2023-2024学年宁夏青铜峡市宁朔中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年宁夏青铜峡市宁朔中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，作图题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求.
【详解】由题设有，
故选：B .
2．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.
【详解】不等式，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
3．如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】作直线分别与曲线相交，结合函数的单调性即可判断.
【详解】因为函数为增函数，所以，
所以作直线分别与曲线相交，交点由上到下分别对应的n值为，
由图可知，曲线相应n值为.
故选：A

4．下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据同一函数的概念逐项判断即可.
【详解】函数的定义域为.
对于A，函数定义域为，与定义域不同，所以不是同一函数，A错误；
对于B，函数，与函数的对应关系不同，所以不是同一函数，B错误；
对于C，函数与的定义域都是，且对应关系都相同，所以是同一函数，C正确；
对于D，函数，与函数的对应关系不同，所以不是同一函数，D错误.
故选：C.
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，再根据指数函数的单调性比大小.
【详解】，
又函数单调递增，
故，即，
故选：D.
【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．
当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还 是负，从而确定所比值的大小．分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准．
6．下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别判断函数在定义域内的奇偶性和单调性即可.
【详解】对于A：为反比例函数，为奇函数，在区间以及上都是增函数，但在定义域内不是增函数，故A错误；
对于B：既是奇函数又是减函数，不符合题意，故B错误；
对于C：为奇函数；时，为增函数，时，为增函数，且函数图象连续，该函数在R上为增函数，故C正确；
对于D：指数函数，不是奇函数，不符合题意，故D错误；
故选：C
7．设偶函数在区间上单调递增， 则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可.
【详解】因为为偶函数，所以，
又在区间上单调递增，，所以，
则.
故选：B
8．若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是（ ）
A．[0，4)B．(0，4)C．[4，＋∞)D．
【答案】D
【分析】由函数的定义域为一切实数，转化为在上恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由函数f(x)＝的定义域为一切实数，即在上恒成立，
当m=0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则，解得.
综上可得，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用二次函数的图象与性质是解答的关键，意在考查推理与运算能力.
二、多选题
9．下列函数中，值域为的是（ ）
A．，B．
C．，D．
【答案】AC
【分析】AC选项通过函数单调性求值域；B选项通过二次函数的性质求值域；D选项通过基本不等式求值域.
【详解】对于A： ，，函数在定义域上单调递增，
又，，所以，故A正确；
对于B：由，所以，即，故B错误；
对于C： ，，函数在定义域上单调递增，
又，，所以，故C正确；
对于D：因为，所以，当且仅当，即时取等号，
所以，故D错误；
故选：AC
10．下列命题不正确的有（ ）
A．若命题：，，则：，
B．不等式的解集为
C．是的充分不必要条件
D．，
【答案】CD
【分析】根据命题的否定即可判断A，根据二次式的性质即可判断B，根据一元二次不等式的求解，结合必要不充分条件即可判断C，根据根式的性质即可判断D.
【详解】对于A，若命题：，，则：，，故A正确，
对于B，由于，故不等式的解集为，B正确，
对于C，由得，所以是的必要不充分条件，C错误，
对于D，由于，故当时，，故D错误，
故选：CD
11．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．D．若，则x的值是
【答案】BD
【分析】根据分段函数的解析式结合二次函数的性质，逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，
所以的定义域为，所以A错误；
对于B，当时，，当时，，
所以的值域为，所以B正确；
对于C，因为，所以，所以C错误；
对于D，当时，由，得，解得（舍去），
当时，由，得，解得或（舍去），
综上，，所以D正确.
故选：BD.
12．已知，则（ ）
A．最小值B．最大值为
C．无最小值D．无最大值
【答案】AD
【分析】依题意将写成分段函数形式，分别画出两函数在同一坐标系下的图象，并结合图象即可得出结论.
【详解】根据题意函数，
在同一坐标系下画出两函数图象如下：

根据可知，取的是两函数图象在上的部分，如上图中的粗直实线以及其两侧的向上的抛物线；
由图可知有最小值，无最大值，BC错误，D正确；
且最小值的横坐标是方程的正实根，即，所以最小值为，即可知A正确.
故选：AD
三、填空题
13．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据偶次根式被开方数非负､分母不为零得出关于的不等式组，解不等式组即可得出该函数的定义域.
【详解】由题意可得，解得且，
所以，函数的定义域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，要结合一些常见的求定义域的基本原则列出不等式（组）来求解，考查运算求解能力，属于基础题.
14．设函数，则f(－4)＝ ，
【答案】18
【分析】根据自变量的范围选取适当的表达式计算．
【详解】由已知，
故答案为：18.
15．若函数是上的奇函数，且当时，，则 .
【答案】
【分析】利用奇函数的性质，建立方程，可得答案.
【详解】由函数是上的奇函数，则，即，解得，
，
故答案为：.
16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知函数，，则的值域为 .
【答案】
【分析】根据题意，由取整函数的定义，即可得到结果.
【详解】由定义可知，，所以，即，
即函数的值域为.
故答案为：
四、解答题
17．已知函数，点，是图象上的两点．
(1)求，的值；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．
【答案】(1)
(2)为奇函数，理由见解析
【分析】（1）分别代入两点坐标联立求解即可；
（2）根据奇偶函数的定义判断即可.
【详解】（1）由题意，，解得.
（2）由（1），易得定义域关于原点对称.
又，故为奇函数.
五、作图题
18．作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)图象见解析，
(2)图象见解析，
(3)图象见解析，
【分析】通过列表描点连线作出函数图像，由图像确定值域.
【详解】（1）列表
函数图象只是四个点，其值域为．

（2）列表
当时，图象是反比例函数的一部分，观察图象可知其值域为．

（3）列表
画图象，图象是抛物线在之间的部分．

由图可得函数的值域为．
19．已知函数是指数函数，且它的图象过点．
(1)求函数的解析式；
(2)求，，；
(3)画出指数函数的图象，并根据图象解不等式．
【答案】(1)
(2)，，
(3)作图见解析，．
【分析】设函数，且，把点代入即可求得的值，进而可得函数的解析式．
根据函数的解析式求得、、的值．
画出指数函数的图象，由不等式，可得，由此解得的范围．
【详解】（1）设函数，且，
把点代入可得，求得，
所以函数的解析式为．
（2）由（1）可知，所以，，．
（3）画出指数函数的图象如下图所示：

所以函数在上单调递增；
由不等式，
可得，解得，
故不等式的解集为．
20．已知定义在上的奇函数，当时，．

(1)求函数在上的解析式；
(2)在坐标系中作出函数的图象；
(3)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)或或
【分析】（1）根据函数是奇函数，求函数的解析式；
（2）根据函数的解析式，作出函数的图象；
（3）根据函数的图象，结合函数的单调性，转化为子集问题，即可求解.
【详解】（1）当时，，
因为函数是奇函数，所以，
且，
所以函数在上的解析式为;
（2）根据函数的解析式，作出函数的图象，

（3）函数在区间上是单调函数，根据图象可知，
，或，或，
解得：或或.
六、证明题
21．函数.
(1)若，证明：函数在上单调递增；
(2)在满足（1）的条件下，解不等式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）代入，根据单调性的定义，即可证明；
（2）先证明为奇函数，将不等式转化为.进而结合函数的单调性以及范围，列出不等式，化简求解即可得出答案.
【详解】（1）当时，可得函数.
任取，且，
则.
因为，且，
所以，，即，
所以，
即，
所以函数在上单调递增.
（2），定义域为关于原点对称.
又由，
所以函数为奇函数.
则由不等式可得，
.
又，,
函数在上单调递增，
所以，
整理可得，
解得或.
所以，不等式的解集为.
七、应用题
22．大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩景区､瑶溪景区､天桂寺景区､茶山景区和三烊湿地.某开发商计划2023年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2023年有x万名游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为80元.
(1)求2023年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）.
(2)当2023年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)答案见解析
(2)游客为40万人时利润最大，最大为370万．
【分析】（1）根据年利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式．
（2）根据（1）中求出的利润的解析式，分别利用二次函数、一次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取三者中较大的利润值，即为年企业最大利润．
【详解】（1）解：由题意可得，
即
（2）解：当时，；
当时，；
当时，由基本不等式知，当且仅当即时等号成立，
故，
综上，游客为40万人时利润最大，最大为370万．
x
0
1
－2
3
y
0
－1
2
－3
x
2
3
4
5
…
y
1
…
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8