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2023-2024学年江西省宜丰中学高一上学期创新部11月期中考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江西省宜丰中学高一上学期创新部11月期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简集合，即得解.
【详解】，
∴.
故选：C
2．命题：的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用全称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论
【详解】解：命题：的否定是,
故选：B
3．“”是“关于的方程有实数根”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.
【详解】当时，方程的实数根为，
当时，方程有实数根，则，解得，则有且，
因此，关于的方程有实数根等价于，
所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件.
故选：A
4．不等式的解集是
A．
B．或
C．或
D．或
【答案】C
【分析】根据分式不等式的求解方法将不等式化为，结合一元高次不等式的求解方法可求得结果.
【详解】由得：，解得：或
不等式的解集为或
故选
【点睛】本题考查分式不等式的求解问题，涉及到一元高次不等式的求解；易错点是忽略分母不等于零的条件.
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的基本性质可判断ABC选项，利用作差法可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则，所以，，A错；
对于B选项，由不等式的性质可得，B错；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，则，D对.
故选：D.
6．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后水池中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则当水池中药品的浓度达到最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意可知，，所以，
所以，当且仅当，即时取等号.
所以当时，水池中药品的浓度达到最大.
故选：B.
7．若两个正实数x，y满足且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】A
【分析】先利用均值不等式求解的最小值，转化存在这样的x，y使不等式有解为，求解二次不等式即可.
【详解】由题意，，
当且仅当，即时等号成立.
故若存在这样的x，y使不等式有解.
即或.
故选：A
8．小王从甲地到乙地再返回甲地，其往返的时速分别为a和b（aA．a【答案】A
【分析】设甲乙两地相距，则平均速度，结合基本不等式，即可得出结果.
【详解】设甲乙两地相距，则平均速度，
又∵，∴，
∵，∴，
∴，故选A．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可， 属于基础题型.
二、多选题
9．设全集为，如图所示的阴影部分用集合可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据集合与运算，依次讨论各选项即可得答案.
【详解】如图，可以将图中的位置分成四个区域，分别标记为四个区域
对于A选项，显然表示区域3，故不正确；
对于B选项，表示区域1和4与4的公共部分，故满足条件；
对于C选项，表示区域1,2,4与区域4的公共部分，故满足；
对于D选项，表示区域1和4与区域4的并集，故不正确；
故选：BC
10．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
C．设，则“”是“且”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【分析】根据必要不充分条件的定义，即可判断A选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系，即可判断B选项；由“”，则不一定有“且”，即可判断C选项；若，则或，结合必要不充分条件的定义，即可判断D选项.
【详解】解：对于A，根据必要不充分条件的定义，可知A正确；
对于B，若，则，
所以一元二次方程有两个根，且一正一负根，
若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确；
对于C，若“”，则不一定有“且”，
而若“且”，则一定有“”，
所以“”是“且”的必要不充分条件，故C不正确；
对于D，若，则或，
则若“”，则不一定有“”，而“”时，一定有“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.
故选：ABD.
11．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的解集为
【答案】ACD
【分析】首先根据解集的特征得到，判断出A选项；
将不等式解集转化为是方程的两根，利用韦达定理得到，从而判断出，得到BC选项；
解不等式得到D选项正确.
【详解】因为的解集为或，
所以不等式对应的二次函数开口向下，所以，A正确；
且是方程的两根，
所以，即，B错误；
，C正确；
即为，不等式两边同除以得：
，解得：，
所以的解集为，D正确.
故选：ACD
12．若，，，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式逐一分析四个选项即可得出答案.
【详解】由，当且仅当时等号成立，故A正确；
结合A结论，，当且仅当时等号成立，故B正确；
，
当且仅当时等号成立，故C正确；
，
当且仅当，即，时等号成立，
∴，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为 ．
【答案】
【分析】依题意画出韦恩图，计算可得；
【详解】解：设参加羽毛球赛为集合，参加乒乓球赛为集合，
依题意可得如下韦恩图：
所以该班一共有人；
故答案为：
14．已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据存在性命题为假命题，则对应的全称命题为真命题，利用不等式恒成立即可求解a的取值范围．
【详解】∵命题“∃x0∈R，”是假命题，
∴命题“∀x∈R，”是真命题，
即对应的判别式△=（a-1）2-4≤0，
即（a-1）2≤4，
∴﹣2≤a-1≤2，
即﹣1≤a≤3，
故答案为：．
15．下面结论正确的是 ．
① 若，则的最大值是 ②函数的最小值是2
③ 函数（）的值域是
④，且，则的最小值是3
【答案】①③④
【分析】①根据，得到，由，利用基本不等式求解判断；②由，利用基本不等式求解判断； ③由，利用二次函数的性质求解判断；④易得，结合“1”的代换，利用基本不等式求解判断.
【详解】解：时，．，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是2，即的最小值是1，从而的最大值是，①正确；
，当且仅当时等号成立，但无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，②错；
时，，，
因为，所以时，，时，，时，．
所以值域是，③正确；
，且，，，
则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4－1＝3，④正确．
故答案为：①③④
16．设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数）则称数集是一个数域．例如有理数集是数域；数集也是数域．下列命题是真命题的是为 ．
① 整数集是数域 ② 若有理数集，则数集必为数域
③ 数域必为无限集 ④ 存在无穷多个数域
【答案】③④
【分析】根据数域的定义，逐项判断.
【详解】①,但，故错误；
②令，则 ，但 ，故错误；
③若,则（k为整数）都在p中，整数有无数个，则数域为无限集，故正确；
④ 把集合中替换成以外的无理数，可得有无数个数域，故正确.
故答案为：③④
17．已知关于x的不等式的解集中恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由，得
因为，所以不等式的解集为.
当，时，整数解是不满足.
当，，即，整数解是满足.
当时，，整数解是满足.
当时，，不满足.
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
18．设集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由根式、分式性质求定义域得集合A，根据已知及集合并运算求即可；
（2）求，根据交集结果，讨论、求参数m的范围.
【详解】（1）对于集合A：，得，故；
当时，
所以.
（2）由或，而，
当时，，即满足题设；
当时，，可得；
综上，.
19．已知．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)证明过程见解析.
【分析】作差法证明不等式即可.
【详解】（1），
所以，证毕.
（2）
，
因为，所以，
又因为，
所以，
所以.
20．已知，且．
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式即可得到结果；
（2）根据题意结合基本不等式可得，然后求解关于的不等式，即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为
（2）因为，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
因为恒成立，
所以，解得
所以实数的取值范围为
21．已知关于的一元二次方程.
(1)若方程两根之差的绝对值为，试求的值；
(2)若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）利用根与系数关系，将方程两根之差的绝对值用含m的代数式表示出来，再列方程解出m即可.
（2）将方程转化为二次函数，利用二次函数的图形与性质，根据限制条件列不等式组即可求解.
【详解】（1）若方程两根为，，则，且，，
所以，即，
所以或，经检验满足，故或.
（2）令，若方程两不等实根都小于5，则，可得或.
22．如图，设矩形ABCD(AB＞BC)的周长为20cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P.设AB=(cm)，DP=(cm)，△ADP的面积为S.
（1）请用表示，并指明x的取值范围；
（2）求出S的最大值及相应的x的值.
【答案】（1），；（2）时，最大值为.
【解析】（1）根据根据矩形几何知识，将表示为，即翻折后，再通过转化，根据勾股定理列出方程，解得.由题中条件，结合实际要求，得出；
（2）将用表示，利用基本不等式求出其最大值，以及相应的的值.
【详解】解：（1）矩形周长为，其中一边
另一边，由翻折可知，
又易证，
，且
在中，由勾股定理得：
，即
故，；
（2）
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为，此时.
【点睛】关键点点睛：本题考查了基本不等式的实际应用问题，其中正确地列出表达式，找准基本不等式的结构以及成立的条件，是解题的关键.
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简集合，即得解.
【详解】，
∴.
故选：C
2．命题：的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用全称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论
【详解】解：命题：的否定是,
故选：B
3．“”是“关于的方程有实数根”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.
【详解】当时，方程的实数根为，
当时，方程有实数根，则，解得，则有且，
因此，关于的方程有实数根等价于，
所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件.
故选：A
4．不等式的解集是
A．
B．或
C．或
D．或
【答案】C
【分析】根据分式不等式的求解方法将不等式化为，结合一元高次不等式的求解方法可求得结果.
【详解】由得：，解得：或
不等式的解集为或
故选
【点睛】本题考查分式不等式的求解问题，涉及到一元高次不等式的求解；易错点是忽略分母不等于零的条件.
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的基本性质可判断ABC选项，利用作差法可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则，所以，，A错；
对于B选项，由不等式的性质可得，B错；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，则，D对.
故选：D.
6．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后水池中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则当水池中药品的浓度达到最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意可知，，所以，
所以，当且仅当，即时取等号.
所以当时，水池中药品的浓度达到最大.
故选：B.
7．若两个正实数x，y满足且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】A
【分析】先利用均值不等式求解的最小值，转化存在这样的x，y使不等式有解为，求解二次不等式即可.
【详解】由题意，，
当且仅当，即时等号成立.
故若存在这样的x，y使不等式有解.
即或.
故选：A
8．小王从甲地到乙地再返回甲地，其往返的时速分别为a和b（a
【分析】设甲乙两地相距，则平均速度，结合基本不等式，即可得出结果.
【详解】设甲乙两地相距，则平均速度，
又∵，∴，
∵，∴，
∴，故选A．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可， 属于基础题型.
二、多选题
9．设全集为，如图所示的阴影部分用集合可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据集合与运算，依次讨论各选项即可得答案.
【详解】如图，可以将图中的位置分成四个区域，分别标记为四个区域
对于A选项，显然表示区域3，故不正确；
对于B选项，表示区域1和4与4的公共部分，故满足条件；
对于C选项，表示区域1,2,4与区域4的公共部分，故满足；
对于D选项，表示区域1和4与区域4的并集，故不正确；
故选：BC
10．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
C．设，则“”是“且”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【分析】根据必要不充分条件的定义，即可判断A选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系，即可判断B选项；由“”，则不一定有“且”，即可判断C选项；若，则或，结合必要不充分条件的定义，即可判断D选项.
【详解】解：对于A，根据必要不充分条件的定义，可知A正确；
对于B，若，则，
所以一元二次方程有两个根，且一正一负根，
若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确；
对于C，若“”，则不一定有“且”，
而若“且”，则一定有“”，
所以“”是“且”的必要不充分条件，故C不正确；
对于D，若，则或，
则若“”，则不一定有“”，而“”时，一定有“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.
故选：ABD.
11．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的解集为
【答案】ACD
【分析】首先根据解集的特征得到，判断出A选项；
将不等式解集转化为是方程的两根，利用韦达定理得到，从而判断出，得到BC选项；
解不等式得到D选项正确.
【详解】因为的解集为或，
所以不等式对应的二次函数开口向下，所以，A正确；
且是方程的两根，
所以，即，B错误；
，C正确；
即为，不等式两边同除以得：
，解得：，
所以的解集为，D正确.
故选：ACD
12．若，，，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式逐一分析四个选项即可得出答案.
【详解】由，当且仅当时等号成立，故A正确；
结合A结论，，当且仅当时等号成立，故B正确；
，
当且仅当时等号成立，故C正确；
，
当且仅当，即，时等号成立，
∴，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为 ．
【答案】
【分析】依题意画出韦恩图，计算可得；
【详解】解：设参加羽毛球赛为集合，参加乒乓球赛为集合，
依题意可得如下韦恩图：
所以该班一共有人；
故答案为：
14．已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据存在性命题为假命题，则对应的全称命题为真命题，利用不等式恒成立即可求解a的取值范围．
【详解】∵命题“∃x0∈R，”是假命题，
∴命题“∀x∈R，”是真命题，
即对应的判别式△=（a-1）2-4≤0，
即（a-1）2≤4，
∴﹣2≤a-1≤2，
即﹣1≤a≤3，
故答案为：．
15．下面结论正确的是 ．
① 若，则的最大值是 ②函数的最小值是2
③ 函数（）的值域是
④，且，则的最小值是3
【答案】①③④
【分析】①根据，得到，由，利用基本不等式求解判断；②由，利用基本不等式求解判断； ③由，利用二次函数的性质求解判断；④易得，结合“1”的代换，利用基本不等式求解判断.
【详解】解：时，．，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是2，即的最小值是1，从而的最大值是，①正确；
，当且仅当时等号成立，但无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，②错；
时，，，
因为，所以时，，时，，时，．
所以值域是，③正确；
，且，，，
则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4－1＝3，④正确．
故答案为：①③④
16．设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数）则称数集是一个数域．例如有理数集是数域；数集也是数域．下列命题是真命题的是为 ．
① 整数集是数域 ② 若有理数集，则数集必为数域
③ 数域必为无限集 ④ 存在无穷多个数域
【答案】③④
【分析】根据数域的定义，逐项判断.
【详解】①,但，故错误；
②令，则 ，但 ，故错误；
③若,则（k为整数）都在p中，整数有无数个，则数域为无限集，故正确；
④ 把集合中替换成以外的无理数，可得有无数个数域，故正确.
故答案为：③④
17．已知关于x的不等式的解集中恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由，得
因为，所以不等式的解集为.
当，时，整数解是不满足.
当，，即，整数解是满足.
当时，，整数解是满足.
当时，，不满足.
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
18．设集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由根式、分式性质求定义域得集合A，根据已知及集合并运算求即可；
（2）求，根据交集结果，讨论、求参数m的范围.
【详解】（1）对于集合A：，得，故；
当时，
所以.
（2）由或，而，
当时，，即满足题设；
当时，，可得；
综上，.
19．已知．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)证明过程见解析.
【分析】作差法证明不等式即可.
【详解】（1），
所以，证毕.
（2）
，
因为，所以，
又因为，
所以，
所以.
20．已知，且．
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式即可得到结果；
（2）根据题意结合基本不等式可得，然后求解关于的不等式，即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为
（2）因为，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
因为恒成立，
所以，解得
所以实数的取值范围为
21．已知关于的一元二次方程.
(1)若方程两根之差的绝对值为，试求的值；
(2)若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）利用根与系数关系，将方程两根之差的绝对值用含m的代数式表示出来，再列方程解出m即可.
（2）将方程转化为二次函数，利用二次函数的图形与性质，根据限制条件列不等式组即可求解.
【详解】（1）若方程两根为，，则，且，，
所以，即，
所以或，经检验满足，故或.
（2）令，若方程两不等实根都小于5，则，可得或.
22．如图，设矩形ABCD(AB＞BC)的周长为20cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P.设AB=(cm)，DP=(cm)，△ADP的面积为S.
（1）请用表示，并指明x的取值范围；
（2）求出S的最大值及相应的x的值.
【答案】（1），；（2）时，最大值为.
【解析】（1）根据根据矩形几何知识，将表示为，即翻折后，再通过转化，根据勾股定理列出方程，解得.由题中条件，结合实际要求，得出；
（2）将用表示，利用基本不等式求出其最大值，以及相应的的值.
【详解】解：（1）矩形周长为，其中一边
另一边，由翻折可知，
又易证，
，且
在中，由勾股定理得：
，即
故，；
（2）
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为，此时.
【点睛】关键点点睛：本题考查了基本不等式的实际应用问题，其中正确地列出表达式，找准基本不等式的结构以及成立的条件，是解题的关键.
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