|x∈M,x∉N}．
(1)若t=1，求MN;
(2)若MN=⌀，求t的取值范围．
19.(本小题12.0分)
已知函数f(x)=b⋅ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1，b≠0)的图象经过点A(1,10)，B(2,50)．
(1)求a，b的值;
(2)若关于x的不等式bx−(1a)x≥m+3在[−2,2]上有解，求m的取值范围．
20.(本小题12.0分)
已知函数f(x)满足f(x)+2f(−x)=3x2+6x．
(1)求f(x)的解析式;
(2)若正数m，n满足f(2m)=f(n)，且2m≠n，求2mn+n的最大值．
21.(本小题12.0分)
杭州第19届亚运会是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办.某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品.生产该款产品的固定成本为4万元，每生产x万件，需另投入成本p(x)万元.当产量不足6万件时，p(x)=12x2+x;当产量不小于6万件时，p(x)=7x+81x−632.若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完．
(1)求该款产品销售利润y(万元)关于产量x(万件)的函数关系式;
(2)当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大?
22.(本小题12.0分)
已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax2x+2−2．
(1)若a=1，求方程f(x)+1=0的解;
(2)若a=1，试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用单调性的定义证明;
(3)若a>0，集合A={x|x=3m+1,m∈Z}，且集合B={x∈A|f(x)<0}恰有16个子集，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题．
解不等式求出集合P，Q，结合并集的定义，可得答案．
【解答】
解：P={x|x≤4}，Q={x|0≤x≤7}，
则P∪Q=(−∞,7]．
2.【答案】B
【解析】【分析】
根据二次根式的性质以及指数幂的性质求出函数的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，属于基础题．
【解答】解：由题意得：
x+2>0x≠0，解得：x>−2且x≠0，
故函数的定义域是(−2,0)∪(0,+∞)．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
熟悉概念是解题的关键，由充分、必要条件的判断法则可得．
【解答】
解：因为x∈N，y∈N，
所以满足x2+y2=100的实数对(x,y)为(0,10)，(10,0)，(6,8)，(8,6)，
则“xy=0且x+y=10”是“x2+y2=100”的充分不必要条件．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数，幂函数的性质，属于基础题．
利用指数函数，幂函数的单调性比较大小，即可得解．
【解答】
解：：因为a=30.3>30.2=90.1=b>90=1，c=0.33.3<0.30=1，所以a>b>c．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：因为a225+b216≥2 a225⋅b216=110ab，
所以110ab≤2，ab≤20，
当且仅当a225=b216，即a=5,b=4或a=−5,b=−4时，等号成立．
故ab的最大值为20．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数模型的综合应用，是基础题．
设该片森林面积的年增长率为x(x>0)，则a(1+x)2023−2013=4a，得1+x=4110，再求解2027年即可．
【解答】
解：设该片森林面积的年增长率为x(x>0)，
则a(1+x)2023−2013=4a，得(1+x)10=4，即1+x=4110，
所以预计到2027年该片森林的面积为a(1+x)2027−2013=a(1+x)14=475a公顷．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查根据函数解析式判断函数的图象，属基础题．
利用函数的奇偶性和函数值的符号求解．
【解答】
解：因为f(x)的定义域为R，所以排除选项D，
因为f(−x)=(−x)2(1−22−x+1)=x2(1−2⋅2x2x+1)=x2⋅1−2x2x+1=−x2⋅(1−22x+1)=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除选项B．
当x>0时，2x+1>2，则22x+1<1，得x2(1−22x+1)>0，排除选项A．
故选C．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性解不等式，属于一般题．
构造函数F(x)=x2+xf(x)，求出F(x)在R上单调递减，利用单调性即可求解．
【解答】
解：构造函数F(x)=x2+xf(x)．
因为f(x)对任意的x1，x2(x1≠x2)都满足x1+x2+x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2<0，
所以x12−x22+x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2<0，即F(x1)−F(x2)x1−x2<0，
则可得F(x)在R上单调递减．
不等式(x+1) [x+1+f(x+ 1) ]< 0转化为(x+1)2+(x+1) f(x+1)<0，即F(x+1)<0．
因为F(0)=0，所以F(x+1)0，解得x>−1．
则不等式(x+1)[x+1+f(x+1)]<0的解集为(−1,+∞)
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查幂函数的定义，是基础题。
根据幂函数的定义得m的方程求解即可．
【解答】
解：根据幂函数定义可知m2−m+1=1，解得m=0或m=1．
当m=0时，f(x)=x−1，满足题意；
当m=1时，f(x)=x，满足题意．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查的是复合函数的单调性，属于基础题；
先求y=2x在R上单调递增，再求y=−x2+ax−3的单调性，利用同增异减可得结论；
【解答】
解：因为函数y=2x在R上单调递增，
函数y=−x2+ax−3在(−∞,a2)上单调递增，在(a2,+∞)上单调递减，
所以根据题意可得a2≤2或a2≥4，
解得a≤4或a≥8.
故选ABD．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的性质，利用赋值法求值和判断函数的奇偶性，属于中档题．
令x=y=0，求出f(0)=0，判断A，再令x=y=1，求出f(1)，再令x=y=−1求出f(−1)，判断B，令y=−1，判断C，对于D，令x=2，y=−12，可判定D．
【解答】
解：令x=y=0，则f(0)=0，A正确；
令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0，
令x=y=−1，则f(1)=−f(−1)−f(−1)=−2f(−1)，即f(−1)=0，B错误；
令y=−1，则f(−x)=−f(x)+x5f(−1)=−f(x)，
又因为f(x)的定义域为R，所以f(x)为奇函数，C正确；
令x=2，y=−12，得f(−1)=−132f(2)+32f(−12)=0，
则f(2)=1024f(−12)，D错误．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了函数的解析式，考查了学生的运算能力，属于基础题．
运用换元求解析式，计算得结论．
【解答】
解：对于选项A，令3x3+1=t，则x=(t−13)13，
得f(t)=(t−13)23，即f(x)=(x−13)23符合题意，A正确；
对于选项B，令 |x|=t，则|x|=t2，
得f(t)=x2=|x|2=t4，即f(x)=x4符合题意，B正确；
对于选项C，当x=0时，ℎ(0)=0，f(0)=0;
当x=−1时，ℎ(−1)=0，f(0)=1，不满足函数的定义，C错误；
令30x=t，则x=t30，得f(t)=(t30)2=t2900，即f(x)=x2900符合题意，D正确．
13.【答案】−8
【解析】【分析】
本题考查函数值的求法，是基础题．
推导出f(16)=f(12)=f(8)=f(4)=f(0)=f(−4)，由此能求出结果．
【解答】
解：∵函数f(x)=x−4,x<0,f(x−4),x≥0,
则f(16)=f(12)=f(8)=f(4)=f(0)=f(−4)=−8．
14.【答案】14
【解析】【分析】
本题主要考查的是函数的奇偶性，对数方程，属于基础题．
根据函数的奇偶性可得lg2M+2=0，根据对数方程求解即可．
【解答】
解：根据题意可得lg2M+2=0，则lg2M=−2，
解得M=2−2=14．
15.【答案】16
【解析】【分析】
本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查构造法以及转化思想的应用．
利用构造法，通过基本不等式转化求解函数的最值即可．
【解答】
解：因为0又因为x+(1−x)=1，
所以f(x)=1x+91−x=(1x+91−x)[x+(1−x)]
=1+9+1−xx+9x1−x≥10+2 1−xx·9x1−x=16，
当且仅当1−xx=9x1−x，即x=14时，等号成立，
所以函数f(x)=1x+91−x的最小值为16．
16.【答案】4,+∞
【解析】【分析】
本题主要考查的是不等式的恒成立问题，指数函数的单调性，函数的最值，属于中档题．
将不等式转化为ax2⩾x12+1−4x1，则ax2min⩾x12+1−4x1max，结合函数的单调性求得x12+1−4x1max，再对a分类讨论，求出ax2min得到关于a的不等式，求解即可．
【解答】
解：因为x1，x2∈[2,4]，所以不等式x1ax2+4≥x13+x1可转化为ax2⩾x12+1−4x1，根据题意可得ax2min⩾x12+1−4x1max，
因为函数fx=x2+1−4x在[2,4]上单调递增，所以fxmax=f4=42+1−44=16，
当0当a>1时，函数g(x)=ax上单调递增，则gxmin=g2=a2⩾16，解得a⩾4．
故实数a的取值范围是4,+∞．
17.【答案】解：(1)lg2+ln(lne)+lg5
=lg(2×5)+ln1
=lg10=1．
(2)36×27−23+5×1634=36×(2713)−2+5×(1614)3
=36×3−2+5×23
=36×19+5×8=44．
【解析】本题考查对数、指数的运算性质的应用，考查化简、变形能力．
(1)根据对数运算性质将原式化简、求值．
(2)根据指数的运算性质将原式化简、求值．
18.【答案】解：(1)由题意得M={x|1≤x≤3}．
由1≤3x≤9，得0≤x≤2，则N={x|0≤x≤2}，
所以∁RN={x|x<0或x>2}，
所以MN=(2,3]；
(2)由MN=⌀，得M⊆N.
当M=⌀时，t>4−t，解得t>2；
当M≠⌀时，由t≤4−t,4−t≤2,t≥0,解得t=2．
综上，t的取值范围是[2,+∞).
【解析】本题考查集合的新定义、考查集合的运算和包含关系，属于一般题．
(1)求出M，N，由新定义即可求解;
(2)由MN=⌀，得M⊆N，对M进行分类讨论即可求解．
19.【答案】解：(1)由题意得b⋅a=10b⋅a2=50,
解得a=5b=2；
(2)由(1)得a=5，b=2，
因为函数y=bx=2x在[−2,2]上单调递增，
函数y=(1a)x=(15)x在[−2,2]上单调递减，
所以g(x)=bx−(1a)x在[−2,2]上单调递增，
所以g(x)在[−2,2]上的最大值为g(2)=22−(15)2=9925，
因为关于x的不等式bx−(1a)x≥m+3在[−2,2]上有解，
所以m+3≤9925，
解得m≤2425，
即m的取值范围为(−∞,2425].

【解析】本题考查由函数值求参或自变量、判断或证明函数的单调性、利用函数的单调性求最值，不等式存在性问题，属于中档题．
(1)代入A点和B点坐标，得出b⋅a=10b⋅a2=50，即可求出结果；
(2)判断出g(x)=bx−(1a)x在[−2,2]上单调递增，利用函数的单调性求出函数的最大值，根据不等式有解问题，即可求出结果．
20.【答案】解：(1)由f(x)+2f(−x)=3x2+6x， ①
可得f(−x)+2f(x)=3x2−6x， ②
②×2− ①得f(x)=x2−6x．
(2)因为f(x)图象的对称轴为直线x=3，且f(2m)=f(n)，
所以2m+n=6．
因为2m+1+n=7，
所以2mn+n=(2m+1)n≤(2m+1+n2)2=494，
当且仅当2m+1=n，即m=54，n=72时，等号成立，
故2mn+n的最大值为494．
【解析】本题考查求函数的解析式和最值问题，属于一般题．
(1)构造f(−x)+2f(x)=3x2−6x，联立已知即可求解;
(2)先求出2m+n=6，再利用基本不等式即可求解．
21.【答案】解：(1)当0当x≥6时，y=6x−(7x+81x−632)−4=−x−81x+552．
综上，y=−12x2+5x−4,0(2)当0所以当x=5时，y取得最大值，最大值为8.5万元．
当x≥6时，y=−x−81x+552≤−2 x⋅81x+552=9.5，
当且仅当x=81x，即x=9时，y取得最大值，最大值为9.5万元．
综上，当产量为9万件时，该工厂在生产中所获得利润最大，最大利润为9.5万元．
【解析】本题重点考查分段函数和基本不等式的实际应用，属于一般题．
(1)分别求出0(2)对x进行分类讨论，利用二次函数和基本不等式即可求解．
22.【答案】解：(1)令 fx+1=0 ，得 x2x+2−2+1=0 ，
即 x2=x+2 ，解得 x=−1 或2．
因为 fx 的定义域为 0,+∞ ，
所以方程 fx+1=0 的解为 x=2 ．
(2)fx 在 0,+∞ 上单调递增．
任取 x1,x2∈0,+∞ ，且 x1则 fx1−fx2=x12x1+2−2−x22x2+2+2=x12x2+2−x22x1+2x1+2x2+2=x1−x2x1x2+2x1+2x2x1+2x2+2 ．
因为 00,x1+2>0,x2+2>0 ，
所以 fx1−fx2<0 ，即 fx1(3)不等式 fx<0 即 ax2x+2−2<0 ，得 ax2−2x−4<0 ．
因为 Δ=4+16a>0 ，所以方程 ax2−2x−4=0 的两根为 x1=1− 1+4aa,x2=1+ 1+4aa ．
因为 a>0 ，所以 1+4a>1 ，所以 1− 1+4aa<0 ，
则不等式 fx<0 的解集为 0,1+ 1+4aa ．
因为集合 B 恰有16个子集，所以集合 B 中有4个元素，分别为 1,4,7,10 ，
则 10<1+ 1+4aa≤13 ，即 10a−1< 1+4a≤13a−1 ，
由 13a−1>1 得 a>213 ，所以 10a−1>0 ，
将 10a−1< 1+4a≤13a−1 两边平方得 10a−12<1+4a≤13a−12 ，
由 10a−12<1+4a 整理得 25a2−6a<0 ，解得 0由 1+4a≤13a−12 ，整理得 169a2−30a≥0 ，解得 a≥30169 ．
解得 30169≤a<625 ，即 a 的取值范围为 30169,625 ．

【解析】本题考查函数的单调性，解一元二次不等式，是较难题．
(1)令 fx+1=0 ，结合定义域解一元二次方程即可；
(2)根据单调性的定义以及证明步骤进行证明即可；
(3)结合函数的定义域解不等式 fx<0 ，再根据子集个数确定根的范围，再解一元二次不等式组得出结果．