2023-2024学年江西省信丰中学高一上学期第二次（9月）月考数学（A）试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省信丰中学高一上学期第二次（9月）月考数学（A）试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简集合，再应用交集的运算即可.
【详解】由，
，
则.
故选：C
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定是特称命题得答案.
【详解】命题“，”的否定为，.
故选：C.
3．已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的定义得到，又由解析式得到，进而得到结果.
【详解】因为函数为奇函数，故得到
当时，，

故选：C.
4．已知，则它们的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂函数、指数函数的性质判断大小关系.
【详解】由，
所以.
故选：B
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
6．已知命题：函数过定点，命题：函数是幂函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据幂函数的性质，从充分性与必要性两个方面分析判断.
【详解】若函数是幂函数，则过定点；当函数过定点时，则不一定是幂函数，例如一次函数，所以是的必要不充分条件.
故选：B.
7．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时，函数是实数集上的减函数，不符合题意；
当时，二次函数的对称轴为：，
由题意有解得．
故选：D
8．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由偶函数的性质求得，利用偶函数的性质化不等式中自变量到上，然后由单调性转化求解．
【详解】解：由题意，，的定义域，时，递减，
又是偶函数，因此不等式转化为，
，，解得．
故选：D．
二、多选题
9．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由函数奇偶性的定义及指数函数与幂函数的性质即可求解.
【详解】解：对A：，定义域为R，因为，所以为偶函数，且时，，由幂函数的性质知函数在上单调递增，故选项A正确；
对B：，定义域为R，因为，所以为奇函数，故选项B错误；
对C：，定义域为R，因为，所以函数为偶函数，且时，，由指数函数的性质知函数在上单调递增，故选项C正确；
对D：，定义域为R，因为，且，所以函数不具有奇偶性，故选项D错误.
故选：AC.
10．若函数（且）在R上为单调递增函数，则a的值可以是（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】BCD
【分析】利用分段函数单调性的判定，列出相应不等式组可解出的范围，并判断各选项
【详解】解：因为函数且在R上为单调递增函数，
则函数需满足：，即：.
故选：BCD
11．已知函数图像经过点，则下列结论正确的有（ ）
A．为偶函数
B．为增函数
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据函数图像经过点，得到，定义域为，然后逐项判断.
【详解】解：因为函数图像经过点，
所以，解得，则，定义域为，
定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，易知为增函数，所以当时，，
作出函数的图象，如图所示：
由图象知：，
所以当时，，
故选：BCD
12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为
C．若，则
D．若实数a，b满足，则的最小值为2
【答案】CD
【分析】取可判断A；构造借助均值不等式可判断B；构造借助均值不等式可判断C；令，则，借助均值不等式可判断D
【详解】对于A，若，则，A错误；
对于B，∵，∴，，
∴
（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误；
对于C，∵，∴，，又，
（当且仅当，即时取等号），C正确；
对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确．
故选：CD
三、填空题
13．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.
【详解】根据题意，由，解得且，因此定义域为.
故答案为：.
14．计算： ．
【答案】
【分析】根据幂的运算法则，根式的定义计算．
【详解】．
故答案为：．
15．若命题“是假命题”，则实数的取值范围是 .
【答案】//
【分析】等价于，解即得解.
【详解】解：因为命题“是假命题”，
所以，
所以.
故答案为：
16．已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】将“对，使得，”转化为，再根据二次函数的性质和指数函数的单调性求得最值代入即可解得结果.
【详解】当时，，
∴当时，，
当时，为增函数，
所以时，取得最大值，
∵对，使得，
∴，
∴，解得.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，集合，其中实数．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解一元一次、一元二次不等式求集合A、B，再应用集合的并补运算求.
（2）由题设可得是的真子集，结合已知条件列不等式求参数范围.
【详解】（1）由条件知：，，
∴，故．
（2）由题意知，集合是集合的真子集．
当时，，于是，而且，
∴，
又，则只需，又，解得
∴实数的取值范围为．
18．已知函数，.
（1）利用定义证明函数单调递增；
（2）求函数的最大值和最小值.
【答案】（1）证明见详解；（2）最大值；最小值.
【解析】（1）任取、且，求，因式分解，然后判断的符号，进而可得出函数的单调性；
（2）利用（1）中的结论可求得函数的最大值和最小值.
【详解】（1）任取、且，
因为，
所以，
，
，，，
，
即，
因此，函数在区间上为增函数；
（2）由（1）知，当时，函数取得最小值；
当时，函数取得最大值.
【点睛】关键点睛：求函数的最值利用函数的单调性是解决本题的关键.
19．已知关于x的不等式－x2+ax+b>0.
(1)若该不等式的解集为（－4，2），求a，b的值；
(2)若b=a+1，求此不等式的解集.
【答案】(1)a=－2，b=8
(2)答案见解析
【分析】（1）由不等式的解集与一元二次方程根的关系得出方程的根，然后由韦达定理列式求解；
（2）根据相应一元二次方程的根的大小分类讨论可得．
【详解】（1）根据题意得
解得a=－2，b=8.
（2）当b=a+1时，－x2+ax+b>0⇔x2－ax－（a+1）<0，
即[x－（a+1）]（x+1）<0.
当a+1=－1，即a=－2时，原不等式的解集为；
当a+1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为（a+1，－1）；
当a+1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为（－1，a+1）.
综上，当a<－2时，不等式的解集为（a+1，－1）；当a=－2时，不等式的解集为∅；当a>－2时，不等式的解集为（－1，a+1）.
20．由中国发起成立的全球能源互联网发展合作组织于2021年3月18日在京举办中国碳达峰碳中和成果发布暨研讨会．会议发布了中国2030年前碳达峰、2060年前碳中和、2030年能源电力发展规划及2060年展望等研究成果，在国内首次提出通过建设中国能源互联网实现碳减排目标的系统方案．为积极响应国家节能减排的号召，某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场调查分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价10万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式．（利润=收入成本）；
(2)当年产量为多少百辆时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1).
(2)年生产50百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为10000万元.
【分析】（1）分和，讨论求得利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式．
（2）分和，根据二次函数的性质和基本不等式可求得最值，比较得最大利润.
【详解】（1）解：当时，
；
当时，
；
所以．
（2）当时，，
当时，；
当时， ；
当且仅当，即时，等号成立．
因100009750，
所以当时，即年生产50百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为10000万元．
21．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式：.
【答案】(1)；
(2)函数在上是增函数，证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；
（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
即，可得，则，
所以，，则，因此，.
（2）证明：函数在上是增函数，证明如下：
任取、且，则
，
因为，则，，故，即.
因此，函数在上是增函数.
（3）解：因为函数是上的奇函数且为增函数，
由得，
由已知可得，解得.
因此，不等式的解集为.
22．设函数．
(1)求函数的值域；
(2)设函数，若对，求正实数a的取值范围．
【答案】(1)函数的值域为.
(2)
【分析】(1)由已知，利用基本不等式可求函数的值域；(2)由对可得函数函数在上的值域包含与函数在上的值域，由此可求正实数a的取值范围．
【详解】（1），
，则，当且仅当时取“=”，
所以，即函数的值域为.
（2）设，因为所以，函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，，设时，函数的值域为A．由题意知．函数图象的对称轴为，
当，即时，函数在上递增，则，解得，
当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者，而且，不合题意，
当，即时，函数在上递减，则，满足条件的不存在，
综上，．