2022-2023学年江西省萍乡市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年度第一学期期末考试

高一数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答题无效.

3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回.

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的交并补直接运算即可求解.

【详解】因，故，

所以.

故选：D.

2. 据统计，下午2点在某超市付款处排队的人数及其概率如下表，则下午2点至多有2人排队的概率为（    ）

A. 0.31 B. 0.34 C. 0.35 D. 0.66

【答案】D

【解析】

【分析】至多有两人排队即没有人排队，一人排队和两人排队三种情况，利用互斥事件的概率公式求解即可．

【详解】设下午2点没有人排队为事件，一人排队为事件，两人排队为事件，则彼此互斥，

因此下午2点至多有2人排队的概率为

故选：D

3. 已知幂函数的图像过点，则的值为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，得到幂函数的解析式，然后代入计算即可得到结果.

【详解】根据题意，设幂函数为，则可得，所以，

即

故选:A

4. 函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数的真数大于0计算即可.

【详解】由，

可得，即，解得，

所以函数的定义域为.

故选：C.

5. 函数的部分图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性结合选项逐一检验，得出答案．

【详解】函数定义域为

是奇函数，排除选项A和C

又，排除选项D

故选：B

6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据幂函数的单调性比较，再由对数函数单调性确定的符号即可得解.

【详解】，，

而在上单调递增，

，

是上的减函数，

，

，

故选：A

7. 声音的等级（单位：Db）与声音强度x（单位：）满足．火箭发射时，声音的等级约为；一般噪音时，声音的等级约为，那么火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的（    ）

A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍

【答案】C

【解析】

【分析】根据声音的等级（单位：Db）与声音强度x（单位：）满足．分别求得火箭发射时和一般噪音时的声音强度求解.

【详解】解：因为火箭发射时，声音的等级约为，

所以，解得；

因为一般噪音时，声音的等级约为，

所以，解得，；

所以火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的倍，

故选：C

8. 已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知，函数关于对称，结合题意作出函数的大致图象，利用数形结合即可求解.

【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称，

又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，

由，知，作出函数的大致图象，如下：

由图可知，当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

所以不等式的解集为.

故选：B.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 与表示同一函数

B. 若，则

C. 函数的图象与直线的交点至多有1个

D. 关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件是

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据相等函数的概念即可判断A；直接计算即可判断B；根据函数的定义即可判断C；结合一元二次方程的性质，判别式和韦达定理即可判断D.

【详解】对于A，定义域为，定义域为R，定义域不同，

所以不同一函数，故A错误.

对于B，因为，所以，

所以，故B正确.

对于C，根据函数的定义可知，当的定义域中含有时，

函数的图象与直线有一个交点.

综上所述：函数的图象与直线的交点至多有1个，故C正确.

对于D，设方程的正根为，负根为，

则关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件为：

，解得,故D正确.

故选：BCD.

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2

B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5

C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17

D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16

【答案】AD

【解析】

【分析】利用概率对于即可判断A；根据平均数求得的值，然后利用方差公式求解即可判断B；根据百分位数的求法即可判断C；利用方差公式求解即可判断D.

【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，

以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，

则指定的某个个体被抽到的概率为 ，故A正确；

对于B，数据1，2，，6，7的平均数是4，，

这组数据的方差是，故B错误；

对于C，8个数据50百分为，第50百分位数为，故C错误；

对于D，依题意，，则，

所以数据的标准差为16，D正确；

故选：AD.

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 若，则的最小值为2

B. 的最小值为4

C. 若，，且，则的最小值为2

D. 若，，且，则的最小值为

【答案】BD

【解析】

分析】利用基本不等式求最值，逐项判断，即可得到本题答案.

【详解】A选项，，

，

当且仅当时等号成立，所以A选项错误；

B选项，，

当且仅当时等号成立，所以B选项正确；

C选项，，，

当且仅当时等号成立，所以C选项错误；

D选项，，，

，

当且仅当，时等号成立，

所以D选项正确.

故选：BD

12. 已知直线与直线相互垂直，若函数，，的零点分别为，，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据零点的存在性定理判断选项ACD，根据反函数的定义，结合图形判断B.

【详解】A：∵单调递增，

，，∴，

∵单调递增，

，，∴，则，故A错误；

B：由，可得，

由，可得，

函数与互为反函数，图象关于对称，

作出函数，及的图象，如图，

又与垂直，由，可得，

则，与直线的交点的横坐标分别为，，且，故B正确；

C：∵单调递增，，，

∴，又，∴，故C正确；

D：∵，，∴，，故D错误.

故选：BC.

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷3至4页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答题无效.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 一个盒子里装有标号为的张标签，随机选取张，这张的标号平均数是的概率为______.

【答案】##0.2

【解析】

【分析】利用古典概型的概率公式求解即可．

【详解】张的标签的标号平均数是，则这个标号之和为，有和两种情况，

所以这张的标号平均数是的概率为

故答案为：

14. 福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字作为所选球的编号，则选出来的第4个红色球的编号为______.

【答案】16

【解析】

【分析】由题意，结合随机数表读取的方法，即可得到结果.

【详解】根据题意，排除超过33以及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号为05，第四个编号为16.

故答案为：16

15. 把满足，为整数的叫作“贺数”，则在区间内所有“贺数”的和是______.

【答案】52

【解析】

【分析】利用换底公式计算可得，进而求解即可.

【详解】因为，

又，，，，，……，

所以当，，，，即，，，时，为整数，

所以在区间内所有“贺数”的和是．

故答案为：

16. 函数，若实数a，b满足，则的最大值为______.

【答案】

【解析】

【分析】令，可得到在上单调递增，且为奇函数，所以由可得或，然后分情况求解即可

【详解】令，

因为在定义域内单调递增，在定义域内单调递减，

所以函数在上单调递增，

∵，∴函数为上奇函数，

∴任意，有，即，

∵，

∴或；

当时，；

当时，要取最大值，显然，

所以，

当且仅当，即，时取等号，

∴的最大值为.

故答案为：

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，，全集.

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）化简集合A，根据补集运算、交集运算求解；

（2）由题意转化为，列出不等式组求解即可.

【小问1详解】

当时，集合，或，

故

【小问2详解】

由题知：，即且，

当时，，解得，

当时，，解得，

由得，；

综上所述：实数的取值范围为.

18. 已知函数（且），且.

（1）求实数的值；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，由对数的运算即可得到结果；

（2）根据题意，令，不等式转化为，然后再由对数函数的单调性即可得到结果.

【小问1详解】

由题知，

则，即，

又，故

【小问2详解】

令，不等式转化为

即，解得，即

又，，且在上单调递增，

则，即原不等式的解集为

19. 某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组，，，，，，整理后得到如下频率分布直方图.

（1）求图中的值；

（2）请用样本数据估计本次联考该校语文平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；

（3）用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在，的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在的概率.

【答案】（1）   

（2）107.4分    （3）

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积和为1，求得x；

（2）用每一组区间的中点值代替该组数据，计算平均数；

（3）计算分层抽样每层抽取人数，列出所有选出2人的基本事件，求出概率.

【小问1详解】

由频率分布直方可知，

，

解得；

【小问2详解】

由图可知，语文成绩在，，，，，，的频率

分别为0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，设样本数据中语文平均成绩为，

则

故估计本次联考该校语文平均成绩为107.4分；

【小问3详解】

由题知，样本内语文成绩在，的学生分别有8名和2名，

按分层随机抽样抽取的5名学生中，分数在的学生有4名，记为A，B，C，D，

在的学生有1名，记为e，

从这5名学生中随机选出2人，所有的情况有10种：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，

其中恰有一人语文成绩在的有4种：Ae，Be，Ce，De，

则这5名学生中随机选出2人，恰有一人语文成绩在的概率为.

20. 已知二次函数满足，请从下列①和②两个条件中选一个作为已知条件，完成下面问题.

①；②不等式的解集为.

（1）求的解析式；

（2）若在上的值域为，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）若选择①，设，根据条件代入列出关系式，求解即可；若选择②，设，原题可转化为已知一元二次不等式的解集求系数，根据一元二次方程与不等式的关系即可得出答案.

（2）由二次函数的性质求解即可.

【小问1详解】

设，由得，，即，

若选择①：则，

即，

则，，解得，，即；

若选择②：则不等式的解集为，即，且方程的两根为和4，

则，，解得，，即；

【小问2详解】

由（1）知，函数开口向上，

对称轴为直线，且，，

若在上的值域为，则，

令，解得或，根据二次函数的图象知，，

综上所述：实数的取值范围为.

21. 某医院购入一种新型空气消毒剂，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的该消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随时间（单位：小时）的变化关系为：当时，；当时，.若多次喷洒（或一次喷洒多个单位），则某一时刻空气中该消毒剂的浓度为每次投放的消毒剂（或每个单位的消毒剂）在该时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中该消毒剂浓度不低于4（毫克/立方米）时，才能起到有效杀毒的作用.

（1）若一次喷洒2个单位的该消毒剂，则有效杀毒时间可达多久?

（2）若第一次喷洒2个单位的该消毒剂，6小时后第二次喷洒个单位的该消毒剂，要使第二次喷洒后的4小时内能够持续有效杀毒，试求的最小值.（最后结果精确到0.1，参考数据：）

【答案】（1）小时   

（2）1.6

【解析】

【分析】（1）根据喷洒2个单位的净化剂后浓度为，由求解；

（2）分别求出第一次喷洒2个单位消毒剂和第二次喷洒个单位该消毒剂，接下来4个小时的浓度，则接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度为，化简利用基本不等式求解.

【小问1详解】

一次喷洒2个单位的该消毒剂，其浓度为，

当时，，即；当时，，即，

则当时，能起到有效杀毒的作用，

故若一次喷洒2个单位的该消毒剂，有效杀毒时间可达小时；

【小问2详解】

由题知，第一次喷洒的2个单位消毒剂，经6小时后，其浓度为4毫克/立方米，且接下来4个小时的浓度为，

第二次喷洒个单位该消毒剂，接下来4个小时的浓度为，

故接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度为，

令，则，因为，所以当时，

接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度最小，为，

要符合题意，则，即，解得，

又，则，故的最小值为.

22. 已知函数为奇函数．

（1）求实数b的值，并用定义证明在R上的单调性；

（2）若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1），证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据奇偶性定义和函数的单调性证明即可求解；（2）根据函数性质进行变形理解即可得解.

【小问1详解】

∵函数的定义域为R，且为奇函数，

∴，解得．

此时，

所以为奇函数，

所以．

是R上是单调递增函数.

证明：由题知，设，

则

∵

∴，

∴

即，

所以在R上是单调递增函数．

【小问2详解】

因为是R上的奇函数且为严格增函数，

所以由，

可得，

即对一切恒成立．

令，，

设，

所以，

即，

解得．