2023-2024学年湖南省株洲市第八中学高一上学期9月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省株洲市第八中学高一上学期9月月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用交集定义直接求解.
【详解】∵集合，，
∴.
故选：B.
2．已知命题：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出命题的否定即可．
【详解】特称命题的否定是全称命题，所以命题：，，则为，.
故选：A.
3．设，则M与N的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】利用作差比较法，得到，即可求解.
【详解】由，
则，
所以.
故选：A.
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】通过举反例，结合不等式的性质，由充分条件与必要条件的概念，即可判定出结果.
【详解】若，，则满足，不满足；
由可得，不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】结论点睛：
判定充分条件与必要条件时，一般根据概念直接判断，有时也需要可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
5．若，则函数的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】根据题意结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可得：，
∵，则，
故，当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
6．不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．
【详解】解：
解得：.
故选：C.
7．甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（ ）
A．甲更合算B．乙更合算
C．甲乙同样合算D．无法判断谁更合算
【答案】A
【分析】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解.
【详解】设两次的单价分别是元/升，
甲加两次油的平均单价为，单位：元/升，
乙每次加油升，加两次油的平均单价为，单位：元/升，
因为，，，
所以，即，
即甲的平均单价低，甲更合算.
故选：A
8．给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】B
【详解】 时，的个数是
时，的个数是
时，的个数是1，
时，的个数是
时，的个数是1，
时，的个数是1，
时，的个数是1，
的有序子集对的个数为：17个，
二、多选题
9．（多选）若{1,2}⊆B{1,2,3,4}，则B=（ ）
A．{1,2}B．{1,2,3}C．{1,2,4}D．{1,2,3,4}
【答案】ABC
【分析】根据子集与真子集的定义即可求解．
【详解】∵{1,2}⊆B{1,2,3,4}，
∴B={1,2}或B={1,2,3}或B={1,2,4}，
故选：ABC
10．已知集合，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】求出集合A，即可依次判断.
【详解】，
.
故选：ACD.
11．设，，若，则实数的值可以是（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】ABC
【分析】先求出，再得到，分与，求出相应实数的值.
【详解】，
因为，所以，
当时，，满足要求，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上：实数的值可以为或.
故选：ABC
12．设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】将分别表示成两个数的平方差，故都是集合中的元素，再用反证法证明.
【详解】∵，∴.
∵，∴.
∵，∴.
若，则存在使得，
则和的奇偶性相同.
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.
故选ABD.
【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.
三、填空题
13．已知，．若，则 ．
【答案】0
【分析】利用集合相等的定义求解，再根据集合元素的互异性即可.
【详解】因为,所以,解得或,
若与集合中元素的互异性矛盾, 若满足集合中元素的互异性,
所以.
故答案为：0
14．已知集合，且，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据补集的概念，求出，再由，即可得出结果.
【详解】因为，所以或，
又，，
所以只需，
即实数的取值范围为.
故答案为：
15．2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击全球，造成了各种医用物资的短缺，为此某公司决定大量生产医用防护服．已知该公司每天生产x（件）防护服的利润为y（千元），且，若要使该公司每天不亏本，则每天生产的防护服数量最多不能超过 件．
【答案】30
【分析】要保证不亏本，即，求得解集即可求得最大值.
【详解】由题意，有，即，
解得，所以每天生产的防护服数量最多不能超过30件．
故答案为：30．
16．已知，，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】将所求式子化简整理为，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．集合．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】化简集合B,根据集合的交并补运算直接求解.
【详解】（1）由得,所以,
因为,所以.
（2）因为或，
所以.
18．已知集合，.
（1）若,求实数的取值；
（2）当，且时，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)化简集合A,B，由知B含二元素且，由根与系数的关系求；
(2)由可得，列出集合的所有可能，利用判别式及根与系数的关系求a的范围.
【详解】（1）由条件，为二元集合，
又集合的元素为一元二次方程的根，从而必有，
从而必有为方程的两个实根，从而可得
.
（2）当，，由，则,
且，则集合的所有子集为.
当时，方程无实根，得.
当，则由根与系数的关系可得此时，与条件矛盾
当，则必有；
当时，由根与系数的关系可得与条件矛盾.
综上所述，实数的取值范围是.
19．已知、都是正数．
（1）若，求的最大值；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）直接利用基本不等式可求得的最大值；
（2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值．
【详解】（1）由基本不等式可得，则，
当且仅当，即当，时，等号成立，
因此，的最大值为；
（2），则，
由于、均为正数，则，
当且仅当时等号成立，的最小值为．
【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查了的应用，考查计算能力，属于基础题.
20．已知集合，集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围；
（2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围．
【详解】（1）由，得
①若，即时，，符合题意；
②若，即时，需或，解得．
综上，实数的取值范围为．
（2）由已知是的真子集，知两个端不同时取等号，解得．
由实数的取值范围为．
21．某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．

(1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；
(2)问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值.
【答案】(1)
(2)，118000元
【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可；
（2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，，且，则，
则
（2）由（1）可知，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，当米时，元.
22．已知集合.
(1)当时，关于的不等式组没有实数解，求实数的取值范围；
(2)若，且关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)不存在
【分析】（1）先求得集合，结合不等式组没有实数解，即可求得的取值范围；
（2）根据题意，转化为和是方程的两个根，求得，得到不等式的解集为，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：当时，可得不等式，
解得，即，
又由不等式组没有实数解，所以，
所以实数的取值范围为.
（2）由集合，可得和是方程的两个根，
则，解得，
所以不等式，即为，
即不等式的解集为
当时，不等式，此时解集为，不符合题意；
当时，则满足的解集为空集，即不存在实数.
综上可得，满足题意实数不存在.