江西省丰城中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份江西省丰城中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 试卷总分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 抛物线的焦点到原点的距离为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线方程得出焦点坐标后即可得．
【详解】由题意，，所以焦点为，其到原点距离为．
故选：B．
2. 定义：既是中心对称也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下列方程所表示的曲线不是“尚美曲线”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据各选项表示的曲线类型可判断.
【详解】A选项：表示以为圆心，为半径的圆，既关于中心对称也关于轴，轴对称，是“尚美曲线”；
B选项：表示焦点在轴上的椭圆，既关于中心对称也关于轴，轴对称，是“尚美曲线”；
C选项：表示焦点在轴上的双曲线，既关于中心对称也关于轴，轴对称，是“尚美曲线”；
D选项：，即表示的是关于轴对称的抛物线，不是“尚美曲线”；
故选：D.更多课件 教案 视频 等低价同类优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l交C于A、B两点，则的周长为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆定义可知，的周长为.
【详解】由，得，由椭圆定义可知，的周长为
故选：D
4. 已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件得出，即可求出结果.
【详解】由双曲线方程，知渐近线方程为，
又因为，，所以，得到，
所以双曲线渐近线方程为，
故选：C.
5. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则的值为（ ）
A. B.
C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将椭圆方程化为标准形式，再由条件列方程求的值.
【详解】椭圆化为标准方程为，故，
因为焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，
所以，
故选：B.
6. 双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（ ）
A. 15B. 3C. 3或15D. 5或12
【答案】A
【解析】
【分析】利用双曲线的定义即可得解.
【详解】设的左,右焦点分别为，则.
因为，所以，则点在左支上，
所以，故.
故选：A.
7. 某广场一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，该椭圆的离心率为．若该椭球横截面的最大直径为1.8米，则该椭球的高为（ ）
A. 3.2米B. 3.4米C. 4米D. 3.6米
【答案】D
【解析】
【分析】利用椭圆的几何性质解题即可.
【详解】由题意可知，，则，
由该椭球横截面最大直径为1.8米，可知米，
所以米，米，该椭球的高为米．
故选：D
8. 已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（ ）
A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线
【答案】D
【解析】
【分析】数形结合，由圆的方程求出圆心和半径，再结合图形，利用双曲线的定义即可求解.
【详解】，即圆，故，，
因为平行与，，所以，故，
故点的轨迹为双曲线.
故选：D
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆的定义可判定A、B，根据椭圆方程及二次函数的性质可判定C，根据基本不等式可判定D.
【详解】设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，
因为，所以，，，
所以，，故A错误，B正确；
设，，，
则，
即，当时取得最大值，故C正确；
由椭圆定义及基本不等式可知：，故D正确．
故选：BCD
10. 已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A. 离心率为B. 存在使得
C. ，则的面积为9D. 椭圆的弦被点平分，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定的椭圆方程，求出离心率判断A；由半焦距与短半轴长的大小关系判断B；利用勾股定理结合椭圆定义求出面积判断C；利用点差法求出直线斜率判断D.
【详解】椭圆：的长半轴长，短轴长，半焦距，离心率，A错误；
由，得以线段为直径的圆与椭圆相交，令交点为，则存在使得，B正确；
由，得，即，
而，于是，的面积为9，C正确；
显然点在椭圆内，设，则，
两式相减得，而，
因此，D正确.
故选：BCD
11. 过双曲线：的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（ ）
A. 存在一条直线，使
B. 存在直线，使弦的中点为
C. 与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为
D. 若，都在该双曲线右支上，则直线斜率的取值范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】由双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系逐项分析即可.
【详解】对于A，通径，实轴故有四条，故A错误；
对于B，假设存在直线l，使弦AB的中点为，
设直线的方程为，与联立得：
，
则，恒成立，
所以，
，
所以，所以直线方程为，但是由于不在直线上，
故不存在这样的直线l，故B错误；
对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：，
代入点可得，所以该双曲线的标准方程为，故C正确；
对于D，设直线l方程为：.
联立，得：，
则，恒成立.
所以，，则，.
若A、B都在该双曲线的右支上，则，
即，所以，解得，故D正确.
故选：CD.
12. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则点到轴的距离为
B. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条
C. 是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】首先根据抛物线的几何意义，求出抛物线方程，根据焦半径公式判断A；对所求的直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据直线与抛物线有且仅有一个公共点，求出直线的方程，可判断B选项；根据三角形相似判断C，首先证明，再利用基本不等式判断D.
【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，
则抛物线，所以焦点，准线为，
对于A选项，设、，则，
解得，
又为线段的中点，则，
所以点到轴的距离为，故A错误；

对于B选项，若过点的斜率不存在时，则该直线为轴，由图可知，轴与抛物线相切，
若过点的直线的斜率为零，此时，直线的方程为，联立，可得，
此时，直线与抛物线只有一个交点，
若过点的直线的斜率存在且不为零，设该直线的方程为，
考虑直线与抛物线相切，联立，可得，
则，解得，
即直线与抛物线只有一个公共点，
故满足条件的直线共有三条，B错；
对于C选项，过点作准线的垂线段，垂足为，则，
设准线与轴交于点，则，
因为，所以，
则，则，所以，
即，所以，则，故C正确；
对于D：依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为，
由，消去得，
显然，所以，，则，
，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，故D正确.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）
13. 以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用圆过原点求出圆的半径即可求出圆的方程.
【详解】因为抛物线的焦点为的标准方程为，所以，所以焦点坐标是，
所以所求圆的圆心为，又圆过原点，所以圆的半径为，
所以所求圆的方程为.
故答案为：.
14. 直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】
联立直线与双曲线的方程，可得，进而可求出斜率的取值范围.
【详解】由双曲线与直线联立可 ，
因为直线 与双曲线交于不同的两点，所以 ，
可得 ，即斜率的取值范围是.
故答案为: .
【点睛】本题考查了已知直线与双曲线的位置关系求参数的取值范围，属于基础题.
15. 已知F是抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据抛物线的方程写出准线方程；再设出点P的坐标，根据抛物线的定义表示出，根据两点间距离公式表示出；最后代入，进行化简变形，借助基本不等式求解即可.
【详解】由抛物线方程可得焦点F的坐标为，准线方程为直线.
设点P的坐标为.因为点P为抛物线上的动点，所以，且.
点A的坐标为
当时，；当时，，当且仅当时等号成立，即，所以.
综上可得：的最小值是.
故答案为：.
16. 已知双曲线左，右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的正弦定理，整理等式可得焦半径的表达式，结合双曲线的性质，整理不等式，可得答案.
【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义；
在中，由正弦定理得，
因为，所以，则，
因为点在双曲线右支上，所以，所以，
整理可得，
由双曲线的性质可得，所以，化简可得，
所以，解得，
因为，所以，则双曲线离心率的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算）
17. 求适合下列条件双曲线的标准方程:
（1）一个焦点为，且离心率为；
（2）经过两点.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的焦点位置，结合双曲线离心率公式进行求解即可；
（2）利用待定系数法进行求解即可.
【小问1详解】
依题意可知，双曲线的焦点在轴上，且，
又，故其标准方程为.
【小问2详解】
设双曲线方程为，
把点与点代入，有，解得，
故所求双曲线的标准方程为：.
18. 在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4
（1）写出点轨迹的方程；
（2）若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用定义法求椭圆方程即可；
（2）利用椭圆与直线位置关系的判断方法即可.
【小问1详解】
由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，
故，，，其方程为.
【小问2详解】
联立得，
因为有两个交点，所以，
解得，所以的取值范围为.
19. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为，且点到焦点的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助抛物线的定义即可求解；
（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，再用韦达定理表示面积，借助基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意知，准线方程：，
由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到准线的距离，
所以 ， 解得.
所以.
【小问2详解】
由（1） 知， 抛物线，直线过，
可设直线方程为，，不妨设，
联立消得，
所以，，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴面积最小值为.

20. 已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由以及即可求解的值，
（2）联立直线与椭圆的方程，由弦长公式以及点到直线的距离公式即可化简求解.
【小问1详解】
由，可得，解得，
又因为，所以，
因为点在椭圆上，所以，
解得，，，所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
证明：当与轴重合时，，所以
当不与轴重合时，设，直线的方程为，
由整理得，
则，
故
圆心到直线的距离为，则，
所以，即为定值．
21. 已知抛物线上有两点，且直线过点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若抛物线上有一点，纵坐标为4，抛物线上另有两点，且直线与的斜率满足重心的横坐标为4，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，再由，即可得到结果；
（2）根据题意，由三角形重心坐标公式结合，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】

由题意知直线的斜率不可能为0，
设，直线的方程为，
由得，，即，
即，即，
将代入，得，
则，则，
则，由，解得，
故所求抛物线的标准方程为．
【小问2详解】

由抛物线方程可得点坐标为，设，
则，
则，且，则，
故．又，
则，又，可得直线的中点坐标为，
故由点斜式得直线的方程为5），即．
22. 已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线m的方程为：，过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点O为坐标原点，求面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列出关于a，b的方程组，再求解作答.
（2）设出直线MN的方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理确定直线EN过的定点，再求出面积的函数关系求解作答.
【小问1详解】
椭圆上顶点，右顶点，则，离心率，
即，联立解得，
所以椭圆C的标准方程为.
【小问2详解】