浙江省杭州市2024-2025学年第一学期八年级数学期中模拟练习卷（解析版）

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一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下列图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此判定即可．
【详解】A．是轴对称图形，符合题意；
B．不是轴对称图形，不符合题意；
C． 不是轴对称图形，不符合题意；
D． 不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
2．若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：．∵，
∴，故本选项不符合题意；
．∵，
∴，
∴，故本选项符合题意；
．∵，
∴，故本选项不符合题意；
．∵，
∴，故本选项不符合题意；
故选：．
中国象棋是中华民族的文化瑰宝，其历史源远流长，具有趣味性强的特点，
已成为流行极其广泛的棋艺活动．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，
使“馬”位于点，“兵”位于点，则“帅”位于点（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了坐标确定位置，掌握坐标系原点的位置是关键．根据“马”和“兵”的坐标建立出坐标系，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，根据题意可建立如图所示平面直角坐标系，

则“帅”位于点．
故选：C．
在中，已知，，分别是，，的对边，
则下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．，，B．
C．，D．
【答案】B
【分析】此题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【详解】解：A、∵，，，
∴，
∴是等腰三角形；
B、∵
∴，
∴不是等腰三角形；
C、∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
D、∵，
∵，
∴，
∴是等腰三角形．
故选：B．
5．若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查点的坐标特征、解一元一次不等式组、在数轴上表示解集，根据点P在第三象限可得，再解不等式组，并在数轴上表示即可．
【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
解①得：；
解②得：，
∴x的取值范围在数轴上可表示如图：
故选：C．
6．如图，在中，，平分，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了含角平分线的三角形内角和定理问题，牢记三角形内角和是是解题的关键．
首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线的概念得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∵平分，
∴
∴．
故选：B．
如图，中，，，、分别平分、，
过点作直线平行于，交、于、，则的周长为（ ）
A．9B．11C．15D．18
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定，通过等量代换证明，，进而得出，，即可求解．
【详解】解： ，
，，
中，和的平分线相交于点，
，，
，，
，，
，，
的周长为：．
故选：C．
如图，一个动点在平面直角坐标系中按图中箭头方向运动．
第1次从原点运动到点，第2次运动到点2,0，第3次运动到点，
第4次运动到点，第5次运动到点，按这样的运动规律，第2025次运动到点，
则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标规律题，根据题意得出坐标的一般规律是解题关键．根据题意发现点的横坐标等于运动次数，纵坐标按“1、0、2、0”依次循环，据此即可得到点的坐标．
【详解】解：由题意可知，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，
观察可知，点的横坐标等于运动次数，纵坐标按“1、0、2、0”依次循环，
，
第2025次运动到点的坐标是，
故选：B．
9. 如图①是一个直角三角形纸片，∠C=90°，AB=13cm，BC=5cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD（如图②），则DC的长为（ ）

A. cmB. cmC. cmD. cm
【答案】A
【解析】
【分析】利用勾股定理列式求出AC，根据翻折变换的性质可得BC´＝BC,DC´＝DC,设DC＝x，表示出AD，然后利用勾股定理列方程求解即可.
【详解】∵∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm
∴
又∵BC´＝BC＝5,DC´＝DC
∴AC´＝AB－BC´＝13－5＝8cm
设DC＝x,则AD＝AC－DC＝12－x
∴DC´＝x
∴在Rt△AC´D中，根据勾股定理得，
即，即
∴DC＝,故选A.
10．已知：如图，在中，，
点C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：
①；②；③；④．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；
②由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
【详解】解：①∵，
∴，即，
∵在和中，，
∴，
∴，本选项正确；
②∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，本选项正确；
③∵，
∴，
∴，
则，本选项正确；
④∵，
∴，故此选项正确，
故选：D．
二、填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
11．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 cm．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7＝35（cm）；
②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是35cm．
故答案为：35．
如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，
其实他们仅仅少走了___________步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）．
【答案】
【解析】
分析】根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意得，“路”的长度，即步，
是步，是步，共步，
∴少走了步，
故答案为：步．
13．某批电子产品进价为300元/件，售价为400元/件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价出售，若要保证单件利润率不低于20%，则最多可降价 元．
【分析】设每件可降价x元，利用利润＝售价﹣进价，结合要保证单件利润率不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：设每件可降价x元，
根据题意得：400﹣x﹣300≥300×20%，
解得：x≤40，
∴x的最大值为40，
∴最多可降价40元．
故答案为：40．
14．在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是 ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝1，
则a+b的值是：4．
故答案为：4．
15．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．
【答案】15
【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD=30°，
∵DF=DE，
∴∠E=∠DFE=15°．
故答案为：15．
如图，为外一点，，平分的一个外角，．
若，，则的长为________．

【答案】8
【解析】
【分析】设与延长线交于E点，根据等边对等角可得，根据证明，可得，从而可求、的长度，最后在中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，设与延长线交于E点．
∵，
∴．
又∵平分，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得到．
故答案为：8．
三、解答题：本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．解下列不等式（组）
(1)求不等式的解；
(2)解不等式组．
【答案】(1)
(2)
【分析】题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每个不等式的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解；
（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：-5 18．如图，，点E和点F在线段BC上，.
求证：.
【答案】见解析；
【分析】（1）由平行线得∠B=∠C，然后利用ASA即可判定△ABE≌△DCF，进而得到AE=DF；
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（ASA）
∴AE=DF
19．如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上．
(1)请在图中作出关于直线l成轴对称的；
(2)在线段上找一点P（点P在格点上），使得为等腰三角形．（在图中将所有满足条件的点P标注出来）
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点），也考查了等腰三角形的判定，勾股定理．
（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点关于直线 l 的对称点连接即可；
（2）当时可确定 点位置；当时，可确定点的位置．
【详解】（1）解：由网格可知，关于直线l的对应点为，连接，则即为所求，如图：
（2）解：如图：
由网格可知，，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
同理，，
∴为等腰三角形，
∴点 即为所求．
20. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F
（1）求证：PE=PF；
（2）若∠BAC=60°，连接AP，求∠EAP的度数.
【答案】（1）见解析；（2）30°.
【解析】
【分析】（1）作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质知PD=PE，PD=PF，从而证明PE=PF即可；
（2）∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，则AP平分∠BAC，即可求出∠EAP的度数.
【详解】（1）作PD⊥BC于点D，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PE=PF；
（2）∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，
∴AP平分∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠EAP=30°.
21 .骑车佩戴安全头盔，可以保护头部，减少意外伤害，
某商店销售进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：
(1)求甲、乙两种头盔的销售单价；
(2)甲乙两种头盔共售出100个，为实现利润达到1250元的目标，至少需要卖多少个甲头盔．
【答案】(1)甲头盔的销售单价为55元，乙头盔的销售单价为40元
(2)至少需要卖50个甲头盔
【分析】（1）设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元，利用销售金额=销售单价×销售数量，结合周一、周二的销售数据，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设卖出m个甲头盔，则卖出个乙头盔，利用总利润=每个头盔的销售利润×销售数量，结合总利润不少于1250元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲头盔的销售单价为55元，乙头盔的销售单价为40元；
（2）解：设卖出m个甲头盔，则卖出个乙头盔，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最小值为50．
答：至少需要卖50个甲头盔．
22．如图，为等腰直角三角形，，E是上一点，D是延长线上一点，连结．
(1)若．求证：．
(2)若，是等腰三角形，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2或
【分析】（1）根据证明，可得结论；
（2）分两种情形：①，②，分别求解即可．
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：①当时，
∵，
∴．
②当时，设，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为2或．
小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，
两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．
若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8 m和2.4 m，∠BOC＝90°．
(1)△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
(2)爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
(3)秋千的起始位置A处与距地面的高是多少m．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的．
(3)0.6
【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△CEO≌△ODB；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案；
（3）由（2）可得点D距地面的高度是1.2m，用勾股定理求出OA的长，再求出AD的长，即可求得秋千的起始位置A处与距地面的高．
【详解】（1）△CEO与△ODB全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE＋∠BOD＝∠BOD＋∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△CEO和△ODB中，
，
∴△CEO≌△ODB（AAS）；
（2）∵△CEO≌△ODB，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.8m和2.4m，
∴DE＝OD−OE＝CE−BD＝2.4−1.8＝0.6（m），
由题意，点B距地面的高度是1.2m，
所以，点D距地面的高度是1.2m，
点E距地面的高度是1.2+0.6=1.8（m）
所以，点C距地面的高度是1.8m．
答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的．
（3）在Rt△BOD中，（m），
∴OA=3（m），
∴AD=OA-OD=3-2.4=0.6（m）
由（2）得，点D距地面的高度是1.2m，
∴秋千的起始位置A处与距地面的高是1.2-0.6=0.6（m），
答：秋千的起始位置A处与距地面的高是0.6m．
如图1，等腰和等腰中，，将绕点A旋转，
连接，利用上面结论或所学解决下列问题：

(1)若，求证：；
(2)连接，当点D在线段上时．
①如图2，若，则的度数为 ；线段与之间的数量关是 ；
②如图3，若，为中边上的高，求的度数及线段之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)①，；②，
【分析】（1）利用证明即可得证；
（2）①利用证明得出，，然后证明是等边三角形即可求解；
②利用证明得出，然后利用等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，；
②∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，，为中边上的高，
∴点M是的中点，
∴，
又，，
∴．
故答案为：，．
时间
甲头盔销量（个）
乙头盔销量（个）
销售金额（元）
周一
10
10
950
周二
6
15
930