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    江西省萍乡市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷(含答案)
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    江西省萍乡市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷(含答案)

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    这是一份江西省萍乡市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷(含答案),共13页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.已知向量,则与方向相反的单位向量的坐标为( )
    A.B.C.D.
    2.已知角α的终边经过点,则( )
    A.B.C.D.
    3.设的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则( )
    A.B.C.D.
    4.在梯形中,,,,则( )
    A.-1B.1C.D.
    5.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则( )
    A.B.C.D.
    6.在中,点D为边的中点,点E在边上,且,则( )
    A.B.C.D.
    7.在中,点D为边的中点,,,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    8.函数在上存在零点,且在上单调,则ω的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9.下列说法正确的是( )
    A.在中,若,则B.在中,若,,且该三角形有两解,则a的取值范围为C.若向量,,则在方向上的投影向量的坐标为D.若扇形的周长是,面积是,则该扇形的圆心角的弧度数为3
    10.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则的面积可能为( )
    A.1B.C.D.2
    11.函数,下列结论正确的是( )
    A.的图象关于直线对称
    B.的一个周期为
    C.函数的图象与直线为常数在区间上不可能存在3个交点
    D.在上单调递增
    三、填空题
    12.如图,A,B两地之间隔了一个湖,在与A,B同一平面内取一点C,测得,,,则A,B两地之间的距离为______.
    13.点G是的重心,点M,N分别在边和上,且满足,其中若,与的面积之比是,则______.
    四、双空题
    14.已知函数与y轴交点的纵坐标为1,且恒成立,则函数是______填“奇”或“偶”函数;当时,______.
    五、解答题
    15.在,两个条件中任选一个补充到下面的问题中,并解答.已知角,且_____.求的值;求的值.
    16.已知:、、是同一平面内的三个向量,其中若,且,求的坐标;若,且与的夹角为锐角,求实数的取值范围.
    17.如图,在中,,,.求的值;设D,E分别是边,上的点,记,,,若的面积总保持是面积的一半,求z的最小值.
    18.筒车发明于隋而盛于唐,是山地灌溉中一种古老的提水设备,距今已有多年的历史,它以水流作动力,取水灌田如图,为了打造传统农耕文化,某景区的景观筒车直径12米,有24个盛水筒均匀分布,分别寓意一年12个月和24节气,筒车转一周需48秒,其最高点到水面的距离为10米,每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动,盛水筒A视为质点的初始位置到水面的距离为7米.
    盛水筒A经过t秒后到水面的距离为h米,求筒车转动一周的过程中,h关于t的函数解析式;为了把水引到高处,在筒车中心O正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽,筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后,把水倒入盛水槽,求盛水筒A转一圈的过程中,有多长时间能把水倒入盛水槽参考数据:
    19.定义域为R的函数满足:对任意,都有,则称具有性质P.分别判断以下两个函数是否具有性质P:和;函数,判断是否存在实数ω,φ,使具有性质P?若存在,求出ω,φ,的值;若不存在,请说明理由;在结论下,若方程(a为常数在区间上恰有三个实数根,,,求的值.
    参考答案
    1.答案:A
    解析:向量,则与方向相反的单位向量的坐标为.故选:A.根据已知条件,结合向量模公式,以及向量共线的性质,即可求解.本题主要考查向量模公式,以及向量共线的性质,是基础题.
    2.答案:B
    解析:角α的终边经过点,则,则.故选:B.根据三角函数定义和诱导公式即可得.本题考查任意角三角函数的定义,属于基础题.
    3.答案:B
    解析:,由正弦定理可知,,B为三角形的内角,则,故,即.故选:B.结合正弦定理,即可求解.本题主要考查正弦定理的应用,属于基础题.
    4.答案:C
    解析:如图,在梯形中,,,,则.故选:C.由题意画出图形,展开数量积公式,再由数量积的几何意义得答案.本题考查平面向量数量积的性质及运算,考查数量积的几何意义,是中档题.
    5.答案:D
    解析:函数的图象向右平移个单位长度,得到;由于得到的函数图象与的图象重合,且,故.故选:D.直接利用函数图象的平移变换和三角函数的诱导公式求出结果.本题考查的知识点:函数的图象的平移变换,三角函数的诱导公式,主要考查学生的运算能力,属于基础题.
    6.答案:D
    解析:在中,点D为边的中点,点E在边上,且,.故选:D.根据向量的线性运算,即可求解.本题考查向量的线性运算,属基础题.
    7.答案:A
    解析:因为为中线,,,所以,两边平方可得,即,即,由余弦定理可得,可得,,所以,可得,即的最小值为2.故选:A.由中线的向量表示,再由余弦定理可得的表达式,进而可得的最小值.本题考查中线的向量应用及余弦定理,基本不等式的应用,属于中档题.
    8.答案:B
    解析:当时,,在上存在零点,所以,,又在上单调,此时,,解得,综上,.故选:B.由已知结合函数零点存在条件及正弦函数的单调性即可求解.本题主要考查了正弦函数单调性及零点存在条件的应用,属于中档题.
    9.答案:BC
    解析:令,,满足,但,故A错误;,,且该三角形有两解,则,即,故B正确;向量,,,,则在方向上的投影向量的坐标为:,故C正确;设扇形的半径为r,弧度数为α,扇形的周长是,面积是,则,解得或,故D错误.故选:BC.结合特殊值法,三角形有两解边之间的关系,投影向量公式,扇形面积、周长公式,即可求解.本题主要考查命题的真假判断与应用,属于基础题.
    10.答案:ABC
    解析:因为,,由余弦定理可得,当且仅当时取等号,可得,所以,即故选:ABC.由余弦定理和基本不等式可得的范围,进而求出面积的范围,即可得答案.本题考查余弦定理及基本不等式的性质的应用,属于中档题.
    11.答案:ABD
    解析:A中,因为,,所以,所以函数关于对称,所以A正确;B中,因为,所以函数的一个周期为,所以B正确;C中,当时,与有三个交点的横坐标分别为,,,所以C错误;D中,因为时,,所以单调递增,单调递减,所以单调递减,所以单调递增,即在上单调递增,所以D正确.故选:ABD.分别由函数的对称性及周期性判断出A,B的真假;举例时,可得存在3个交点,判断出C的真假;再由函数的单调性,判断出D的真假.本题考查三角函数的性质应用,属于中档题.
    12.答案:
    解析:因为,,,由余弦定理可得.故答案为:.由题意及余弦定理可得的距离.本题考查余弦定理的应用,属于基础题.
    13.答案:或
    解析:G是的重心,,又点M,N分别在边和上,且,设,,,,,又与的面积之比为,联立解得或.故答案为:或.根据的重心的性质,向量的线性运算,向量共线定理,方程思想,即可求解.本题考查向量的线性运算,向量共线定理的应用,方程思想,属中档题.
    14.答案:奇;
    解析:函数与y轴交点的纵坐标为1,可得,又,解得,由恒成立,可得,即,解得,,即,又,可得,所以,即是奇函数;当时,即,可得,,解得,,则.故答案为:奇;.由条件可得,解得,再由恒成立,解得,代入结合奇函数定义即可判断奇偶性,最后由,求得,,代入即可得到.本题考查了三角函数的图像和性质,是中档题.
    15.答案:若选:因为,所以,解得:或,因为角,所以,故;若选:因为,,所以,所以,所以;由知,,所以.
    解析:若选,结合同角平方关系进行1的代换,然后结合同角商的关系进行化简即可求;若选,结合同角平方关系先求出,然后结合同角商的关系即可求;利用诱导公式先化简,即可求解.本题主要考查了同角基本关系及诱导公式在三角化简求值中的应用,属于中档题.
    16.答案:,,故可设,由,可得,解得,或.,,,与的夹角为锐角,,,.而当与共线且方向相同时,,,解得,故的取值范围为.
    解析:本题主要考查两个向量的数量积公式,两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算,两个向量夹角公式的应用,属于中档题.设,由,可得,解方程求得值.求出,由与的夹角为锐角可得,解得的范围,而当与共线且方向相同时,求出对应的的值,从而得到的取值范围.
    17.答案:(1)中,,,,由余弦定理得:,则,由正弦定理得:,即,解得;(2)由题知,,即,解得:,由余弦定理得:,,则,,当,即时,且,所以.
    解析:在中,由题意及余弦定理可得的值,再由正弦定理可得的值;因为,可得的表达式,再由余弦定理可得函数y的表达式,进而可得z的解析式,由二次函数的性质可得z的最小值.本题考查正弦定理,余弦定理及二次函数的性质的应用,属于中档题.
    18.答案:以筒车中心O为原点,与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示:由题意知,A是圆周上的点,所以,因为筒车的半径为6,点的纵坐标为3,所以,所以,由题意知,,解得,,所以,;作弦平行且等于盛水槽,在中,,,,所以,所以距离水面的高度为,盛水筒转到盛水槽的正上方即之间时,能把水倒入盛水槽中,即当时符合题意,所以,解得,即,又,所以盛水筒A转一圈的过程中,能把水倒入盛水槽的时间为秒.
    解析:以筒车中心O为原点,与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系,写出h关于t的解析式,即可求解;作弦平行且等于盛水槽,求出距离水面的高度,列不等式求解即可.本题考查了三角函数模型应用问题,也考查了运算求解能力,是中档题.
    19.答案:根据题意可得:,,故,则函数不具有性质P;,,故,则函数具有性质P;若具有性质P,则,则,因为,所以,则,由得:,若,则存在,使得,而,上式不成立,故,即,因为,所以,则,即,则,验证:当,时,,则对任意,,,等式成立,故存在,,使函数具有性质P;由知,,又在区间上恰有三个实数根,,,所以在区间上恰有三个实数根,,,令,所以在区间上恰有三个实数根,,,由函数的图象知:,,则,即,所以,所以.
    解析:根据新定义分别验证即可;根据题意及新定义,建立方程,即可求解;将方程的根转化成函数图形交点的横坐标,结合三角函数的性质,即可求解.本题考查新定义问题,三角函数的性质,化归转化思想,运算能力,属中档题.
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