2023-2024学年江西省萍乡市高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省萍乡市高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(3,−4)，则与a方向相反的单位向量的坐标为( )
A. (−35,45)B. (35,45)C. (−35,−45)D. (35,−45)
2.已知角α的终边经过点P(−2,1)，则cs(π2+α)=( )
A. 55B. − 55C. 2 55D. −2 55
3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcsA=3asinB，则tanA=( )
A. 3B. 13C. 1010D. 3 1010
4.在梯形ABCD中，AB/​/CD，AD⊥AB，AD= 22，则BC⋅AD=( )
A. −1B. 1C. 12D. −12
5.将函数y=cs(2x−π3)的图象向右平移π4个单位长度，得到函数y=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象，则φ=( )
A. π6B. π3C. −π6D. −π3
6.在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在边AC上，且EC=3AE，则ED=( )
A. 32AB+14ACB. 32AB+12ACC. 12AB+16ACD. 12AB+14AC
7.在△ABC中，点D为边AB的中点，CD= 3，C=π3，则|AB|的最小值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 6
8.函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在(0,π3)上存在零点，且在(2π3,π)上单调，则ω的取值范围为( )
A. (74,136]B. (2,136]C. [2,136]D. [74,2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 在△ABC中，若A>B，则sin2A>sin2B
B. 在△ABC中，若b=2，A=30°，且该三角形有两解，则a的取值范围为(1,2)
C. 若向量a=(3,4)，b=(2,1)，则a在b方向上的投影向量的坐标为(4,2)
D. 若扇形的周长是10cm，面积是6cm2，则该扇形的圆心角的弧度数为3
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，A=π3，则△ABC的面积可能为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
11.函数f(x)=|csx|−sin(sinx)，下列结论正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=π2对称
B. f(x)的一个周期为2π
C. 函数y=f(x)的图象与直线y=t(t为常数)在区间[0,3π2]上不可能存在3个交点
D. f(x)在[π2,π]上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，A，B两地之间隔了一个湖，在与A，B同一平面内取一点C，测得CA=5km，CB=3km，C=60°，则A，B两地之间的距离为______km．
13.已知函数f(x)=2cs(ωx−φ)(0<ω<3,0<φ<π2)与y轴交点的纵坐标为1，且f(x)≤f(π3)恒成立，则函数f(x−π6)是______(填“奇”或“偶”)函数；当f(x)=0时，tanx= ______．
14.点G是△ABC的重心，点M，N分别在边AB和AC上，且满足AG=xAM+yAN，其中x+y=1.若AM=λAB，△AMN与△ABC的面积之比是920，则λ= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在①sinαcsα=−25，②sinα=−2 55两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．
已知角α∈(3π2,7π4)，且_____．
(1)求tanα的值；
(2)求sin(3π2−α)cs(π+α)tan(−α−π)cs(2π−α)sin(π−α)tan(−α)的值．
16.(本小题15分)
已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2)
(1)若|c|=2 5，且c/​/a，求c的坐标；
(2)若b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，A=π3．
(1)求sin∠ACB的值；
(2)设D，E分别是边AB，AC上的点，记AD=x，DE=y，z=xy，若△ADE的面积总保持是△ABC面积的一半，求z的最小值．
18.(本小题17分)
筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒A(视为质点)的初始位置P0到水面的距离为7米．

(1)盛水筒A经过t秒后到水面的距离为h米，求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数解析式；
(2)为了把水引到高处，在筒车中心O正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒A转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.(参考数据：sin2π5≈2 23)
19.(本小题17分)
定义域为R的函数h(x)满足：对任意x∈R，都有h(x+2π)=h(x)+h(2π)，则称h(x)具有性质P．
(1)分别判断以下两个函数是否具有性质P：m(x)=2x−1和n(x)=1−csx；
(2)函数f(x)=sin(ωx+φ)(32<ω<52,|φ|<π2)，判断是否存在实数ω，φ，使f(x)具有性质P？若存在，求出ω，φ的值；若不存在，请说明理由；
(3)在(2)结论下，若方程f(x+φ+ωπ24)=a(a为常数)在区间[π12,7π6]上恰有三个实数根x1，x2，x3(x1答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：向量a=(3,−4)，
则与a方向相反的单位向量的坐标为−a|a|=(−35,45)．
故选：A．
根据已知条件，结合向量模公式，以及向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量模公式，以及向量共线的性质，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：角α的终边经过点P(−2,1)，则sinα=1 4+1= 55，
则cs(π2+α)=−sinα=− 55．
故选：B．
根据三角函数定义和诱导公式即可得．
本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：bcsA=3asinB，
由正弦定理可知，sinBcsA=3sinAsinB，
B为三角形的内角，
则sinB≠0，
故csA=3sinA，即tanA=13．
故选：B．
结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：如图，
在梯形ABCD中，AB/​/CD，AD⊥AB，AD= 22，
则BC⋅AD=|BC||AD|cs=|AD|2=( 22)2=12．
故选：C．
由题意画出图形，展开数量积公式，再由数量积的几何意义得答案．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查数量积的几何意义，是中档题．
5.【答案】D
【解析】解：函数y=cs(2x−π3)的图象向右平移π4个单位长度，得到y=cs(2x−π2−π3)=cs[π2+(π3−2x)]=sin(2x−π3)；
由于得到的函数图象与y=sin(2x+φ)的图象重合，且|φ|<π2，
故φ=−π3．
故选：D．
直接利用函数图象的平移变换和三角函数的诱导公式求出结果．
本题考查的知识点：函数的图象的平移变换，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在边AC上，且EC=3AE，
∴ED=EC+CD=34AC+12CB=34AC+12(AB−AC)=12AB+14AC．
故选：D．
根据向量的线性运算，即可求解．
本题考查向量的线性运算，属基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为CD为中线，CD= 3，C=π3，
所以2CD=CA+CB，两边平方可得4CD2=CA2+CB2+2CA⋅CB=|CA|2+|CB|2+2|CA|⋅|CB|csC
=|CA|2+|CB|2+|CA|⋅|CB|，
即|CA|2+|CB|2+|CA|⋅|CB|=12，即CA2+CB2+CA⋅CB=12，①
由余弦定理可得AB2=CA2+CB2−2CA⋅CBcsC=CA2+CB2−CA⋅CB，②
①−②可得12−AB2=2CA⋅CB，
AB2≥2CA⋅CB−CA⋅CB=CA⋅CB，
所以12−AB2≤2AB2，
可得AB≥2，
即AB的最小值为2．
故选：A．
由中线CD的向量表示，再由余弦定理可得AB的表达式，进而可得AB的最小值．
本题考查中线的向量应用及余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：当x∈(0,π3)时，ωx+π3∈(π3,π3ω+π3)，
∵f(x)在(0,π3)上存在零点，
所以π3ω+π3>π，
∴ω>2，
又f(x)在(2π3,π)上单调，
此时ωx+π3∈(2ωπ3+π3,ωπ+π3)，
∴2ω3+π3≥3π2ωπ+π3≤5π2，
解得74≤ω≤136，
综上，ω∈(2,136]．
故选：B．
由已知结合函数零点存在条件及正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了正弦函数单调性及零点存在条件的应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：令A=π3，B=π6，满足A>B，但sin2A=sin2B，故A错误；
b=2，A=30°，且该三角形有两解，
则bsinA向量a=(3,4)，b=(2,1)，
a⋅b=3×2+4×1=10，|b|= 5，
则a在b方向上的投影向量的坐标为：a⋅b|b|×b|b|=2b=(4,2)，故C正确；
设扇形的半径为r，弧度数为α，
扇形的周长是10cm，面积是6cm2，
则rα+2r=1012αr2=6，解得α=43或3，故D 错误．
故选：BC．
结合特殊值法，三角形有两解边之间的关系，投影向量公式，扇形面积、周长公式，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：因为a=2，A=π3，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA≥2bc−bc，当且仅当b=c时取等号，
可得bc≤a2=4，
所以S△ABC=12bcsinA≤12×4× 32= 3，
即S△ABC∈(0, 3].
故选：ABC．
由余弦定理和基本不等式可得bc的范围，进而求出面积的范围，即可得答案．
本题考查余弦定理及基本不等式的性质的应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：A中，因为f(π2+x)=|sinx|−sin(csx)，
f(π2−x)=|sinx|−sin(csx)，
所以f(π2+x)=f(π2−x)，所以函数关于x=π2对称，所以A正确；
B中，因为f(x+2π)=|cs(x+2π)|−sin[sin(x+2π)]=|csx|−sin(sinx)=f(x)，
所以函数的一个周期为2π，所以B正确；
C中，当y=1时，f(x)与y=1有三个交点的横坐标分别为x=0，x=π，x=3π2，所以C错误；
D中，因为x∈[π2,π]时，sinx∈[0,1]，所以y=−csx单调递增，y=sinx单调递减，
所以y=sin(sinx)单调递减，所以f(x)=−csx−sin(sinx)单调递增，
即f(x)在[π2,π]上单调递增，所以D正确．
故选：ABD．
分别由函数的对称性及周期性判断出A，B的真假；举例y=1时，可得存在3个交点，判断出C的真假；再由函数的单调性，判断出D的真假．
本题考查三角函数的性质应用，属于中档题．
12.【答案】 19
【解析】解：因为CA=5km，CB=3km，C=60°，
由余弦定理可得AB= CA2+CB2−2CA⋅CBcsC= 25+9−2×5×3×12= 19km．
故答案为： 19．
由题意及余弦定理可得AB的距离．
本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
13.【答案】奇 − 33
【解析】解：∵函数f(x)=2cs(ωx−φ)与y轴交点的纵坐标为1，
可得f(0)=2csφ=1，
又0<φ<π2，
解得φ=π3，
由f(x)≤f(π3)恒成立，
可得f(x)max=f(π3)=2cs(π3ω−π3)=2，
即cs(π3ω−π3)=1，
解得π3ω−π3=2kπ，k∈Z，
即ω=6k+1，又0<ω<3，
可得ω=1，
所以f(x)=2cs(x−π3)，
即f(x−π6)=2cs[(x−π6)−π3]=2cs(x−π2)=2sinx是奇函数；
当f(x)=2cs(x−π3)=0时，
即cs(x−π3)=0，可得x−π3=π2+kπ，k∈Z，
解得x=56π+kπ，k∈Z，
则tanx=tan(56π+kπ)=tan56π=− 33．
故答案为：奇；− 33．
由条件可得f(0)=2csφ=1，解得φ=π3，再由f(x)≤f(π3)恒成立，解得ω=1，代入结合奇函数定义即可判断奇偶性，最后由f(x)=2cs(x−π3)=0，求得x=56π+kπ，k∈Z，代入即可得到tanx．
本题考查了三角函数的图像和性质，是中档题．
14.【答案】34或35
【解析】解：∵G是△ABC的重心，
∴AG=13(AB+AC)，
又点M，N分别在边AB和AC上，且AM=λAB，设AN=μAC，
∴AB=1λAM，AC=1μAN，
∴AG=13λAM+13μAN，
∴x+y=13λ+13μ=1①，
又△AMN与△ABC的面积之比为λμ=920②，
联立①②解得λ=34或35．
故答案为：34或35．
根据△ABC的重心的性质，向量的线性运算，向量共线定理，方程思想，即可求解．
本题考查向量的线性运算，向量共线定理的应用，方程思想，属中档题．
15.【答案】解：(1)若选①：因为sinαcsα=−25，
所以sinαcsαsin2α+cs2α=−25=tanα1+tan2α，
解得：tanα=−2或tanα=−12，
因为角α∈(3π2,7π4)，所以tanα<−1，
故tanα=−2；
若选②：因为sinα=−2 55，α∈(3π2,7π4)，
所以csα>0，
所以csα= 1−sin2α= 55，
所以tanα=sinαcsα=−2 55 55=−2；
(2)由(1)知，tanα=−2，
所以sin(3π2−α)cs(π+α)tan(−α−π)cs(2π−α)sin(π−α)tan(−α)=(−csα)(−csα)(−tanα)csαsinα(−tanα)=csαsinα=1tanα=−12．
【解析】(1)若选①，结合同角平方关系进行1的代换，然后结合同角商的关系进行化简即可求tanα；
若选②，结合同角平方关系先求出csα，然后结合同角商的关系即可求tanα；
(2)利用诱导公式先化简，即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵a=(1,2)，c/​/a，故可设c=λa=(λ,2λ)，由|c|=2 5，可得λ2+4λ2=20，
解得λ=±2，
∴c=(2,4)或(−2,−4)．
(2)∵a=(1,2)，b=(1,1)，
∴a+λb=(λ+1,λ+2)，
∵a与a+λb的夹角为锐角，
∴a⋅(a+λb)>0，
∴λ+1+2λ+4>0，λ>−53．
而当a与a+λb共线且方向相同时，(λ+1,λ+2)=k(1,2)，k>0，
解得λ=0，
故λ的取值范围为(−53,0)∪(0,+∞)．
【解析】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题．
(1)设c=λa=(λ,2λ)，由|c|=2 5，可得λ2+4λ2=20，解方程求得λ值．
(2)求出a+λb=(λ+1,λ+2)，由a与a+λb的夹角为锐角可得a⋅(a+λb)>0，解得λ的范围，
而当a与a+λb共线且方向相同时，求出对应的λ的值，从而得到λ的取值范围．
17.【答案】解：(1)△ABC中，AB=8，AC=5，A=π3，
由余弦定理得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅csA=64+25−2×8×5×12=49，
则BC=7，
由正弦定理得：ABsin∠ACB=BCsinA，即8sin∠ACB=7 32，
解得sin∠ACB=4 37；
(2)由题知，S△ADE=12S△ABC，即12x⋅AE⋅sin60°=12⋅12AB⋅AC⋅sin60°，
解得：AE=20x，
由余弦定理得：y2=x2+400x2−2x⋅20xcs60°=x2+400x2−20，(0≤x≤8)，
则y= x2+400x2−20，z=xy= x4−20x2+400= (x2−10)2+300，
当x2=10，即x= 10时，且 10∈[0,8]，
所以zmin= 300=10 3．
【解析】(1)在△ABC中，由题意及余弦定理可得BC的值，再由正弦定理可得sin∠ACB的值；
(2)因为S△ADE=12S△ABC，可得DE的表达式，再由余弦定理可得函数y的表达式，进而可得z的解析式，由二次函数的性质可得z的最小值．
本题考查正弦定理，余弦定理及二次函数的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)以筒车中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意知，A是圆周上的点，所以h=6sin∠AOx+4=6sin(∠AOP0+∠P0Ox)+4，
因为筒车的半径为6，点P0的纵坐标为3，所以sin∠P0Ox=36=12，所以∠P0Ox=π6，
由题意知，∠AOP0t=2π48，解得∠AOP0=π24t，t∈[0,48]，
所以h=6sin(π24t+π6)+4，t∈[0,48]；
(2)作弦CD平行且等于盛水槽AB，
在△OCD中，OC=6，OD=6，CD=4，所以OH= 62−22=4 2，
所以CD距离水面的高度为4 2+4，
盛水筒转到盛水槽AB的正上方(即CD之间)时，能把水倒入盛水槽中，
即当h=6sin(π24t+π6)+4≥4 2+4时符合题意，
所以sin(π24t+π6)≥2 23，解得2π5≤π24t+π6≤3π5，即285≤t≤525，
又525−285=245，所以盛水筒A转一圈的过程中，能把水倒入盛水槽的时间为245秒．
【解析】(1)以筒车中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，写出h关于t的解析式，即可求解；
(2)作弦CD平行且等于盛水槽AB，求出CD距离水面的高度，列不等式求解即可．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)根据题意可得：
m(x+2π)=2(x+2π)−1=2x+4π−1，m(2π)=4π−1，
故m(x+2π)≠m(x)+m(2π)，
则函数m(x)=2x−1不具有性质P；
n(x+2π)=1−cs(x+2π)=1−csx，n(2π)=1−cs2π=0，
故n(x+2π)=n(x)+n(2π)，
则函数n(x)=1−csx具有性质P；
(2)若f(x)具有性质P，则f(0+2π)=f(0)+f(2π)，
则f(0)=sinφ=0，因为|φ|<π2，所以φ=0，
则f(x)=sin(ωx)，
由f(x+2π)=f(x)+f(2π)得：f(2kπ)=k⋅f(2π)(∀k∈Z)，
若f(2π)≠0，则存在k0∈Z，使得|k0⋅f(2π)|>1，
而|f(x)|≤1，上式不成立，
故f(2π)=0，即sin(2ωπ)=0，因为32<ω<52，
所以3π<2ωπ<5π，则2ωπ=4π，
即ω=2，则f(x)=sin2x，
验证：当ω=2，φ=0时，f(x)=sin2x，
则对任意x∈R，f(x+2π)=sin2(x+2π)=sin2x，f(x)+f(2π)=sin2x+sin4π=sin2x，
等式f(x+2π)=f(x)+f(2π)成立，
故存在ω=2，φ=0，使函数f(x)具有性质P；
(3)由(2)知，f(x)=sin2x，又f(x+φ+ωπ24)=a在区间[π12,7π6]上恰有三个实数根x1，x2，x3(x1所以f(x+φ+ωπ24)=f(x+π12)=sin(2x+π6)=a在区间[π12,7π6]上恰有三个实数根x1，x2，x3(x1令t=2x+π6∈[π3,5π2]，所以sint=a在区间[π3,5π2]上恰有三个实数根t1，t2，t3(t1由函数y=sint的图象知：t1+t2=π，t3=t1+2π，
则t3−t2−2t1=(t3−t1)−(t1+t2)=π，
即(2x3+π6)−(2x2+π6)−2(2x1+π6)=π，
所以x3−x2−2x1=2π3，
所以sin(x3−x2−2x1)= 32．
【解析】(1)根据新定义分别验证即可；
(2)根据题意及新定义，建立方程，即可求解；
(3)将方程的根转化成函数图形交点的横坐标，结合三角函数的性质，即可求解．
本题考查新定义问题，三角函数的性质，化归转化思想，运算能力，属中档题．