江西省萍乡市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．
3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，若，则a的值可能为（ ）
A. ，3B. C. ，3，8D. ，8
【答案】D
【解析】
【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解.
【详解】由题意若，解得或，若，解得，
当时，满足题意，
当时，违背了集合中元素间的互异性，
当时，满足题意，
综上所述，a的值可能为，8.
故选：D.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若是奇函数，则
B. 若（m为常数）是幂函数，则不等式的解集为
C. 函数在上是减函数
D. 与为同一函数
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇函数的性质判断A；利用幂函数的定义确定的值，从而利用单调性解不等式，可判断B；利用反比例函数的单调性判定C；利用函数的对应关系判断D.
【详解】对于A，若是奇函数，且定义域中包含0，才有，A错误；
对于B，若（m为常数）是幂函数，则，得，
所以，其在上为减函数，
若，则，
解得，B正确；
对于C，函数在和上是减函数，C错误；
对于D，函数，与不是同一函数，D错误.
故选：B.
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性质证明正确选项，举反例排除错误选项即可.
【详解】对于A，当时，无意义，故A错误，
对于B，当时，无意义，故B错误，
对于C，若且，则，，故C正确，
对于D，令，则，，显然，故D错误，
故选：C
4. 太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊净水器处理成饮用水循环使用．净化过程中，每过滤一次可减少水中杂质10%，要使水中杂质减少到原来的1%以下，至少需要过滤的次数为（参考数据：）（ ）
A. 42次B. 43次C. 44次D. 45次
【答案】C
【解析】
【分析】由条件列不等式，结合指数、对数的运算性质求解即可.
【详解】设经过次过滤达到要求，原来水中杂质为1，
由题意，即，
所以，
所以，
所以至少需要过滤的次数为44次.
故选：C.
5. 已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先比较出，由已知可得函数在上为增函数，从而可解.
【详解】因为函数在上为增函数，
所以，
由于，
又，，则，
所以，
函数是定义域为R偶函数，且在上单调递减，
则在上为增函数，
所以，
即.
故选：A
6. 甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则乙最终获胜的概率为（ ）
A. 0.36B. 0.352C. 0.288D. 0.648
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得乙最终获胜有两种情况：一是前两局乙获胜，二是前两局乙胜一局，第三局乙获胜，然后由独立事件和互斥事件的概率公式求解即可.
【详解】由题意可得乙最终获胜有两种情况：
一是前两局乙获胜，则获胜的概率为，
二是前两局乙胜一局，第三局乙获胜，则获胜的概率为，
而这两种情况是互斥的，所以乙最终获胜的概率为.
故选：B.
7. 若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先由平移法则得函数表达式，结合指数函数图象与性质即可判断.
【详解】由题意可知图象上点变换成点，
意味着函数的图象向右平移一个单位且向下平移2个单位，
此时对应的函数解析式为，
若，则时，且单调递减，时，且单调递增，
对比选项可知D选项符合题意.
故选：D.
8. 已知，且满足，则的值为（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，判断出的单调性、奇偶性，利用性质可得答案.
【详解】因为，所以，
令，因为在上都为单调递增函数，
所以在上都为单调递增函数，
又时，，所以为奇函数，
所以，所以，又，
所以，可得，即.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，利用函数的单调性、奇偶性解题.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”
B. “菱形是正方形”是全称命题
C. 式子化简后为
D. “”是“，有为真命题”的充分不必要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，由命题否定的定义即可判断；对于B，由全称量词命题的定义即可判断；对于C，首先，由此即可进一步化简验算；对于D，首先得“，有为真命题”的充要条件，由此即可求解.
【详解】对于A，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数能被3整除”，故A符合题意；
对于B，“菱形是正方形”即“所有的菱形是正方形”是全称命题，故B不符合题意；
对于C，若式子有意义，则，即，
所以，故C不符合题意；
对于D，，有，等价于，有，等价于，
所以“”是“，有为真命题”的必要不充分条件，故D符合题意.
故选：AD.
10. 已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 图象的对称中心为
C. 在区间上单调递减D. 满足的x的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】选项A，只需将代入等式，求解即可；选项B，将等式变形为，可得出其对称性；选项C，结合对称性和函数的单调性，可得出函数在区间上的单调性；选项D，先讨论函数在上的符号，结合的符号，解不等式即可.
【详解】对于选项A，将代入等式，可得，选项A错误；
对于选项B，若函数满足，即，
则函数的图象关于点对称，选项B正确；
对于选项C，函数在区间上单调递减，且函数的图象关于点对称，
所以函数在区间上也单调递减，选项C正确；
对于选项D，显然函数在上单调递减，且，
由，可得：
当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
所以不等式的解集为，选项D不正确.
故选：BC.
11. 已知样本甲：与样本乙：满足关系，则下列结论错误的是（ ）
A. 样本乙的极差等于样本甲的极差
B. 若某个为样本甲的中位数，则是样本乙的中位数
C. 样本乙的众数小于样本甲的众数
D. 若某个为样本甲的平均数，则是样本乙的平均数
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用极差、众数、中位数、平均数的定义和性质即可求解．
【详解】由样本甲：，，，…，与样本乙：，，，…，满足，知：
样本乙的极差不等于样本甲的极差，例如样本甲：0，1，2与样本乙：，故A中结论不正确；
不妨令，
因为在上单调递减，则，
所以若某个为样本甲中位数，则是样本乙的中位数，故B中结论正确；
因为在上单调递减，则样本乙的众数等于样本甲的众数，故C中结论不正确；
若某个为样本甲的平均数，则不一定是样本乙的平均数，
例如样本甲：0，1，2与样本乙：，故D中结论不正确．
故选：ABD．
12. 已知函数，若函数与函数的零点相同，则的取值可能是（ ）
A. 2B. C. 0D. 4
【答案】AC
【解析】
【分析】通过零点相同可确定，解得，，进而确定函数与函数的解析式，利用零点相同将问题转化成方程无解或与方程的解相同，进而求解.
【详解】设的零点为，则，又，
故，解得，则．
，
因为函数与函数的零点相同，
所以方程无解或与方程的解相同，
所以或，解得，
所以．
故选：AC
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某班拟从2名男学生和1名女学生中随机选派2名学生去参加一项活动，则恰有一名女学生和一名男学生去参加活动的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】由列举法求古典概型概率即可.
【详解】设2名男学生分别为,1名女学生为，
所以选派2名学生去参加一项活动共有：三种情况，
符合题意的情况有两种，
所以恰有一名女学生和一名男学生去参加活动的概率是.
故答案为：.
14. 在一次篮球比赛中，某球队共进行了9场比赛，得分分别26，37，23，45，32，36，40，42，51，则这组数据的60%分位数为______．
【答案】40
【解析】
【分析】利用百分位数的定义求解即可.
【详解】将得分从小到大排列有
又，所以这组数据的第60百分位数为第6个数，即40.
故答案为：40
15. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】由题可得a，b是关于的一元二次方程的两个不同的实数根，由根与系数的关系可求出的值，进而可得，再由不等式“1”的代换即可求出答案.
【详解】因为区间是关于的一元二次不等式的解集，
则a，b是关于的一元二次方程的两个不同的实数根，
则有，，，，
所以，且a，b是两个不同的正数，
则有
，
当且仅当时即，等号成立，
满足，故的最小值是.
故答案为： .
16. 记表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】通过数形结合首先得，进一步若要满足题目条件，只需，由此即可得解.
【详解】如图所示：

若，则函数的图象与函数的图象只有1个交点，
即函数恰有1个零点，不符合题意；
如图所示：

若函数恰有2个零点，且，
所以函数的图象与函数的图象有两个交点，
显然当时，函数的图象与函数的图象有1个交点，
只需保证当时，函数的图象与函数的图象有1个交点，
则，解不等式组得，
综上所述，实数a的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：首先得到，进一步通过画图，列出满足题意的不等式组即可顺利得解.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知，集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知求得集合，，由交集运算即可得出结果.
（2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，讨论，两种情况，求解即可.
【小问1详解】
当时，集合，可得或，
所以；
【小问2详解】
由题知，集合A是集合B的真子集，
当时，，即，符合题意，
当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得，
综上，实数a的取值范围为．
18. 已知函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）．
【答案】18. 单调递增，证明见解析
19. 2.6（内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合单调性的定义分析证明；
（2）根据单调性以及零点存在性定理可知在内有且仅有一个零点，结合二分法分析求解.
【小问1详解】
在单调递增；证明如下：
任取，不妨设，，
因为，则，，，
可得，即，
所以在上单调递增.
【小问2详解】
因为函数在区间上是连续且单调的，
可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解，
且，，可得在内有且仅有一个零点，
在区间上利用二分法列表如下：
此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间，
即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解．
19. 已知函数（，且），从下面两个条件中选择一个进行解答．
①的反函数经过点；②的解集为．
（1）求实数a的值；
（2）若，，求的最值及对应x的值．
【答案】（1）
（2）当时，；当时，
【解析】
【分析】（1）根据所选的条件，利用对数的性质解方程求参数a即可；
（2）由（1）得，换元法有，则，结合二次函数性质求最值，并确定对应x的值.
【小问1详解】
若选①：由题知，函数的反函数为，则，即；
若选②：由题知，的解集为，
因为，所以，即；
【小问2详解】
由（1）知，，则，
令，则，
当，即时，；当，即时，，
综上：当时，；当时，．
20. 从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4．
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校800名男生身高的中位数；
（3）从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为x，y，记为事件E，求．
【答案】（1）0.06
（2）174.5cm （3）
【解析】
【分析】（1）由频率和（即小矩形的面积和）为，求得结果即可；
（2）频率分布直方图中的中位数两侧矩形的面积和（频率）各占；
（3）由古典概型计算公式分别计算基本事件总数和事件E包含的基本事件个数，求解即可.
【小问1详解】
第六组的频率为，
则第七组的频率为；
【小问2详解】
由图知，身高在的频率为，
在的频率为，
在的频率为，
在的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由，得，
所以这所学校800名男生身高的中位数为174.5cm；
【小问3详解】
样本身高在第六组的人数为4，设为a，b，c，d，
在第八组的人数为，设为A，B，
则从中随机抽取两名男生有：，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，
当且仅当随机抽取的两名男生在同一组时，事件E发生，所以事件E包含的基本事件为，，，，，，共7种情况，
所以．
21. 已知，函数，．
（1）若，求不等式的解集；
（2）求不等式的解集；
（3），不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）运用换元法求解不等式即可.
（2）讨论参数范围，求解不等式即可.
（3）运用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可.
【小问1详解】
令，，即，解得或，所以或，解得；
【小问2详解】
依题意得，，即，
当时，；当时，x的解集为空集；当时，；
【小问3详解】
依题意得，因为，所以，
又，，当且仅当时，取得等号，所以，即．
22. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2020到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示（注：第4年数据为截止到2023年10月底的数据）．
（1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立年后会员人数y（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2023年年末的会员人数；
①；②（且）；③（且）；
（2）为了更好的维护管理平台，该平台规定第x年的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求k的最小值．
【答案】（1）选择模型③，，84
（2）7
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将代入函数模型解析式，即可得解；
（2）由已知可得出，令，则，令，求出函数在区间上的最大值，即可得实数k的最小值.
【小问1详解】
由数据可知，函数是一个增函数，且增长越来越快，故选择模型③，
由表格中的数据可得，，，解得，，，
故函数模型的解析式为，
当时，预测2023年年末的会员人数为千人；
【小问2详解】
由题知，对，都有，令，则，
令，则不等式右边等价于函数，
因为函数在区间上单调递增，所以，
故，即k的最小值为7．区间
中点
中点函数值
区间长度
1
建立平台第x年
1
2
3
4
会员人数y（千人）
28
36
52
82