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宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
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这是一份宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题，文件包含宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题原卷版docx、宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分． 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1. 的值是（ ）
A. 20B. 40C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由排列、组合数公式求解即可．
【详解】．
故选：B．
2. 已知函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.
【详解】因为，所以，则.
故选：C
3. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】A
【解析】
【分析】每人都有3种选法，结合分布计数原理即可求解.
【详解】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合.
故选：A
4. 的展开式中，含项的系数为（ ）
A. 6B. C. 15D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于，即可得解.
【详解】展开式的通项为，
令，则，
所以含项的系数为.
故选：C.
5. 设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（ ）
A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点分布概率性质可得解.
【详解】随机变量服从两点分布，，
根据两点分布概率性质可知：，
解得，
故选：C
【点睛】本题考查了两点分布概率性质的简单应用，属于基础题.
6. 随机变量的分布列如表所示，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分布列的性质得到方程组，解得即可.
【详解】依题意可得，解得.
故选：B
7. 一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次黄球”，由条件概率公式求解即可．
【详解】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次黄球”，则，，
由条件概率公式得，则,
故选：B．
8. 6名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有（ ）种.
A. 720B. 450C. 360D. 180
【答案】B
【解析】
【分析】考虑6人的分组情况，即每2人一组分到三个研究舱，或者是按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱，根据分类计数加法原理即可求得答案.
【详解】由题意可知，6名研究员的安排可以是按平均分组，即每2人一组分到三个研究舱，
或者是按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱，
每2人一组分到三个研究舱时，共有（种）安排方案，
按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱时，共有（种）安排方案，
故共有（种）安排方案，
故选：B
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有多选错选的得0分．）
9. 下列式子正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】AB选项，根据组合数计算公式求出答案；C选项，根据排列数公式计算即可；D选项，根据阶乘定义计算即可.
【详解】A选项，，故，A正确；
B选项，，故，B正确；
C选项，，故，C错误；
D选项，，，
故，D正确.
故选：ABD
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合赋值法逐项计算判断即得.
【详解】令，
对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，B错误；
对于C，由，得，因此，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC
11. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A. 、对立事件B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解.
【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故 C不正确.
故选：AB
12. 某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴某市的四个区参加防疫工作，每名医生只能去一个区，则下列说法正确的是（ ）
A. 若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法
B. 若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法
C. 若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法
D. 若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法
【答案】ABD
【解析】
【分析】全排列可得A正确；先将人员分组为2,1,1，再将三组人员送到三个地方可得B正确；全排中除去甲去 区，乙去 区，再加上多减的即可判断C错误；隔板法，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，再计算后可得D正确.
【详解】A：若四个区都有人去，则共有种不同的安排方法，故A正确；
B：若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法，故B正确；
C：若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有种不同的安排方法，故C错误；
D：若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，则共有种不同的安排方法，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，，则等于______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据条件概率公式求解可得结果.
【详解】因，，
所以.
故答案为：.
14. 2023年11月12日，连云港市赣马高级中学高品质特色发展暨百年校庆大会隆重举行，赣马高中建校100周年文艺演出中有四个节目：《腰鼓：千年回响》、《歌伴舞：领航》、《器乐：兰亭序》、《情景剧：我们陪你向前走》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】利用捆绑求得正确答案.
【详解】由于《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为种.
故答案为：
15. 的展开式中项的系数为______．
【答案】30
【解析】
【分析】利用多项式乘法法则，结合组合应用问题列式计算即得.
【详解】表示5个多项式相乘，展开式中项是上述5个多项式取2个用，
余下3个再取2个用，最后1个用1相乘的积，因此该项为，
所以的展开式中项的系数为30.
故答案为：30
16. 若函数大于的零点有且只有一个，则实数的值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】首先判断，令，，参变分离可得，依题意可得与在上有且只有一个交点，令，，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出的值.
【详解】若时恒成立，所以没有零点，
所以，
令，，即，所以，
依题意与在上有且只有一个交点，
令，，则，
所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值是，
而当时，，当时，，所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为与在上有且只有一个交点.
四、解答题（本大题共6小题，第17题满分10分，第18-22题每题满分12分．每道题目应给出必要的解答过程）
17. 已知的展开式中的所有二项式系数之和为32．
（1）求的值；
（2）求展开式中的系数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）由二项式定理求解．
【小问1详解】
由题意可得，，解得；
【小问2详解】
，
二项展开式的通项为
由，得．
展开式中的系数为．
18. 今年6月14日是端午节，吃粽子是我国端午节的传统习俗．现有一盘子，装有10个粽子，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外完全相同．从中任意选取3个．
（1）求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；
（2）设表示取到的红豆粽个数，求的分布列．
【答案】（1）
（2）分布列见解析
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得；
（2）依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列.
【小问1详解】
依题意基本事件总数，
选取的三个粽子中恰有个肉粽包含的基本事件个数，
选取的三个粽子中恰有个肉粽的概率；
【小问2详解】
设表示取到的红豆粽个数，则的可能取值为，，，
所以，，
，
的分布列为：
19. 已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助等差数列前项和的性质与等比中项的性质计算求出值即可得；
（2），再借助裂项相消法计算即可得.
【小问1详解】
由题意可得，即，
又，故，即或，又，故，
即；
【小问2详解】
，
故
.
20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，M为PC中点．
（1）求证：平面MBD；
（2）若，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质即可得证；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点坐标，求得和平面AMD的法向量，由向量夹角的计算公式，可得答案.
【小问1详解】
连接AC交BD于点O，连接OM，
由四边形ABCD为矩形，
可知O为AC中点，M为PC中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面MBD.
【小问2详解】
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则 ，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设直线与平面所成角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
21. 已知函数，且．
（1）求的值及曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最值．
【答案】（1）；
（2）最小值为，最大值为8
【解析】
【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，又由，解可得的值，进而可得的值，由直线的点斜式方程分析可得答案；
（2）根据题意，求出函数的导数，可得函数在区间上的单调性，据此求出函数的最值即可得答案．
【小问1详解】
根据题意，，则，
因为，所以．
当时，，，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简得；
【小问2详解】
由（1）可知，，．
故函数在区间上单调递增，
则函数最小值为最大值为.
22. 已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先求出函数导函数，进而分析导函数的正负区间与单调区间；
（2）先求出函数的导函数；再分和两种情况，再每一种情况中借助导数即可解答；
（3）先根据函数在处取得极值得出；再将问题“对，恒成立”转化为“对，恒成立”；最后构造函数，并利用导数求出即可解答.
【小问1详解】
当时，，，
令可得，故当时，单调递减；
当时，单调递增；
故递减区间为，递增区间为.
【小问2详解】
由可得：函数定义域为，.
当时，，此时函数在定义域上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
【小问3详解】
因为函数在处取得极值，
所以，即，解得.
此时，
令，解得；令，解得，
所以函数在处取得极值，故.
所以.
因为对，恒成立，
所以对，恒成立.
令，则.
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，解得：.
所以实数b的取值范围为
0
1
2
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分． 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1. 的值是（ ）
A. 20B. 40C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由排列、组合数公式求解即可．
【详解】．
故选：B．
2. 已知函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.
【详解】因为，所以，则.
故选：C
3. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】A
【解析】
【分析】每人都有3种选法，结合分布计数原理即可求解.
【详解】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合.
故选：A
4. 的展开式中，含项的系数为（ ）
A. 6B. C. 15D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于，即可得解.
【详解】展开式的通项为，
令，则，
所以含项的系数为.
故选：C.
5. 设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（ ）
A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点分布概率性质可得解.
【详解】随机变量服从两点分布，，
根据两点分布概率性质可知：，
解得，
故选：C
【点睛】本题考查了两点分布概率性质的简单应用，属于基础题.
6. 随机变量的分布列如表所示，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分布列的性质得到方程组，解得即可.
【详解】依题意可得，解得.
故选：B
7. 一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次黄球”，由条件概率公式求解即可．
【详解】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次黄球”，则，，
由条件概率公式得，则,
故选：B．
8. 6名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有（ ）种.
A. 720B. 450C. 360D. 180
【答案】B
【解析】
【分析】考虑6人的分组情况，即每2人一组分到三个研究舱，或者是按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱，根据分类计数加法原理即可求得答案.
【详解】由题意可知，6名研究员的安排可以是按平均分组，即每2人一组分到三个研究舱，
或者是按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱，
每2人一组分到三个研究舱时，共有（种）安排方案，
按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱时，共有（种）安排方案，
故共有（种）安排方案，
故选：B
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有多选错选的得0分．）
9. 下列式子正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】AB选项，根据组合数计算公式求出答案；C选项，根据排列数公式计算即可；D选项，根据阶乘定义计算即可.
【详解】A选项，，故，A正确；
B选项，，故，B正确；
C选项，，故，C错误；
D选项，，，
故，D正确.
故选：ABD
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合赋值法逐项计算判断即得.
【详解】令，
对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，B错误；
对于C，由，得，因此，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC
11. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A. 、对立事件B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解.
【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故 C不正确.
故选：AB
12. 某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴某市的四个区参加防疫工作，每名医生只能去一个区，则下列说法正确的是（ ）
A. 若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法
B. 若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法
C. 若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法
D. 若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法
【答案】ABD
【解析】
【分析】全排列可得A正确；先将人员分组为2,1,1，再将三组人员送到三个地方可得B正确；全排中除去甲去 区，乙去 区，再加上多减的即可判断C错误；隔板法，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，再计算后可得D正确.
【详解】A：若四个区都有人去，则共有种不同的安排方法，故A正确；
B：若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法，故B正确；
C：若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有种不同的安排方法，故C错误；
D：若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，则共有种不同的安排方法，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，，则等于______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据条件概率公式求解可得结果.
【详解】因，，
所以.
故答案为：.
14. 2023年11月12日，连云港市赣马高级中学高品质特色发展暨百年校庆大会隆重举行，赣马高中建校100周年文艺演出中有四个节目：《腰鼓：千年回响》、《歌伴舞：领航》、《器乐：兰亭序》、《情景剧：我们陪你向前走》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】利用捆绑求得正确答案.
【详解】由于《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为种.
故答案为：
15. 的展开式中项的系数为______．
【答案】30
【解析】
【分析】利用多项式乘法法则，结合组合应用问题列式计算即得.
【详解】表示5个多项式相乘，展开式中项是上述5个多项式取2个用，
余下3个再取2个用，最后1个用1相乘的积，因此该项为，
所以的展开式中项的系数为30.
故答案为：30
16. 若函数大于的零点有且只有一个，则实数的值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】首先判断，令，，参变分离可得，依题意可得与在上有且只有一个交点，令，，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出的值.
【详解】若时恒成立，所以没有零点，
所以，
令，，即，所以，
依题意与在上有且只有一个交点，
令，，则，
所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值是，
而当时，，当时，，所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为与在上有且只有一个交点.
四、解答题（本大题共6小题，第17题满分10分，第18-22题每题满分12分．每道题目应给出必要的解答过程）
17. 已知的展开式中的所有二项式系数之和为32．
（1）求的值；
（2）求展开式中的系数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）由二项式定理求解．
【小问1详解】
由题意可得，，解得；
【小问2详解】
，
二项展开式的通项为
由，得．
展开式中的系数为．
18. 今年6月14日是端午节，吃粽子是我国端午节的传统习俗．现有一盘子，装有10个粽子，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外完全相同．从中任意选取3个．
（1）求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；
（2）设表示取到的红豆粽个数，求的分布列．
【答案】（1）
（2）分布列见解析
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得；
（2）依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列.
【小问1详解】
依题意基本事件总数，
选取的三个粽子中恰有个肉粽包含的基本事件个数，
选取的三个粽子中恰有个肉粽的概率；
【小问2详解】
设表示取到的红豆粽个数，则的可能取值为，，，
所以，，
，
的分布列为：
19. 已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助等差数列前项和的性质与等比中项的性质计算求出值即可得；
（2），再借助裂项相消法计算即可得.
【小问1详解】
由题意可得，即，
又，故，即或，又，故，
即；
【小问2详解】
，
故
.
20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，M为PC中点．
（1）求证：平面MBD；
（2）若，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质即可得证；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点坐标，求得和平面AMD的法向量，由向量夹角的计算公式，可得答案.
【小问1详解】
连接AC交BD于点O，连接OM，
由四边形ABCD为矩形，
可知O为AC中点，M为PC中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面MBD.
【小问2详解】
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则 ，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设直线与平面所成角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
21. 已知函数，且．
（1）求的值及曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最值．
【答案】（1）；
（2）最小值为，最大值为8
【解析】
【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，又由，解可得的值，进而可得的值，由直线的点斜式方程分析可得答案；
（2）根据题意，求出函数的导数，可得函数在区间上的单调性，据此求出函数的最值即可得答案．
【小问1详解】
根据题意，，则，
因为，所以．
当时，，，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简得；
【小问2详解】
由（1）可知，，．
故函数在区间上单调递增，
则函数最小值为最大值为.
22. 已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先求出函数导函数，进而分析导函数的正负区间与单调区间；
（2）先求出函数的导函数；再分和两种情况，再每一种情况中借助导数即可解答；
（3）先根据函数在处取得极值得出；再将问题“对，恒成立”转化为“对，恒成立”；最后构造函数，并利用导数求出即可解答.
【小问1详解】
当时，，，
令可得，故当时，单调递减；
当时，单调递增；
故递减区间为，递增区间为.
【小问2详解】
由可得：函数定义域为，.
当时，，此时函数在定义域上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
【小问3详解】
因为函数在处取得极值，
所以，即，解得.
此时，
令，解得；令，解得，
所以函数在处取得极值，故.
所以.
因为对，恒成立，
所以对，恒成立.
令，则.
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，解得：.
所以实数b的取值范围为
0
1
2
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