2023-2024学年浙江省台州市临海市东塍中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省台州市临海市东塍中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各组中的三条线段能组成三角形的是( )
A. 3，4，8B. 5，6，11C. 4，4，8D. 5，7，9
3.在直角坐标系中，点A(2,−8)、B关于y轴对称，则点B的坐标是( )
A. (−2,−8)B. (2,8)C. (−2,8)D. (8,2)
4.如图，AD=BC，要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的条件是( )
A. AB/​/CDB. AD//BC
C. ∠A=∠CD. ∠ABC=∠CDA
5.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( )
A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①和②去
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.若DB=12cm，则AC=( )
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm
7.下列条件不能得到等边三角形的是( )
A. 有两个内角是60°的三角形B. 有一个角是60°的等腰三角形
C. 腰和底相等的等腰三角形D. 有两个角相等的等腰三角形
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，E是边AB上一点，若CD=6，则DE的长可以是( )
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
9.如果a，b，c分别是△ABC三边的长，且|a+b−c|+|b+c−a|+|c+a−b|=12，那么△ABC的周长是( )
A. 24B. 9C. 12D. 6
10.边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CD上的点，且AD=BD，有一只蚂蚁从点D出发，经过点E，F，最后回到点D，则蚂蚁所走的最短路程为( )
A. 6
B. 8
C. 12
D. 9
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：a2b−ab= ______ ．
12.一个多边形的内角和等于900°，则它的边数是______．
13.一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是______ cm．
14.如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC=8，BC=5.则△BEC的周长是______．
15.如图，点E和点F分别是矩形ABCD边上的两点，已知EB=2AE，BF=2CF，连接AF，CE，设AF，CE交于点G，则S四边形AGCDS长方形ABCD值为______ ．
16.如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M；以下四个结论：①△ADC≌△AEB；②GM=2EM；③△EGM是等腰三角形；④BG=AF+FG；恒成立的结论有______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.先化简，再求值：[(x−3y)2−(x−y)(x+y)]÷2y，其中x=2，y=1．
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：
(1)(−2x2)3+4x3⋅x3．
(2)(3x−y)(x+2y)．
19.(本小题6分)
(1)萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图(1)所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定.这种设计所运用的数学原理是______ ；
(2)图(2)是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm，则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，A(−3,2)，B(−4,−3)，C(−1,−1)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)写出点C1的坐标(直接写答案)：C1______；
(3)△A1B1C1的面积为______；
(4)在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
21.(本小题8分)
如图，已知△ABC中，∠B=2∠C．
(1)请用基本的尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D，在AC上取一点E，使得AB=AE，连接DE(不写作法，不下结论，保留作图痕迹)；
(2)在(1)所作的图形中，探究线段AB，AC与BD之间的数量关系．
22.(本小题10分)
如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB=AD，AC=AE，BC分别交AD、DE于点G、F，AC与DE交于点H．
求证：(1)△ABC≌△ADE；(2)BC⊥DE．
23.(本小题10分)
如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．
(1)如图(1)，当t=______时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
(2)如图(2)，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A.在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．
24.(本小题12分)
数学课上，老师出示了如下框中的题目：
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE ______DB(填“>”“<”或“=”)．
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE ______DB(填“>”，“<”或“=”)
理由如下：如图2，过点E作EF/​/BC，交AC于点F，(请你继续完成解答过程)
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线上AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为3，AE=5，求CD的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵3+4<8，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、∵5+6=11，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵4+4=8，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、∵5+7>9，∴能组成三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，针对每一个选项进行计算，可选出答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3.【答案】A
【解析】解：∵点A与点B关于y轴对称，点A的坐标是(2,−8)，
∴点B的坐标是：(−2,−8)．
故选：A．
直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定；判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．根据判定方法，结合已知条件，寻找添加条件，从已知条件入手，结合全等的判定方法，通过分析推理，对选项一个个进行验证．
【解答】
解：题中已有条件AD=BC，隐含公共边相等，那么就缺少这两边所夹的角相等，即∠ADC=∠BDC，
选项中没有此条件，要想得到这个条件，需添加AD//BC．
故选B．
5.【答案】C
【解析】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选：C．
此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．
主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
6.【答案】C
【解析】解：如图，连接AD，
∵DE是AB的垂直平分线，DB=12cm，
∴DA=DB=12cm，
∵∠B=15°，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°，
在△ACD中，∠C=90°，
∴AC=12AD=12DB=6cm．
故选：C．
根据垂直平分线的性质得出DA=DB=12cm，根据等边对等角得出∠ADC=30°，然后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的判定，解决本题的关键是熟记等边三角形的定义和判定定理.根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形，据此解答即可．
【解答】
解：A、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，不符合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；
C、腰和底相等的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；
D、有两个角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，符合题意；
故选D．
8.【答案】D
【解析】解：过点D作DM⊥AB于点M，如图所示．
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DM⊥AB，
∴DM=CD=6．
又∵E是边AB上一点，
∴DE≥DM，
∴DE≥6．
故选：D．
过点D作DM⊥AB于点M，利用角平分线的性质可求出DM的长，结合点到直线垂直线段最短即可得出DE≥6，再对照四个选项即可得出结论．
本题考查了角平分线的性质，牢记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵a，b，c分别是△ABC三边的长，
∴a+b>c，b+c>a，c+a>b，
∵|a+b−c|+|b+c−a|+|c+a−b|=12，
∴a+b−c+b+c−a+c+a−b=12，
即a+b+c=12，
∴△ABC的周长是12，
故选：C．
根据三角形的三边关系可得a+b>c，b+c>a，c+a>b，再根据绝对值的性质可得a+b+c=12，即可求解．
本题考查绝对值以及三角形三边的关系，掌握三角形三边的关系是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：作点D关于BC，AC的对称点为G，H，则：DG⊥BC，DH⊥AC，
∴DE+EF+DF=GE+EF+FH≥GH，
∴当G，E，F，H四点共线时，蚂蚁所走的路线最短，
∵边长为4的等边三角形ABC中，AD=BD，
∴∠A=∠B=60°，AD=BD=2，
∴∠BDM=30°，
∴BM=12BD=1，DM= BD2−BM2= 3，
∴DG=2 3，
同法可得：∠ADH=30°,DH=2 3，
∴∠GDH=180°−2×30°=120°，DG=DH，
∴∠DGH=∠DHG=30°，
过点D作DN⊥GH，则：DN=12DG= 3,GH=2GN=2 DG2−DN2=6；
∴蚂蚁所走的最短路程为6；
故选：A．
作点D关于BC，AC的对称点为G，H，得到DE+EF+DF=GE+EF+FH≥GH，即当G，E，F，H四点共线时，蚂蚁所走的路线最短，根据等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可．
本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，轴对称的性质．解题的关键是构造轴对称，利用轴对称解决线段和最小问题．
11.【答案】ab(a−1)
【解析】解：原式=ab(a−1)．
故答案为：ab(a−1)．
提取公因式ab，即可得出答案．
本题主要考查了因式分解−提取公因式，正确提取公因式是解决本题的关键．
12.【答案】7
【解析】解：设这个多边形的边数是n，
则：(n−2)×180°=900°，
解得n=7，
故答案为：7．
根据n边形的内角和为(n−2)×180°列出关于n的方程式，解方程即可求出边数n的值．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键在于要根据公式进行正确运算，变形和数据处理．
13.【答案】17
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】
解：①当腰是3cm，底边是7cm时：3+3<7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3cm，腰长是7cm时，7+3>7，能构成三角形，则其周长=3+7+7=17cm．
故答案为：17．
14.【答案】13
【解析】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴△BEC的周长=BC+CE+EB=BC+CE+EA=BC+AC=13，
故答案为：13．
根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15.【答案】0.6
【解析】解：连接BG，
设S△AEG=a，S△CFG=b，
∵EB=2AE，BF=2CF，
∴S△BEG=2a，S△BFG=2b，
∴S△ABF=12AB⋅23BC=13S矩形ABCD=a+2a+2b=3a+2b，S△BCE=12BC⋅23AB=13S矩形ABCD=2a+2b+b=2a+3b，
∴3S△ABF=3S△BCE，
∴3(3a+2b)=3(2a+3b)，即a=b，
∴S矩形ABCD=15a，
∴S四边形AGCDS长方形ABCD=15a−5a−a15a=9a15a=0.6，
故答案为：0.6．
连接BG，设S△AEG=a，S△CFG=b，由等高的三角形的面积的比等于对应底的比得到S△BEG=2a，S△BFG=2b，结合图形得出3S△ABF=3S△BCE，确定a=b从而计算S四边形AGCDS长方形ABCD．
此题考查了矩形的性质，三角形高有关的计算，解此题的关键是注意等高的三角形的面积的比等于对应底的比．
16.【答案】①③④
【解析】解：∵△ABC为等腰直角，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，
在△ADC和△AEB 中，
AC=AB∠CAD=∠BAEAD=AE，
∴△ADC≌△AEB(SAS)；
∴①正确．
∵∠BAC=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，∠ADC+∠ACD=90°，
由△ADC≌△AEB得∠ACD=∠ABE，则∠AEB+∠ACD=90°，
∵FG⊥CD，
∴∠CMF+∠ACD=90°，
则∠AEB=∠CMF，
∴∠GEM=∠GME，
则EG=MG，
那么△EGM是等腰三角形；故③正确，但无法证明△EGM为等边三角形，无法证明②恒成立；
过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，如图，
∵BN⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠FBN=∠FBA=45°，
∵FG⊥CD，
∴∠BFN=∠CFM=90°−∠DCB，
∵AF⊥BE，
∴∠BFA=90°−∠EBC，
∵∠ACD=∠ABE，
∴∠DCB=∠EBC，
∴∠BFN=∠BFA，
在△BFN和△BFA中，
∠FBN=∠FBABF=BF∠BFN=∠BFA，
∴△BFN≌△BFA(ASA)，
则NF=AF，∠N=∠FAB，
∵∠GBN+∠ABE=90°，∠FAB+∠ABE=90°，
∴∠FAB=∠GBN，
∴∠N=∠FAB=∠GBN，
∴BG=NG，
∵NG=NF+FG，
∴BG=AF+FG，
故④正确；
故答案为：①③④．
根据题意得△ADC≌△AEB，有①成立；由∠ACD=∠ABE，结合∠AEB=∠CMF得到∠GEM=∠GME则有③成立；过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，由题意得∠FBN=∠FBA和∠BFN=∠BFA可证得△BFN≌△BFA，得NF=AF，∠N=∠FAB，即可证得④成立．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
17.【答案】解：原式=[x2−6xy+9y2−(x2−y2)]÷2y
=(x2−6xy+9y2−x2+y2)÷2y
=(−6xy+10y2)÷2y
=−3x+5y，
当x=2，y=1时，
原式=−3×2+5×1=−6+5=−1．
【解析】先利用乘法公式计算括号里面的乘方，乘法，然后将括号内的式子进行去括号，合并同类项化简，再用多项式除以单项式的运算法则进行计算，最后代入求值．
本题考查整式的混合运算—化简求值，掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的结构是解题关键．
18.【答案】解：(1)(−2x2)3+4x3⋅x3
=−8x6+4x6
=−4x6；
(2)(3x−y)(x+2y)
=3x2+6xy−xy−2y2
=3x2+5xy−2y2．
【解析】(1)先算积的乘方，单项式乘单项式，再合并同类项即可；
(2)利用多项式乘多项式的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查多项式乘多项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19.【答案】三角形具有稳定性．
【解析】解：(1)由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性．
(2)CB=38cm．
理由如下：∵O是AB和CD的中点，
∴AO=BO，CO=DO，
在△AOD和△BOC中，
AO=BO∠AOD=∠BOCDO=CO，
∴△AOD≌△BOC(SAS)，
又∵AD=38cm，
∴BC=AD=38cm．
(1)根据三角形的稳定性进行解答即可；
(2)证明△AOD≌△BOC(SAS)，得BC=AD，结合已知条件则可知BC的长度
本题考查了三角形的稳定性，三角形全等的性质与判定，证明△AOD≌△BOC是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)(1,−1)
(3) 132
(4)如图，连接BC1与y轴的交点为P，点P即为所求．
【解析】解：(1)见答案
(2)由图象可知：C1(1,−1)；
故答案为(1,−1)．

(3)S=3×5−12×1×5−12×2×3−12×2×3=132；
故答案为132.
(4)见答案
【分析】(1)分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1即可．
(2)根据点C1的位置即可解决问题．
(3)利用分割法计算即可．
(4)连接BC1与y轴的交点即为所求的点P．
本题考查作图−轴对称变换，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握对称作图，学会利用对称的性质，解决最短问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)如图即为所求．

(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
在△ABD与△AED中，
AB=AE∠BAD=∠EADAD=AD，
∴△ABD≌△AED(SAS)，
∴∠B=∠AED，DE=DB，
∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC，
∴CE=BD，
∵AC=AE+CE，
∴AC=AB+BD．
【解析】(1)根据要求运用尺规作图画出图形即可；
(2)先根据SAS证明△EAD≌△CAD，推出DE=DC，∠C=∠AED，再证明BE=DE，最后根据线段的和差即可解答．
本题考查尺规作图，掌握基本的尺规作图方法是解题的关键．
22.【答案】证明：(1)∵AB⊥AD，AC⊥AE，
∴∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠DAB+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE
∴△ABC≌△ADE(SAS)．
(2)∵△ABC≌△ADE，
∴∠E=∠C，
∵∠E+∠AHE=90°，∠AHE=∠DHC，
∴∠C+∠DHC=90°，
∴BC⊥DE．
【解析】(1)利用AB⊥AD，AC⊥AE，得出∠DAB=∠CAE，进一步得出∠BAC=∠DAE，再根据已知条件及全等的判定方法SAS即可证得△ABC≌△ADE；
(2)由△ABC≌△ADE，得出∠E=∠C，利用∠E+∠AHE=90°，推出∠C+∠DHC=90°，结论成立．
本题考查了全等三角形全等的判定及性质，垂直的意义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
23.【答案】解：(1)112或192；
(2)△APQ≌△DEF，即对应顶点为A与D，P与E，Q与F．
①当点P在AC上，如图②−1所示：
此时，AP=4，AQ=5，
∴点Q移动的速度为5÷(4÷3)=154cm/s;
②当点P在AB上，如图②−2所示：
此时，AP=4，AQ=5，
即点P移动的距离为9+12+15−4=32cm，点Q移动的距离为9+12+15−5=31cm，
∴点Q移动的速度为31÷(32÷3)=9332cm/s，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速为154cm/s或9332cm/s．
【解析】【分析】
本题考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键．
(1)分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；
(2)由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在AC上，②当点P在AB上，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度．
【解答】
解：(1)①当点P在BC上时，如图①−1，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半，则CP=12BC=92cm，
此时，点P移动的距离为AC+CP=12+92=332，
移动的时间为：332÷3=112秒；
②当点P在BA上时，如图①−2，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半，则PD=12BC，即点P为BA中点，
此时，点P移动的距离为AC+CB+BP=12+9+152=572cm，
移动的时间为：572÷3=192秒，
故答案为：112或192；
(2)见答案．
24.【答案】= =
【解析】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵点E为AB的中点，
∴AE=EB，∠ECB=12∠ACB=30°，
∵DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠BED=60°−30°=30°，
∴∠D=∠BED=30°，
∴BD=BE，
∴BD=AE．
故答案为：=．
(2)AE与DB的大小关系是：AE=DB，理由：
过E作EF/​/BC交AC于F，如图，
∵等边三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中
∠DEB=∠ECF∠DBE=∠EFCDE=CE，
∴△DEB≌△ECF，
∴BD=EF=AE，
即AE=BD，
故答案为：=．
(3)解：CD=1或3，
理由是：分为两种情况：
①过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，如图，
则AM/​/EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=12BC=32，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AB=3，AE=5，
∴BE=2
∵EN⊥DC，AM⊥BC，
∴EN//AM，
∴NBBM=ABBE=32，
∴NB=1，
∴CN=BN+BC=1+3=4，
∴CD=2CN=8；
②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM/​/EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=12BC=32，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM/​/EN，
∴ABAE=BMMN，
∴35=32MN，
∴MN=52，
∴CN=MN−CM=52−32=1，
∴CD=2CN=2，
∴CD=8或2．
(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
(2)过E作EF/​/BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
(3)当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由(2)求出CD=8，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=2．
本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解(2)小题的关键是构造全等的三角形后求出BD=EF，解(3)小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意，不要漏解．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．