浙江省杭州外国语学校2023—2024学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份浙江省杭州外国语学校2023—2024学年上学期八年级期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）不等式组的解集在数轴上可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）已知点M（3，﹣2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，且N到y轴的距离等于4，则点N的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2）B．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2）D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
4．（3分）下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则它的底角为（ ）
A．35°B．55°C．55°或35°D．70°或35°
6．（3分）下列条件中，三角形不是直角三角形的是（ ）
A．三个角的比为1：2：3
B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2
C．三条边的比为32：42：52
D．三个角满足关系∠B＝∠C﹣∠A
7．（3分）两位同学对两个一元一次不等式a1x﹣b1＞0，a2x﹣b2＞0（a1b1，a2b2都不为0）的解提出了自己的想法，甲说：“如果，则两个不等式的解相同”，乙说：“如果两个不等式的解相同，则成立”．则他们两人的说法为（ ）
A．甲对乙错B．甲错乙对C．甲乙都对D．甲乙都错
8．（3分）若正整数a既使得关于x一元一次方程2x﹣a＝3有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为x≥15，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（ ）
A．4B．3C．0D．8
9．（3分）将两把等腰直角三角尺按如图所示的方式放置，其中A，B，E三点共线，若AB＝BC＝3，BE＝BD＝4，F，G分别是AC，DE的中点，H是FG的中点，则BH的长为（ ）
A．B．2C．D．2.5
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（ ）
A．6B．12C．9D．6
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分）.
11．（3分）函数的自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 ，它是 （填真/假）命题．
13．（3分）如图，△ABC≌△DEF，点F在BC边上，AB与EF相交于点P．若∠DEF＝37°，PB＝PF，则∠APF＝ °．
14．（3分）如图，△ABC的顶点A，C在直线l上，∠B＝130°，∠ACB＝30°，若点P在直线l上运动，当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是 ．
15．（3分）如图，△ABC，延长CB至点D使得BD＝BC，过点D作DF∥AC，点F与AB上一点E连结且∠BEF＝∠A，若AC＝8，DF＝2，则EF＝ ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，求DE的长 ．
三、解答题。（本大题共7小题，共52分）.
17．（8分）解下列不等式（组）：
（1）；
（2）．
18．（6分）已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）用含有m的式子表示上述方程组的解是 ；
（2）若x、y是相反数，求m的值；
（3）若方程组的解满足x+y＜3，求满足条件的m的所有非负整数值．
19．（6分）已知：如图，△ABC，射线AM平分∠BAC．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G，连接BG、CG．
（2）在（1）的条件下，∠BAC和∠BGC的等量关系为 ，证明你的结论．
20．（6分）已知y＝y1+y2，y1与x﹣1成正比，y2与x成正比．当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝﹣5．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x＝﹣5时，求y的值；
（3）当y＞0时，求x的取值范围．
21．（8分）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利5600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价：
（1）根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个；
（2）根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒2m个（m为整数），A礼盒的售价比第一次的售价提高m元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高m元．在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多1600元，且第二次购进礼盒总成本不超过13000元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？
22．（8分）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，连接AD、BE交于点P．
（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是： ．
（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连接AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA＝BE．
23．（10分）如图1，点C在y轴正半轴上，过点C作BC∥x轴，以BC为斜边作等腰直角△ABC，使得直角顶点A恰好落在x轴正半轴上．已知B（a，b），且a，b满足：（a﹣8）2+|b﹣4|＝0．
（1）求点B坐标；
（2）如图2，点D为AB的中点，连结CD，过C作CE⊥CD且CE＝CD，连接BE交AC于点N，求的值；
（3）如图3，若D点为等腰直角△ABC外部一点，∠CDB＝45°，连接DB交y轴于点E，EF平分∠CEB交CB于F．试判断∠CFE，∠CBD，∠CDB之间的数量关系，并说明理由．
2023-2024学年浙江省杭州外国语学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A、图形是轴对称图形，符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称是解题的关键．
2．（3分）不等式组的解集在数轴上可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由x﹣1＜1得：x＜2，
由2x+1≥x﹣2得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，
将解集表示在数轴上如下：
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．（3分）已知点M（3，﹣2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，且N到y轴的距离等于4，则点N的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2）B．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2）D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出b，再根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值求出a，然后写出点N的坐标即可．
【解答】解：∵点M（3，﹣2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，
∴b＝﹣2，
∵N到y轴的距离等于4，
∴a＝±4，
∴点N的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，主要利用了平行于x轴的直线上点的坐标特征，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
4．（3分）下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有选项C不满足条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
5．（3分）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则它的底角为（ ）
A．35°B．55°C．55°或35°D．70°或35°
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，注意分类讨论思想的运用．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，
∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，
∴∠A＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②如图2，
∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，
∴∠BAC＝20°+90°＝110°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣110°）÷2＝35°．
∴它的底角为55°或35°，
故选：C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键．
6．（3分）下列条件中，三角形不是直角三角形的是（ ）
A．三个角的比为1：2：3
B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2
C．三条边的比为32：42：52
D．三个角满足关系∠B＝∠C﹣∠A
【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A．三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x＝180°，x＝30°，3x＝90°，不符合题意；
B．因为三条边满足关系a2＝b2﹣c2，能组成直角三角形，不符合题意；
C．322+422≠522，故不能构成直角三角形，符合题意；
D．因为三个角满足关系∠B＝∠C﹣∠A，则∠B+∠A＝∠C，由三角形内角和定理知∠C＝90°，故能构直角三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．
7．（3分）两位同学对两个一元一次不等式a1x﹣b1＞0，a2x﹣b2＞0（a1b1，a2b2都不为0）的解提出了自己的想法，甲说：“如果，则两个不等式的解相同”，乙说：“如果两个不等式的解相同，则成立”．则他们两人的说法为（ ）
A．甲对乙错B．甲错乙对C．甲乙都对D．甲乙都错
【分析】本题可根据分别设出a1、b1、a2、b2的不同取值，然后代入看是否符合．也可不等式解出x的值，再根据甲、乙的条件得出结论看是否与所给的相同，若相同则说法正确．
【解答】解：本题可设a1＝1，b1＝2，a2＝﹣1，b2＝﹣2
则解出的x1＞2，x2＜2
两者的解不同．所以甲错误
而若x的解相同，则无论a1、a2为正的或者负的，x都同时大于或同时小于同一个数
即＝
乙的说法正确
故选：B．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的应用，注意：不等式两边同时乘以或除以负数不等式的方向要改变．
8．（3分）若正整数a既使得关于x一元一次方程2x﹣a＝3有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为x≥15，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（ ）
A．4B．3C．0D．8
【分析】根据题意，求出方程和不等式组的解集，然后求出a的取值范围，即可求出答案．
【解答】解：∵2x﹣a＝3，
解得：，
∵关于x一元一次方程2x﹣a＝3有正整数解，
∴，
解得：a＞﹣3，且3+a是2的倍数；
又∵a是正整数，
∴a＞0，且3+a是2的倍数；
∵，
解得：，
∵不等式组的解集为x≥15，
∴2a+5＜15，
∴a＜5；
∴满足题意的a的值有：1、3，
所有满足条件的正整数a的值之和为：4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解集和一元一次方程组的整数解，正确掌握解方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
9．（3分）将两把等腰直角三角尺按如图所示的方式放置，其中A，B，E三点共线，若AB＝BC＝3，BE＝BD＝4，F，G分别是AC，DE的中点，H是FG的中点，则BH的长为（ ）
A．B．2C．D．2.5
【分析】连接BF，BG，易证△FBG是直角三角形，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求出BH的长．
【解答】解：连接BF，BG，
∵△ABC，△DBE都是等腰直角三角形，F，G分别是AC，DE的中点，
∴BF＝AC，∠FBC＝45°，BG＝DE，∠DBG＝45°，
∴∠FBG＝90°，
∴△FBG是直角三角形，
∵AB＝BC＝3，BE＝BD＝4，
∴AC＝6，DE＝8，
∴BF＝3，BG＝4，
∴FG＝5，
∵H是FG的中点，
∴BH＝FG＝2.5，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的运用，证明△FBG是直角三角形是解题的关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（ ）
A．6B．12C．9D．6
【分析】连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．把阴影部分面积分为ADF面积与△ADH面积，根据中位线性质可得DM、DN与正方形边长的关系，最后在△ABC中利用勾股定理，得到AC2+BC2＝9．
【解答】解：连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．
∵D为AB中点，DM∥AB，DN∥AC，
∴DM＝AB＝，DN＝AC＝．
∴△ADF面积＝AF×DM＝AF2，
∴△ADH面积＝×DN＝AH2，
在Rt△ABC中，
∵BC＝6
∴AB2+AC2＝BC2＝36，
∴阴影部分面积＝△ADF面积+△ADH面积＝AF2+AH2＝AB2+AC2＝×36＝9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理、以及中位线的性质定理，解题的关键是作出辅助线，分割图形，最后整体求值．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分）.
11．（3分）函数的自变量x的取值范围是 x≥﹣2且x≠1 ．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组，求解即可．
【解答】解：由题意可得：2x+4≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣2且x≠1．
∴自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围．正确判断式子有意义的条件是解题关键．
12．（3分）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形 ，它是 真 （填真/假）命题．
【分析】根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题，然后分析其真假即可．
【解答】解：逆命题为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形．
因为符合三角形内角和定理，故是真命题．
故答案为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；真．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．（3分）如图，△ABC≌△DEF，点F在BC边上，AB与EF相交于点P．若∠DEF＝37°，PB＝PF，则∠APF＝ 74 °．
【分析】根据全等三角形的性质可得∠E＝∠B＝37°，再根据等边对等角可得∠PFB＝∠B＝37°，再由三角形外角的性质可得∠APF的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝37°，
∵PB＝PF，
∴∠PFB＝∠B＝37°，
∴∠APF＝37°+37°＝74°，
故答案为：74．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
14．（3分）如图，△ABC的顶点A，C在直线l上，∠B＝130°，∠ACB＝30°，若点P在直线l上运动，当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是 10°，80°，140°或20° ．
【分析】先利用三角形内角和定理可得：∠BAC＝20°，然后分三种情况：当AP＝AB时；当AP＝AB时；当BA＝BP时；从而分别进行计算，即可解答，
【解答】解：∵∠B＝130°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝20°，
分三种情况：
当AP＝AB时，点P在CA的延长线上，如图：
∵∠BAC是ABP的一个外角，
∴∠BAC＝∠APB+∠ABP＝20°，
∵AB＝AP，
∴∠APB＝∠ABP＝10°；
当AP＝AB时，点P在AC上，如图：
∵AB＝AP，∠BAP＝20°，
∴∠ABP＝∠APB＝＝80°；
当BA＝BP时，如图：
∵BA＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝20°，
∴∠ABP＝180°﹣∠BAP﹣∠BPA＝140°；
当PA＝PB时，如图：
∵PA＝PB，
∴∠BAP＝∠ABP＝20°；
综上所述：当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是10°，80°，140°或20°，
故答案为：10°，80°，140°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分三种情况讨论是解题的关键
15．（3分）如图，△ABC，延长CB至点D使得BD＝BC，过点D作DF∥AC，点F与AB上一点E连结且∠BEF＝∠A，若AC＝8，DF＝2，则EF＝ 6 ．
【分析】延长AB，交DF的延长线于点G，利用平行线的性质和等腰三角形的判定与性质得到EF＝FG，再利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】解：延长AB，交DF的延长线于点G，如图，
∵DF∥AC，
∴∠D＝∠C，∠G＝∠A．
∵∠BEF＝∠A，
∴∠BEF＝∠G，
∴EF＝FG．
在△DBG和△CBA中，
，
∴△DBG≌△CBA（ASA），
∴DG＝AC＝8．
∵DF＝2，
∴FG＝DG﹣DF＝6，
∴EF＝FG＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，求DE的长 ．
【分析】连接BD交AC于点F，由折叠的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由勾股定理求出CF的长，则可由中位线定理求出DE的长．
【解答】解：连接BD交AC于点F，
∵将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
∴BF＝DF，∠BFC＝90°，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
设CF＝x，则AF＝5﹣x，
∵AB2﹣AF2＝BF2，BC2﹣CF2＝BF2，
∴42﹣（5﹣x）2＝32﹣x2，
∴x＝，
∴CF＝，
∵CE＝BC，
∴CF＝DE，
∴DE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，中位线定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题。（本大题共7小题，共52分）.
17．（8分）解下列不等式（组）：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分即可．
【解答】解：（1），
去分母得：2x＞30+5（x﹣2），
去括号得：2x＞30+5x﹣10，
移项得：2x﹣5x＞30﹣10，
合并得：﹣3x＞20，
解得：x＜﹣；
（2），
由①得：x＞﹣4，
由②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为：x≥﹣1．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18．（6分）已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）用含有m的式子表示上述方程组的解是 ；
（2）若x、y是相反数，求m的值；
（3）若方程组的解满足x+y＜3，求满足条件的m的所有非负整数值．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）根据（1）的结论以及相反数的定义列方程求解即可；
（3）根据（1）的结论，代入已知不等式求出m的范围，确定出m的所有非负整数解即可．
【解答】解：（1），
①+②得：4x＝4m+8，
∴x＝m+2，
把 x＝m+2代入②得m+2﹣y＝6，
∴y＝m﹣4，
故方程组的解为；
故答案为：；
（2）由题意，得m+2+m﹣4＝0，
解得m＝1；
（3）由（1）得x+y＝（m+2）+（m﹣4）＝2m﹣2，
∵x+y＜3，
∴2m﹣2＜3，
∴．
所以满足条件的m的所有非负整数值为：0，1，2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（6分）已知：如图，△ABC，射线AM平分∠BAC．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G，连接BG、CG．
（2）在（1）的条件下，∠BAC和∠BGC的等量关系为 互补 ，证明你的结论．
【分析】（1）以C、B为圆心，大于BC为半径作弧，两弧交于F、E，作直线FE即为BC的垂直平分线．
（2）作GD⊥AB，GK⊥AC，利用角平分线的性质和垂直平分线的性质证全等即可．
【解答】解：（1）如图1；
（2）互补．
证明：作GD⊥AB，GK⊥AC，
∵AG为∠BAC的平分线，
∴GD＝GK，
∵EF为BC的垂直平分线，
∴GB＝GC，
在△GBD与△GCK中，
，
∴△GBD≌△GCK（HL），
∴∠BGC＝∠DGK，
∵∠DGK+∠BAC＝180°，
∴∠BGC+∠BAC＝180°，
∴∠BAC和∠BGC互补．
故答案为：互补．
【点评】本题考查了作图﹣﹣基本作图，要熟悉垂直平分线的性质和角平分线的性质．
20．（6分）已知y＝y1+y2，y1与x﹣1成正比，y2与x成正比．当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝﹣5．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x＝﹣5时，求y的值；
（3）当y＞0时，求x的取值范围．
【分析】（1）y1与x﹣1成正比例，可设y1＝k1（x﹣1），y2与x成正比例，设y2＝k2x，利用待定系数法即可求解．
（2）直接把x的值代入（1）中的函数关系式即可；
（3）由y＞0得到一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围．
【解答】解：（1）设y1＝k1（x﹣1），设y2＝k2x，则y＝k1（x﹣1）+k2x，
根据题意得，，
解得．
∴y＝2×（x﹣1）+x，
即y＝3x﹣2；
（2）把x＝﹣5代入y＝3x﹣2中：y＝﹣15﹣2＝﹣17；
（3）∵y＞0，
∴3x﹣2＞0，
解得：x＞．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是掌握要求y与x之间的关系，先找y1与x、y2与x的关系，再根据条件，求出y与x之间的关系．
21．（8分）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利5600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价：
（1）根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个；
（2）根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒2m个（m为整数），A礼盒的售价比第一次的售价提高m元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高m元．在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多1600元，且第二次购进礼盒总成本不超过13000元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？
【分析】（1）设该超市购进A礼盒x个，则购买B礼盒（100﹣x）个，根据两种礼盒共获利5600元，列方程，解方程即可；
（2）根据B礼盒的售价也比第一次的售价提高m元．在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多1600元，且第二次购进礼盒总成本不超过13000元，列出不等式组求解即可．
【解答】解：（1）设该超市购进A礼盒x个，则购买B礼盒（100﹣x）个，由题意可得：
（240﹣160）x+（150﹣100）（100﹣x）＝5600，
解得：x＝20，
答：该超市购进A礼盒20个，则购买B礼盒80个．
（2）由题意可得：
，
∴10≤m≤15，
∵m为整数，
所以该超市有6种进货方案．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22．（8分）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，连接AD、BE交于点P．
（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是： AD＝BE ．
（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连接AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA＝BE．
【分析】（1）直接写出答案即可．
（2）证明△ECB≌△ACD，得到∠CEB＝∠CAD，此为解题的关键性结论；借助内角和定理即可解决问题．
（3）如图，作辅助线，证明△CPA≌△CHE，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形，
∴AC＝EC，CD＝CB，∠ACE＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠ECB；
在△ACD与△ECB中，
，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴AD＝BE，
故答案为AD＝BE．
（2）AD＝BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．
证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形
∴EC＝AC，BC＝DC，
∠ACE＝∠BCD＝60°，
∴∠ACE+∠ACB＝∠BCD+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD；
在△ECB和△ACD中，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴∠CEB＝∠CAD；
设BE与AC交于Q，
又∵∠AQP＝∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ＝∠EQC+∠CEQ+∠ECQ＝180°
∴∠APQ＝∠ECQ＝60°，即∠APE＝60°．
（3）由（2）同理可得∠CPE＝∠EAC＝60°；在PE上截取PH＝PC，连接HC，
则△PCH为等边三角形，
∴HC＝PC，∠CHP＝60°，
∴∠CHE＝120°；
又∵∠APE＝∠CPE＝60°，
∴∠CPA＝120°，
∴∠CPA＝∠CHE；
在△CPA和△CHE中，
，
∴△CPA≌△CHE（AAS），
∴AP＝EH，
∴PB+PC+PA＝PB+PH+EH＝BE．
【点评】该题以等边三角形为载体，主要考查了全等三角形的判定及其性质、等边三角形的性质等几何知识点的应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
23．（10分）如图1，点C在y轴正半轴上，过点C作BC∥x轴，以BC为斜边作等腰直角△ABC，使得直角顶点A恰好落在x轴正半轴上．已知B（a，b），且a，b满足：（a﹣8）2+|b﹣4|＝0．
（1）求点B坐标；
（2）如图2，点D为AB的中点，连结CD，过C作CE⊥CD且CE＝CD，连接BE交AC于点N，求的值；
（3）如图3，若D点为等腰直角△ABC外部一点，∠CDB＝45°，连接DB交y轴于点E，EF平分∠CEB交CB于F．试判断∠CFE，∠CBD，∠CDB之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据两个非负数的和等于0，那么它们分别等于0求出a、b的值即可求出点B的坐标；
（2）过点E作EH⊥AC于H，根据CE⊥CD推出∠CEH＝∠ACD，用AAS判定△ECH≌△CDA后根据全等三角形的性质推出EH＝CA＝BA，CH＝AD，从而判定△EHN≌△BAN得到HN＝AN，再根据线段之间的数量关系即可求出的值；
（3）设∠CFE＝α，∠CBD＝β，根据直角三角形两锐角互余用含α的代数式表示出∠CEF和∠FEB，根据∠CFE＝∠CBD+∠FEB得到α和β之间的数量关系即可推出∠CFE，∠CBD，∠CDB之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵（a﹣8）2+|b﹣4|＝0，
∴a﹣8＝0，b﹣4＝0，
∴a＝8，b＝4，
∴点B的坐标为（8，4）；
（2）如图，过点E作EH⊥AC于H，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ECH+∠ACD＝90°，
又∵∠ECH+∠CEH＝90°，
∴∠CEH＝∠ACD，
在△ECH和△CDA中，
，
∴△ECH≌△CDA（AAS），
∴EH＝CA＝BA，CH＝AD＝AB＝AC，
∴H是AC的中点，
在△EHN和△BAN中，
，
∴△EHN≌△BAN（AAS），
∴HN＝AN＝AH＝AC，
∴CN＝AC﹣AN＝AC，
∴；
（3）2∠CFE＝2∠CDB+∠CBD．
理由如下：
设∠CFE＝α，∠CBD＝β，
∵∠ECF＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣α，
又∵∠CEF＝∠FEB，
∴∠FEB＝90°﹣α，
∵∠CFE＝∠CBD+∠FEB，
∴α＝90°﹣α+β，
即2α＝90°+β，
∵∠CDB＝45°，
∴2∠CFE＝2∠CDB+∠CBD．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，非负数的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．进价（元/个）
售价（元/个）
A礼盒
160
240
B礼盒
100
150
进价（元/个）
售价（元/个）
A礼盒
160
240
B礼盒
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