2023-2024学年江西省高一上学期第二次模拟选科联考（12月）数学试题含答案

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】按命题的否定的概念判断.
【详解】将“”改为“”，将“”改为“”.
故选：A
2. 若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合运算求解阴影部分即可.
【详解】，
故图中阴影部分表示的集合为，共5个元素.
故选：C
3. 某地区老年艺术团由相声队、歌咏队以及诗歌朗诵队构成，其中相声队有30人，歌咏队有45人，现按分层抽样的方式从中抽取12人参加文艺汇演，其中诗歌朗诵队被抽到6人，则该地区老年艺术团的总人数为（ ）
A. 90B. 120C. 140D. 150
【答案】D
【解析】
【分析】解法一，由分层抽样列出方程，代入计算，即可得到结果；解法二：由抽取的12人中相声队、歌咏队的人数之和与诗歌朗诵队的人数相同，列出式子，代入计算，即可得到结果.
【详解】解法一：设该地区老年艺术团的总人数为x，由分层抽样知识可知，，解得，
故选：D．
解法二：抽取的12人中相声队、歌咏队的人数之和与诗歌朗诵队的人数相同，故所求总人数为，
故选：D．
4. 某班级共有52位同学，现随机抽取8位同学参加学校组织的“校园读书节”活动，老师将班级同学进行编号：01，02，03，……，52，若从随机数表的第3行第27列开始，依次往右读数，直到取足样本为止，则第6位被抽到的同学对应的编号为（ ）
95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39
90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35
46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79
20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30
71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60
A. 16B. 42C. 50D. 80
【答案】B
【解析】
【分析】利用随机数表法即可得解.
【详解】由随机数法，抽取的同学对应的编号为08，32，16，46，50，42，…，
故第6位同学编号为42.
故选：B．
5. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】依题意，，
因为，在上均单调递增，故在上单调递增，
而，，
故存在唯一的零点，且该零点所在区间为，
故选：B．
6. 已知函数，则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由特值法，函数的对称性对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为，故C错误；
又因为，
故函数的图象关于对称，故B错误；
当趋近时，趋近，趋近，所以趋近正无穷，故D错误.
故选：A.
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较大小.
【详解】依题意，，，，故.
故选：C
8. 已知函数，若函数有3个零点，则满足条件的a的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】通过对a的值讨论，把函数的零点转化为方程的根，结合换元法以及函数的图象，利用数形结合分析函数的零点个数，判断a的范围，求解即可.
【详解】当时，，此时无解，不合题意；
当时，设，则与的大致图象如图1所示，
则对应的两根为，，且，此时与无解，
即方程无解，不合题意；
当时，设，则与的大致图象如图2所示，
则对应的两根为，，且，
若恰有3个零点，则和与图象共有3个不同的交点．
①当时，与的图象有2个不同交点，如图3所示，
所以与的图象有且仅有1个交点，则，即，解得；
②当时，与的图象有2个不同交点，
所以与的图象有且仅有1个交点，则与矛盾，不合题意；
③当时，与的图象有2个不同交点，如图4所示，
所以与的图象有且仅有1个交点，则，即，解得.
故满足条件的a有2个.
故选：C
【点睛】关键点点睛：复合方程解的个数问题的解题策略为：首先要能观察出复合的形式，分清内外层；其次要能根据复合的特点进行分析，将方程问题转化为函数的交点问题；最后通过数形结合的方式解决问题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D. 
【答案】BC
【解析】
【分析】解法一：由判断A；由判断B；由判断CD．
解法二：依题意列举中的元素，观察可得答案.
【详解】解法一：易知，故A错误；易知，则B正确；
，故，故C正确，D错误，
故选：BC．
解法二：依题意，，
，
观察可知AD错误，BC正确，
故选：BC.
10. 下列函数在上单调递增的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用常见函数的单调性可判断ABC，求出可判断D.
【详解】为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
在上单调递增，故B正确；
在上单调递减，在上单调递增，故C正确；
对于D，因，，
所以，故D错误，
故选：BC．
11. 已知正数m，n满足，则（ ）
A. ，B. ，．
C. ，D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据基本不等式结合解不等式判断AB；变形，利用基本不等式求出，即可判断CD.
【详解】，则，解得，
当且仅当时等号成立，故A正确；
，故，故，
当且仅当时等号成立，故B正确；
显然，则，
故，
当且仅当时等号成立，则，故C错误，D正确，
故选：ABD．
12. 已知定义在R上的函数与满足，且，若为偶函数，则（ ）
A. B.
C. D. 的图象关于原点对称
【答案】ABC
【解析】
【分析】由为偶函数，故的图象关于对称，即可判断A；由条件可得①，令可判断B；由题意可得②，联立①②可得，可判断C；由为图象的一条对称轴，可得的对称轴，可判断D.
【详解】因为为偶函数，得，故的图象关于对称，
故，故A正确；
由得，，代入中，
得①，令，得，故B正确；
因为为偶函数，故，
故由得，，
则，故②，
联立①②，可得，故为图象的一条对称轴，故C正确；
而，故的图象关于y轴对称，故D错误，
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域是___________
【答案】（-1，1）
【解析】
【分析】解不等式即得函数的定义域.
【详解】由题得，所以.
所以函数的定义域为（-1，1）.
故答案为：（-1，1）
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查分式不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
14. 若幂函数在上单调递减，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由幂函数的定义以及单调性列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：
15. 德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数，其中表示“不超过x的最大整数”，如，，，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】通过已知条件确定取整函数的取值法则，即，；利用对数运算法则计算，进而确定的值.
【详解】，
因为为增函数，所以，，
故．
故答案为：
16. 记函数的零点为，则 ________．
【答案】－2
【解析】
【分析】根据题意，由函数零点的定义，代入计算，可得，再由对数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】依题意，，则，
故；
令，因与在R上单调递增，
则函数在R上单调递增，
则，
故，，则，
故．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数，________．
在①的最小值为－1；②函数存在唯一零点，这2个条件中选择1个条件填写在横线上，并完成下列问题．
（1）求实数a的值；
（2）求函数在上的值域．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选①：根据二次函数的最小值求得a的值；
选②：根据求得a的值.
（2）利用的单调性求值域.
【小问1详解】
选①：因为，所以的最小值为，解得
选②：存在唯一零点，
则，解得．
【小问2详解】
由（1）可知，，
因为，在上均单调递增，
故在上单调递增，
而，，故在上的值域为．
18. 已知集合，.
（1）若，求
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式求解集合A，然后补集和交集运算求解即可.
（2）把必要不充分条件化为集合B是集合A的真子集，根据集合关系列不等式求解即可.
【小问1详解】
依题意，，
当时，，故或，
则.
【小问2详解】
由“”是“”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，
由，故，则，故，
综上所述，实数m的取值范围为
19. 某化工厂在进行生产的过程中由于机器故障导致某种试剂含量超标，已知该试剂超标后会产生一种有毒气体，在疏散工人，处理好超标试剂后，工厂启动应急系统进行处理，已知工厂内部有毒气体的浓度与应急系统处理时间t（小时）之间存在函数关系（其中），且应急系统处理2小时后，有毒气体的浓度为162ppm，继续处理，再过6小时后，有毒气体的浓度为48ppm．
（1）求a，λ的值；
（2）当有毒气体的浓度降低到以下（含）时，工厂能够正常运行，假设从启动应急系统开始经过t小时后，工厂能够恢复正常生产，求t的最小值．
【答案】（1）
（2）20
【解析】
【分析】（1）将两组条件分别代入解析式，得到方程组，求解即得；
（2）依题，使（1）中求出的解析式小于，解不等式即得.
【小问1详解】
依题意可得，由可得：，即，故，
代入①，，故.
【小问2详解】
令，即得，因是减函数，
则，解得，故t的最小值为20.
20. 已知函数，且为偶函数．
（1）求实数的值；
（2）若，，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）函数是偶函数，所以，化简即可求解实数的值；
（2）由的解析式可得单调性，求得最大值，即可得到答案.
【小问1详解】
依题意，是偶函数，
则，故，
则，
则或，
解得．
【小问2详解】
由（1）可知，，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
故，
故，即实数λ的取值范围为．
21. 已知函数．
（1）求在上的最大值；
（2）已知，若，且在上的最大值为4，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过转换，转换成二次函数在给定区间上的值域问题；
（2）结合函数的图象，明确，的大小关系，分析函数在给定区间上的单调性，利用已知函数的最大值求的值.
【小问1详解】
依题意，当时，，
∵，当且仅当即时取“”，
故，则在上的最大值为.
【小问2详解】
依题意：
则且，则
因为，在上单调递减，在上单调递增，
故，
故解得，，则.
22. 已知函数
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，讨论函数的零点个数．
【答案】（1）在和上单调递增，在和上单调递减
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，令，再由二次函数的单调性，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得，然后分，以及讨论，再结合二次函数的性质，结合零点的定义，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
依题意，
令，则原式化为，
易知在上单调递增，在上单调递减，
而在上单调递减，在上单调递增，
令，则或
故在和上单调递增，在和上单调递减．
【小问2详解】
依题意，
①当时，，此时有且只有一个零点；
②当时，
因为抛物线开口向上，且对称轴为，
所以在区间上单调递增；
而抛物线开口向上，且对称轴为，
所以在区间上单调递减；
故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又因为，所以有两个零点；
③当时，
因为抛物线开口向下，且对称轴为，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；
而抛物线开口向下，且对称轴为，
所以区间上单调递增，在区间上单调递减；
故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又因为．，所以有两个零点；
综上所述，当时，有1个零点；当且时，有2个零点．