2021-2022学年江西省萍乡市高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2021-2022学年江西省萍乡市高一下学期期中数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简求解即可.
【详解】.
故选：B.
2．对于空间任意两个非零向量，，“”是“为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分和必要条件的定义法，结合向量的数量积公式，进行推导即可得解.
【详解】根据向量的夹角范围，若，可以为钝角也可能为角，
故推不出为钝角，
若为钝角，则利用向量数量积公式可得，
故为钝角能推出，
所以“”是“为钝角”的必要不充分条件.
故选：B
3．下列说法错误的是( )
A．是第三象限角B．
C．第一象限角为锐角D．函数的最小正周期为
【答案】C
【分析】依次利用利用终边相同角的定义，角度制化弧度制的公式，第一象限角的定义，画出函数的图象，即可判断每一个选项的正误.
【详解】对于选项，由于，和终边相同的角为，
的终边在第三象限，则是第三象限角，即选项正确；
对于选项，由于，则，即选项正确；
对于选项，第一象限角的集合为，则第一象限角不一定为锐角，即选项不正确；
对于选项， 由此画出函数的函数图象，如下图所示，观察图象可知该函数的周期为，即选项正确；
故选：.
4．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【分析】是表示平面内所有向量的一组基底，找出不能作为一组基底的向量方法是验证它们是否共线即可.
【详解】对于D，有2()=，即两向量共线，不符合基底的要求；
显然，对于A、B、C，不存在常数，使、、成立，即两向量不共线，故它们均可作为基底.
故选：D
5．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用最大值可得；由图象可得，由最小正周期可求得；由可求得，从而得到.
【详解】由图象可知：，即；
若最小正周期为，则，，解得：；
又，，
解得：，又，，
.
故选：A.
6．函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先利用奇偶性排除部分选项，再由函数的最大值与1的关系判断.
【详解】解：因为，
所以是奇函数，故排除AC，
又，故排除B
故选：D
7．已知函数在区间上单调递减，且其图象过点，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，列出不等式，求得的范围，结合选项，即可求解.
【详解】由，可得，
因为函数在区间上单调递减，
可得且，解得，
又由函数的图象过点，可得，即，
解得或，
当时，可得，所以的值可能为.
故选：D.
8．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角，，所对的边分别为，，，则的面积.已知在中，，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合余弦定理得，，，再根据公式求解即可.
【详解】解：∵，
又∵，∴.
∴（当且仅当时取等号）.
∴.
∴面积的最大值为.
故选：A.
二、多选题
9．已知向量，，则（ ）
A．若与垂直，则B．若，则的值为
C．若，则D．若，则与的夹角为45°
【答案】ABD
【分析】根据向量共线与垂直的坐标表示得到方程，计算即可判断A、B，再根据向量模及夹角的坐标表示计算判断C、D；
【详解】解：因为，，对于A：若与垂直，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：若，则，解得，故C错误；
对于D：若，则，设与的夹角为，则，因为，所以，故D正确；
故选：ABD
10．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
B．的图象关于直线对称
C．的表达式可以改写为
D．是函数的一个对称中心
【答案】BD
【分析】对于A，根据 “左加右减”的平移规律以及诱导公式即可判断；对于B，利用正弦函数的对称轴公式即可判断；对于C，利用诱导公式可以判断；对于D，利用正弦函数的对称中心公式可以判断.
【详解】对于A，函数的图象向左平移个单位得：
，A错误；
对于B，函数，令
解得：，当时，，B正确；
对于C，由诱导公式得，
，C错误；
对于D，函数，令
解得：，当时， ，D正确；
故选：BD.
11．将函数向右平移个单位长度得到函数，若函数在上的值域为，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】由三角函数平移变换原则可得；根据的值可求得的范围，由正弦函数值域可确定所满足的条件，解不等式即可求得的范围.
【详解】由题意得：；
当时，，
，，，解得：，
实数的取值可以是，，.
故选：BCD.
12．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则一定为直角三角形
D．若，则一定是锐角三角形
【答案】AC
【分析】由大角对大边，结合正弦定理，可判定A正确；由正弦定理得到，得到或，可判定B错误；由正弦定理和两角和正弦公式，化简得到，可判定C正确；由余弦定理得到，但不一定是锐角，可判定D错误.
【详解】对于A中，由，可得，根据正弦定理得，所以A正确；
对于B中，因为，由正弦定理得，
即，所以或，则是等腰三角形或直角三角形，
所以B错误；
对于C中，因为，由正弦定理可得，又由，可得，
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以C正确；
对于D中，由，可得，所以C为锐角，
但不一定是锐角，所以D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．若非零向量，满足，则与所成角的大小为________．
【答案】
【分析】根据，两边平方化简求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以与所成角的大小为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14．东方设计中的“白银比例”是，它的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”，传达出一种独特的东方审美观．折扇的纸面可看作是从一个大扇形纸面中剪掉一个小扇形纸面后剩下的图形（如图）．设制作折扇时剪下的小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面看上去较为美观，那么剪下的小扇形半径与原大扇形半径之比的平方为________．
【答案】
【分析】利用扇形面积公式可得，整理化简即可得到.
【详解】设扇形的圆心角为，小扇形半径为，大扇形半径为，
则，即，
，即.
故答案为：.
15．如图，为了测量河对岸的塔高，选与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得米，则塔高________米．
【答案】20
【分析】设塔高为，利用和分别表示出、，然后在中利用余弦定理，求出即可.
【详解】设塔高为，
在中，
在中，
在中，由余弦定理得：

即： 解得 .
故答案为：20.
16．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若存在，使得，则的最小值为________．
【答案】
【分析】由三角函数平移变换和诱导公式可得，根据的值域可确定的取值，由此可得，令即可得到所求最小值.
【详解】由题意得：；
，，，
，，；
当时，.
故答案为：.
四、解答题
17．已知第一象限角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且．
(1)求及的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据三角函数定义，求出与的关系式，解出的值，再利用正切表达式求出正切值即可；
（2）利用由（1）得出的结论求出正弦值，然后代入即可求解.
【详解】(1)依题意
整理得，解得或
因为为第一象限角，则，
故
.
(2)（2）由（1）知，则，
则
18．如图：直角三角形ABC中，ACBC，AB=2，D是AB的中点，M是CD上的动点，
（1）若M是CD的中点，求的值；
（2）)·的最小值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据向量的线性运算，得且，因此，再代入题中数据即可得到的值；
（2）设，则，由三角形中线的性质化简得，接下来求二次函数在区间，上的最值，即可得解．
【详解】解：（1）是的斜边上的中线，
，得
，，
．
（2）设，则．其中
是的中线，，
得
，
当且仅当时，的最小值为．
即当时，的最小值为．
19．在中，角，，所对的边分别是，，，且
(1)若，，求；
(2)若，试判断的形状.
【答案】(1)1
(2)等边三角形
【分析】（1）先求出角，然后结合已知条件，利用正弦定理求出角A，进而可得角C，从而可得答案；
（2）利用余弦定理，结合已知条件可得，则有，从而即可判断的形状.
【详解】(1)解：在中，由，，得，
因为，，
所以由正弦定理，可得，即，
又，所以，
所以，
所以；
(2)解：因为，所以，又由余弦定理有.
所以，即，
所以，
所以，又，
所以，
所以是等边三角形.
20．已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为．
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
【答案】(1)增区间为，，减区间为，
(2)
【分析】（1）由题意，可得，从而令，可得增区间，令，可得减区间；
（2）原问题等价于方程在区间上有两个不相等的实根，由（1）单调性可知在单调递增，在单调递减，利用数形结合即可求解.
【详解】(1)解：设的周期为，由题意，所以，即，
所以函数的解析式是，
令，解得，，
所以的增区间为，，
令，解得，，
所以的减区间为，；
(2)解：由（1）可知，的减区间为，单调增区间为，，
又因为，所以在单调递增，在单调递减，
又因为，，，
因为关于的方程在区间上有两个不相等的实根，即方程在区间上有两个不相等的实根，
所以，
所以实数的取值范围为.
21．在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
在中，内角，，的对边分别是，，，且___________.
（1）求角的大小；
（2）若点满足，且，求面积的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.
【分析】（1）选①：由正弦定理得，整理得，利用余弦定理可得解；选②：利用余弦定理得，再利用余弦定理可得解；选③：利用余弦定理得，化简得，即可求解；
（2）由，可知，利用余弦定理化简整理得，再利用基本不等式结合面积公式可求最值.
【详解】若选①：（1）由正弦定理得，
所以，整理得，
所以，
又，所以.
若选②：（1）由余弦定理得，化简得，
所以，
又，所以.
若选③：（1）由余弦定理得，化简得
又，所以.
（2），所以，
在中，由余弦定理知，，
即，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
从而，，
所以面积的最大值.
【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
22．已知函数是上的奇函数．
(1)求实数的值，并指出的单调性；
(2)若对一切实数满足，求实数的取值范围．
【答案】(1)；在上单调递增
(2)
【分析】（1）利用在上的奇函数的定义：求解，然后对分离常数，利用复合函数单调性判断单调性即可；
（2）法1：利用奇函数和单调性变形式子，然后参变分离，运用换元法构造新函数求其最值即可；法2：利用奇函数和单调性变形式子，然后将所有因式移到同一边，运用换元法构造新函数，讨论参数得出结论.
【详解】(1)由是上的奇函数可知，
即，因此；
又，由复合函数单调性可知，在上单调递增.
(2)【法1：参变分离】
依题意，，
由的单调性可知：，即；
令，原问题等价于对任意恒成立..
令
①当时，；
②当时，令，
则，
当且仅当，即时，取到最大值.
综合①②可知，，故的取值范围为.
【法2：带参讨论】
依题意，，
由的单调性可知：，即
令，原问题等价于对任意恒成立，令，则其最小值大于0；
①当时，，，不合题意；
②当时，开口向下，则 ，解得；…
③当时，开口向上，对称轴，
则 或 ，解得；
综合①②③可知，的取值范围为.