浙江省杭州外国语学校2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷

这是一份浙江省杭州外国语学校2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州外国语学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.）
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列算式中，正确的是（　　）
A．3﹣＝3 B．＝
C． D．＝4
3．（3分）已知x＝3是方程x2+kx+3＝0的一个根，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．3 C．4 D．﹣4
4．（3分）一组数据3，5，2，a，2，3的平均数是3，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．3，2.5
5．（3分）如图，菱形ABCD中，边CD的中垂线交对角线BD于点E，连接AE．若∠ABC＝50°，则∠AEB的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，如果AE平分∠BAD，那么下列结论中不一定成立的是（　　）

A．BE平分∠ABC B．∠AEB＝90° C． D．AB＝AD+BC
7．（3分）某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，那么x应满足的方程是（　　）
A．x＝
B．100（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2
C．（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2
D．（100+40%）（100+10%）＝100（1+x）2
8．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，BC＝8，则AE的长为（　　）

A． B．6 C． D．5
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，，E，BC上的动点，连接AE和EF，G，EF的中点，连接GH（　　）

A． B． C． D．1
10．（3分）如图，正方形ABCD边长为4，点E在边DC上运动（不含端点），∠AEF＝90°，连接DF（　　）
①当DE＝1时，AF＝；②当DE＝2时，D，F共线；③当△ADF与△EDF面积相等时﹣2；④当AD平分∠EAF时﹣3．

A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题：（本大题共6小题，每题3分，满分18分.）
11．（3分）二次根式中，字母x的取值范围是 　 　．
12．（3分）若一个正多边形的每一个外角等于与之相邻内角的，则这个多边形的边数为 　 　．
13．（3分）数据3、1、x、﹣1、﹣3的平均数是0，则这组数据的方差是　 　．
14．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则﹣x1+2023的值为 　 　．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，MP⊥CD于点P．则∠NPC的度数为　 　．

16．（3分）如图，长方形ABCD中，AD＝3，点E为射线DC上一动点（不与D重合），将△ADE沿AE折叠得到△D′AE，若△ABD′为直角三角形，则DE＝　 　．

三、解答题：（本大题满分52分，要有必要解题过程.）
17．（6分）解下列各题：
（1）解方程：x（x+4）＝8x+12；
（2）计算：．
18．（6分）已知a＝，b＝．
（1）求a+b的值；
（2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值．
19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|＝2x1x2，求k的值．
20．（8分）△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，连结BG，DF．
（1）求证：四边形BDFG为菱形；
（2）若AG＝5，CF＝，求四边形BDFG的周长．

21．（8分）为响应“双减”政策，老师们都精心设计每天的作业，兴华学校想调查本校学生每天完成作业所用时间，将他们每天完成作业所用时间绘制成如下统计图，请根据相关信息
（1）这100名学生每天完成作业所用时间的众数为 　 　，中位数为 　 　；
（2）求这100名学生每天完成作业所用时间的平均数；
（3）若该校共有学生2000人，请估计该校每天完成作业所用时间为1小时的学生人数．

22．（8分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且DE＝BF，连结AE，EF．
（1）判断△AEF的形状，并证明；

（2）如图2，连接BD与EF交于点G．
①求证：EG＝FG；
②若DE＝1，DG＝2BG，求线段EF的长．
23．（9分）某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：
如图1，若四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD2+CD2＝AD2+BC2．
（1）简单应用：如图1，四边形ABCD中，AC⊥BD，AD＝1，CD＝2　 　；
（2）发现应用：如图2，若AF，BE分别是△ABC中BC，求证：AC2+BC2＝5AB2；
（3）拓展应用：如图3，▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，CD的中点．若BE⊥EG，，AB＝3．求线段AF的长．


2022-2023学年浙江省杭州外国语学校八年级（下）期中数学试卷
（参考答案）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.）
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，A、C选项中的图形是轴对称图形，B选项是中心对称图形，
故选：B．
2．（3分）下列算式中，正确的是（　　）
A．3﹣＝3 B．＝
C． D．＝4
【解答】解：A．3﹣＝2；
B．+＝2+7＝5；
C．，此选项正确；
D．＝＝2；
故选：C．
3．（3分）已知x＝3是方程x2+kx+3＝0的一个根，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．3 C．4 D．﹣4
【解答】解：∵x＝3是方程x2+kx+6＝0的一个根，
∴35+3k+3＝6，
解得 k＝﹣4．
故选：D．
4．（3分）一组数据3，5，2，a，2，3的平均数是3，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．3，2.5
【解答】解：∵这组数据的平均数为3，
∴3+8+2+a+2+7＝3×6，
解得a＝2，
∴这组数据为2、2、2、3、3、5，
∴这组数据的众数为3，中位数为，
故选：A．
5．（3分）如图，菱形ABCD中，边CD的中垂线交对角线BD于点E，连接AE．若∠ABC＝50°，则∠AEB的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：如图，连接CE．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠DBC＝，AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABD＝25°，
∵点E在线段CD的中垂线上，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC＝25°，
∴∠BEC＝∠ECD+∠EDC＝50°．
在△ABE与△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠AEB＝50°．
故选：C．

6．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，如果AE平分∠BAD，那么下列结论中不一定成立的是（　　）

A．BE平分∠ABC B．∠AEB＝90° C． D．AB＝AD+BC
【解答】解：延长AE交BC延长线于M，

∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠M，
∵∠EAD＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠M，
∴AB＝BM，
∵E为CD中点，
∴DE＝EC，
∵∠DEA＝∠CEM，
∴△DAE≌△CME（AAS），
∴AD＝CM，AE＝EM，
∴AD+BC＝CM+BC＝BM＝AB，
∵AB＝BM，AE＝EM，
∴BE⊥AE，BE平分∠ABC；
∴∠AEB＝90°，
故A，B选项正确，
当∠ABE＝30°时，，故C选项不一定成立．
故选：C．
7．（3分）某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，那么x应满足的方程是（　　）
A．x＝
B．100（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2
C．（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2
D．（100+40%）（100+10%）＝100（1+x）2
【解答】解：设平均每次增长的百分数为x，
∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，
∴商品现在的价格为：100（1+40%）（1+10%），
∵某商品原价为100元，经过两次涨价，
∴商品现在的价格为：100（6+x）2，
∴100（1+40%）（3+10%）＝100（1+x）2，
整理得：（4+40%）（1+10%）＝（1+x）4，
故选：C．
8．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，BC＝8，则AE的长为（　　）

A． B．6 C． D．5
【解答】解：如图，连接CE，

∵矩形ABCD，AB＝6，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，OA＝OC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
设AE＝x，则CE＝x，
在 Rt△DEC中，CE2＝DE2+CD2，
∴x2＝（8﹣x）6+62，
∴，
∴，
故选：C．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，，E，BC上的动点，连接AE和EF，G，EF的中点，连接GH（　　）

A． B． C． D．1
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝＝，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故选：B．

10．（3分）如图，正方形ABCD边长为4，点E在边DC上运动（不含端点），∠AEF＝90°，连接DF（　　）
①当DE＝1时，AF＝；②当DE＝2时，D，F共线；③当△ADF与△EDF面积相等时﹣2；④当AD平分∠EAF时﹣3．

A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【解答】解：①当DE＝1时，在Rt△ADE中，
AE＝＝，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，故①正确；
②当DE＝2时，如图，交CD的延长线于点H，

∵△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°，
∴AE＝EF，
∴∠AED+∠FEH＝90°，
∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠FEH，
在△AED和△EFH中，
，
∴△AED≌△EFH（AAS），
∴AD＝HE＝7，DE＝HF＝2，
∴DH＝4﹣2＝2＝HF，
∴∠HDF＝45°，
∵∠HDF+∠ADH+∠ADB＝180°，
∴当DE＝2时，点B，D，
故②正确；
③如图，∵△AED≌△EFH，
∴DE＝FH，AD＝HE＝6，
∴HD＝4﹣DE，
∵△ADF与△EDF面积相等，
∴，
∴5×（4﹣DE）＝DE2，
∴DE＝6或DE＝3，
故③正确；
④如图，在AD上截取DN＝DE，

∵∠ADC＝90°，DN＝DE，
∴∠DNE＝∠DEN＝45°，NE＝，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝22.3°，
∴∠AEN＝∠DNE﹣∠DAE＝22.5°，
∴∠AEN＝∠DAE，
∴AN＝NE＝DN，
∵AN+DN＝AD＝7，
∴DN＝4﹣2，
∴DE＝DN＝4﹣3，
故④错误，
故选：B．
二、填空题：（本大题共6小题，每题3分，满分18分.）
11．（3分）二次根式中，字母x的取值范围是 　x≥2且x≠3　．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得x≥2且x≠3．
故答案为：x≥6且x≠3．
12．（3分）若一个正多边形的每一个外角等于与之相邻内角的，则这个多边形的边数为 　正十边形　．
【解答】解：∵一个正多边形它的一个外角等于与它相邻的内角的，
∴它的每一个外角＝180÷7＝36°，
∴它的边数＝360÷36＝10．
故答案为：正十边形．
13．（3分）数据3、1、x、﹣1、﹣3的平均数是0，则这组数据的方差是　4　．
【解答】解：由题意可知
因为平均数为0
则（3+1+x﹣8﹣3）＝0
求得x＝4，
所以方差S2＝[（3﹣0）2+（1﹣0）6+（0﹣0）6+（﹣1﹣0）6+（﹣3﹣0）7]＝4
故填4．
14．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则﹣x1+2023的值为 　2027　．
【解答】解：∵x2是一元二次方程x2+x﹣4＝0的根，
∴+x2﹣3＝8，
∴＝﹣x7+3，
∴原式＝﹣x2+4﹣x1+2023
＝﹣（x1+x4）+2026，
∵x1，x2是一元二次方程x5+x﹣3＝0的两个实数根，
∴x2+x2＝﹣1，
∴原式＝﹣（﹣4）+2026
＝2027．
故答案为：2027．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，MP⊥CD于点P．则∠NPC的度数为　50°　．

【解答】解：连接AC，延长MN交PC延长线于点O，
∵M、N分别是边AB和BC的中点，
∴MN为△ABC中位线，
∴MN∥AC，MN＝，
在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴在四边形AMOC中，AM∥OC，
∴四边形AMOC为平行四边形，
∵∠BAD＝100°，
∴∠BAC＝∠BAD＝50°，
∴∠MOC＝∠BAC＝50°，
∵MN＝AC，
∴MN＝ON，
∴PN为△MPO的中线，
∵MP⊥CD于点P，
∴∠MPO＝90°，
∴△MPO为直角三角形，
∴PN＝ON（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴△NPO为等腰三角形，
∴∠NPC＝∠MOC＝50°．
故答案为：50°．

16．（3分）如图，长方形ABCD中，AD＝3，点E为射线DC上一动点（不与D重合），将△ADE沿AE折叠得到△D′AE，若△ABD′为直角三角形，则DE＝　1或9　．

【解答】解：①如图1，当点E在线段DC上时，

∵∠ED′A＝∠D＝∠AD′B＝90°，
∴B，D′，
∵S△ABE＝×AB×AD＝，
∴BE＝AB＝8，
∵BD′＝＝＝4，
∴DE＝D′E＝BE﹣BD′＝5﹣4＝1；
②如图2，当点E在DC的延长线上时，

∵∠AD′B＝∠BCE＝90°，AD′＝AD＝BC＝6，
∴BD′＝4，
设CE＝x，则D′E＝DE＝x+5，
∴BE＝D′E﹣BD′＝x+2，
∵CE2+BC2＝BE2，
∴x2+36＝（x+1）2，
解得x＝5，
∴DE＝CD+DE＝5+4＝8，
综上，DE的值为1或9．
故答案为：6或9．
三、解答题：（本大题满分52分，要有必要解题过程.）
17．（6分）解下列各题：
（1）解方程：x（x+4）＝8x+12；
（2）计算：．
【解答】解：（1）整理得：x2﹣4x﹣12＝6，
（x﹣6）（x+2）＝3，
∴x﹣6＝0或x+2＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣2；
（2）原式＝6﹣1﹣（2+）
＝3﹣1﹣3﹣
＝﹣．
18．（6分）已知a＝，b＝．
（1）求a+b的值；
（2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值．
【解答】解：（1）a＝＝＝﹣4＝＝+2．
a+b＝﹣2+，
（2）∵2＜＜3，
∴0＜﹣2＜1+2＜5，
∴m＝﹣2，
∴4m4+4mn+n2＝（8m+n）2＝（2﹣4+4）6＝20．
19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|＝2x1x2，求k的值．
【解答】解：（1）Δ＝[﹣2（k﹣1）]6﹣4（k2﹣6）
＝4k2﹣5k+4﹣4k2+4
＝﹣8k+6．
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴﹣8k+8＞7，
解得 k＜1，
即实数k的取值范围是 k＜1；

（2）由根与系数的关系，x7+x2＝2（k﹣6），x1x2＝k6﹣1，
∵|x1+x2|＝2x1x3，
∴|2（k﹣1）|＝4k2﹣2，
∵k＜8，
∴2﹣2k＝6k2﹣2，
化简得k8+k﹣2＝0，
∴k＝5（舍）或k＝﹣2，
∴k＝﹣2．
20．（8分）△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，连结BG，DF．
（1）求证：四边形BDFG为菱形；
（2）若AG＝5，CF＝，求四边形BDFG的周长．

【解答】（1）证明：∵AG∥BD，FG＝BD，
∴四边形BDFG是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，
∴BD＝AC，
∵CE⊥BD，AG∥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴DF＝AC，
∴BD＝DF，
∴平行四边形BDFG是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形BDFG是菱形，
∴BG＝BD＝FG＝DF＝AC，
设AF＝x，
则AC＝2FG＝2（AG﹣AF）＝8（5﹣x）＝10﹣2x，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF8+CF2＝AC2，
即x5+（）2＝（10﹣5x）2，
解得：x1＝（不合题意，x2＝3，
∴AC＝10﹣3×3＝4，
∴BD＝AC＝2，
∴四边形BDFG的周长＝5BD＝4×2＝2．
21．（8分）为响应“双减”政策，老师们都精心设计每天的作业，兴华学校想调查本校学生每天完成作业所用时间，将他们每天完成作业所用时间绘制成如下统计图，请根据相关信息
（1）这100名学生每天完成作业所用时间的众数为 　1.5小时　，中位数为 　1.5小时　；
（2）求这100名学生每天完成作业所用时间的平均数；
（3）若该校共有学生2000人，请估计该校每天完成作业所用时间为1小时的学生人数．

【解答】解：（1）由条形统计图可知，抽查学生完成作业所用时间的众数是1.5小时；
中位数为＝1.2（小时）；
故答案为：1.5小时，5.5小时；
（2）＝×（12×6.5+30×1+40×6.5+18×2）＝4.32（小时），
答：这100名学生每天完成作业所用时间的平均数是1.32小时．
（3）估计该校每天完成作业所用时间为1小时的学生人数为2000×＝600．
22．（8分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且DE＝BF，连结AE，EF．
（1）判断△AEF的形状，并证明；

（2）如图2，连接BD与EF交于点G．
①求证：EG＝FG；
②若DE＝1，DG＝2BG，求线段EF的长．
【解答】（1）△AEF为等腰直角三角形，证明如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠ABF＝90°，
在△ABF和△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝90°，
∴△AEF为等腰直角三角形；
（2）①证明：过点E作EH⊥CD，交BD于点H、BE，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝45°，BC⊥CD，
∴∠DHE＝45°，EH∥BC，
∴DE＝HE，
∵DE＝BF，
∴HE＝BF，
∵EH∥BF，
∴四边形HFBE为平行四边形，
∴EG＝FG；
②解：在等腰Rt△DEH中，DE＝1DE＝，
∵四边形HFBE为平行四边形，
∴BG＝GH，
∵DG＝2BG，
∴DH＝DH＝BG＝，
∴BD＝，
在等腰Rt△BCD中，BC＝，
∴CD＝3，CE＝CD﹣DE＝2，
∵DE＝BF，
∴BF＝1，
∴CF＝BC+BF＝8，
在△CEF中，EF＝＝＝．
23．（9分）某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：
如图1，若四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD2+CD2＝AD2+BC2．
（1）简单应用：如图1，四边形ABCD中，AC⊥BD，AD＝1，CD＝2　2　；
（2）发现应用：如图2，若AF，BE分别是△ABC中BC，求证：AC2+BC2＝5AB2；
（3）拓展应用：如图3，▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，CD的中点．若BE⊥EG，，AB＝3．求线段AF的长．

【解答】（1）解：由题意知AD2+BC2＝AB8+CD2，
∵AD＝1，AB＝6，
∴1+BC2＝5+4，
∴CB＝，
故答案为：2；
（2）证明：连接EF，

∵AF⊥BE于P，
∴∠APE＝∠APB＝∠BPF＝∠EPF＝90°，
∴PA2+PE2＝AE2，PF5+PB2＝BF2，PE6+PF2＝EF2，PA4+PB2＝AB2，
∴AE4+BF2＝EF2+AB2，
∵EF＝ABACBC，
∴AC6+BC2＝AB2+AB2，
∴AC2+BC7＝5AB2；
（3）解：如图8，连接AC，AC与BE交于点Q，

∵点E、G分别是AD，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∴∠EAH＝∠FCH，
∵E，F分别是AD，
∴AE＝ADBC，
∴AE＝BF＝CF＝AD＝，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF＝AB＝6，AP＝PF，
在△AEH和△CFH中，
，
∴△AEH≌△CFH（AAS），
∴EH＝FH，
∴EQ，AH分别是△AFE的中线，
由（2）的结论得：AF2+EF6＝5AE2，
∴AF3＝5（）2﹣EF2＝25﹣9＝16，
∴AF＝5．