江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了对于三次函数，给出定义等内容，欢迎下载使用。

（在此卷上答题无效）
萍乡市2023—2024学年度第二学期期中考试
高二数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人的准考证号､姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，监考员将试题卷､答题卡一并收回.
第I卷
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知甲､乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（ ）
①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢；
②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快；
③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢；
④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.等差数列中，，则（ ）
A.40 B.30 C.20 D.10
3.设在上的导函数为，若，则（ ）
A.-2 B.2 C.-6 D.6
4.数列满足，前项和为，对任意正整数都有，则（ ）
A.18 B.28 C.40 D.54
5.等比数列中，，函数的导函数为，则（ ）
A.-8 B.4 C.-2 D.0
6.我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行､每列､每条对角线上的三个数字之和相同（如图）.已知数列的通项公式为，现将该数列的前16项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（ ）
A.60 B.72 C.76 D.80
7.对于三次函数，给出定义：是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（ ）
A.2022 B.2023 C.2024 D.2025
8.对于任意实数，不等式恒成立，则集合的一个子集为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法正确的是（ ）
A.为递增数列 B.为递增数列
C.中最小项的值为1 D.
10.奇函数满足对于任意，有，其中为的导函数，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知，若函数的三个不同零点依次构成等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷
注意事项：
第II卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，则__________.
13.足球世界杯小组赛中，同一小组的每支队伍都必须和组内其他队伍各进行一场比赛，比如组中有4支队伍，则该组需要进行6场比赛.按此规则，设一个含有支球队的小组中进行的所有比赛场次为场，则__________.
14.已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，且满足.
（1）求的值；
（2）试猜想的通项公式，并证明.
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若函数，求在点处的切线方程；
（2）试判断的单调性，并证明；
（3）证明：.
17.（本小题满分15分）
正项等差数列的公差与正项等比数列的公比相同，且，，数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和.
18.（本小题满分17分）
函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数图象上存在两点，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”？若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，请说明理由.
19.（本小题满分17分）
函数.
（1）当时，求的极值点个数；
（2）若时，单调递减，求的取值范围；
（3）求证：.
萍乡市2023—2024学年度第二学期期中考试
高二数学试题参考答案及评分标准
一､单项选择题（8×5=40分）：
1-5DBCBA；6-8CBD.
二､多项选择题（3×6=18分）：
9.ABD；10.ABC；11.AD，
【说明：第9､10题全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分：第11题全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分.】
三､填空题（3×5=15分）：
12.； 13.； 14..
四､解答题（共77分）
15.（1）由题知，，解得，
同理，，解得；
（2）由（1）可猜想，证明如下：
已知，当时，有，
化简得，即，
则有，
又，故，
则，
当时，上式仍成立，则.
16.（1）由题知，，则，
则
又，故切点为，
切线方程为：，即；
（2）函数在定义域上单调递减，证明如下：
已知，设，则，
时，单调递增；时，单调递减，
则，即，故在定义域上单调递减；
（3）要证，即证，即证，
设，则，
时，单调递增；时，单调递减，
则，故成立，证毕.
17.（1）设等比数列的公比为，则等差数列公差也为，由题知，又，且，得，
即，解得或，
当时，由得：，又，解得，
则的通项公式分别为：，
当时，由得：，又，解得，不合题意，
综上，数列的通项公式分别为：；
（2）由（1）可得，
两式相减得：.
故的前项和.
18.（1）由题知，，
令，则，
当时，，则恒成立，故在定义域上单调递增；
当时，的两根分别为，
若，则，且时，单调递增；时，单调递减，
若，则，且时，单调递增；时，，单调递减，
综上：当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），若是拉格朗日中值函数，则需满足存在，且，使得，
即，即，
①当时，上式对任意的都成立，则为拉格朗日中值函数，的拉格朗日平均值点有无数个；
②当时，需满足，设，即需方程在区间上有解，
令在上单调递增，
当时，，即方程在区间上无解，
综上：当时，为拉格朗日中值函数，的拉格朗日平均值点有无数个；当时，不是拉格朗日中值函数.
19.（1）由题知，，
令，得，
故在和上单调递减，在上单调递增；
则在处有极小值，在处有极大值，即有2个极值点；
（2），由题知，当时，恒成立，即，
设，故在上单调递减，
则，故；
（3）由（2）知，时，，
令，得，
即
则，
…
将以上各不等式左､右两边分别相加得：
，
即，
即
即
故，得证.